1、第十一节 函数与方程基础梳理1.函数零点的定义(1)把使函数y=f(x)的值为_的实数x称为函数y=f(x)的零点(2)函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的_,从图象上看,函数y=f(x)的零点就是它的图象与x轴交点的_2.函数零点的判定若函数y=f(x)在区间a,b上的图象是一条不间断的曲线,且_,则函数y=f(x)在区间_上有零点,即存在x0(a,b),使得f(x0)=0,这个x0也就是f(x)=0的根,我们不妨把这一结论称为零点存在性定理横坐标0解(a,b)f(a)f(b)0)的两实数根,根的分布与对应的y=ax2+bx+c图象以及其等价不等式组的关系如下表所示.根的分布图象充要
2、条件x1x2mmx1x2x1mx2002f mbma 002f mbma f(m)0 x1,x2(m1,m2)x1,x2有且仅有一个在(m1,m2)内_21120002f mf mbmma f(m1)f(m2)0,16-42a0,a2.(-,2)3.三次方程x3+x2-2x-1=0在下列哪些连续整数之间没有根_(填序号)-2与-1之间;-1与0之间;0与1之间;1与2之间解析:设f(x)=x3+x2-2x-1,f(-2)f(-1)0,f(-1)f(0)0,f(1)f(2)0,f(x)在(-2,-1),(-1,0),(1,2)内均有根故只有符合题意4.已知函数则函数f(x)的零点个数为_5.已知
3、方程x2+(a-1)x+(a-2)=0的根一个比1大,另一个比1小,则a的取值范围是_3解析:(1)由;(2)由x=0或x=4.所以函数f(x)的零点个数为3.040 xxf x 00 xf x 解析:函数f(x)=x2+(a-1)x+(a-2)的大致图象如图所示,于是有f(1)0,即1+(a-1)+(a-2)0,解得a1.(-,1)经典例题题型一 求函数的零点【例1】求下列函数的零点(1)f(x)=4x-3;(2)f(x)=-x2+2x+3;(3)f(x)=x-+2.3x分析:根据函数零点与方程根之间的关系,求函数的零点,就是求相应方程的实数根解:(1)由4x-3=0,得x=,即f(x)=4
4、x-3的零点是3434(2)由-x2+2x+3=0,得x2-2x-3=0,解得x1=-1,x2=3,即f(x)=-x2+2x+3的零点为-1,3.(3)由,得x1=1,x2=-3,即函数的两个零点分别为1,-3.23231320 xxxxxxxx 3()2f xxx变式1-1 求下列函数的零点(1)f(x)=x3-1;(2)221()1xxf xx解析:(1)由x3-1=0,得x=1,所以f(x)=x3-1的零点是1.(2)由 ,得x1,2=-1,所以 的零点是-1,这是一个二重零点22211011xxxxx 221()1xxf xx题型二 函数零点的存在性判断【例2】判断下列函数在给定的区间
5、内是否存在零点(1)f(x)=x2-3x-18,x1,8;(2)f(x)=log2(x+2)-x,x1,3分析:利用函数零点的存在性定理或图象进行判断解:(1)方法一:f(1)=12-31-18=-200,f(1)f(8)log22-1=0,f(3)=log25-3log28-3=0,f(1)f(3)0,故f(x)=log2(x+2)-x,x1,3存在零点方法二:设y=log2(x+2),y=x在同一直角坐标系中画出它们的图象(如图),由图象可以看出当1x3时,两图象有一个交点,因此f(x)=log2(x+2)-x,x1,3存在零点变式2-1 若方程ax2-x-1=0在(0,1)内恰有一解,求
6、a的取值范围解析:由题意,设f(x)=ax2-x-1,则f(x)在(0,1)内恰有一个零点,画图易知有f(0)f(1)0,即-1(a-2)2.题型三 函数与方程思想的综合应用【例3】对于函数f(x),若存在x0R,使f(x0)=x0成立,则称x0为f(x)的不动点已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+(b-1)(a0)(1)当a=1,b=-2时,求函数f(x)的不动点;(2)若对任意实数b,函数f(x)恒有两个相异的不动点,求a的取值范围分析:函数的不动点,即方程f(x)=x的根,函数有两个相异 的不动点,即方程f(x)=x有两个不相等的实根 解:(1)f(x)=x2-x-3.因为x0为f(
7、x)的不动点,因此有f(x0)=x02-x0-3=x0,解得x0=-1或x0=3,所以3和-1为f(x)的不动点(2)因为f(x)恒有两个不动点,f(x)=ax2+(b+1)x+(b-1)=x,即方程ax2+bx+(b-1)=0有两个不等实根由题设知b2-4a(b-1)0,对任意bR恒成立,(-4a)2-4(4a)0,即a2-a0,0a0)(1)若g(x)=m有零点,求m的取值范围;(2)试确定m的取值范围,使得g(x)-f(x)=0有两个相异实根2ex解析:(1)方法一:由,等号成立的条件是x=e,故g(x)的值域是2e,+)因而只需m2e,则g(x)=m就有零点22()22eg xxeex
8、方法二:作出(x0)的图象如图可知若使g(x)=m有零点,则只需m2e.2()eg xxx方法三:解方程g(x)=m,得x2-mx+e2=0(x0)此方程有大于零的根,故等价于所以m2e.220240mme 022mmeme 或(2)若g(x)-f(x)=0有两个相异的实根,即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点作出(x0)的图象如图f(x)=-x2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1+e2.其对称轴为x=e,开口向下,最大值为m-1+e2,故当m-1+e22e,即m-e2+2e+1时,g(x)与f(x)有两个交点,即g(x)-f(x)=0有两个相异实根m的取值范围是m-e2+2e+1.2()eg xxx链接高考(2010上海改编)若x0是方程lg x+x=2的解,则x0属于区间_(0,1);(1,1.25);(1.25,1.75);(1.75,2)知识准备:1.理解函数零点的存在性定理;2.会进行指数与对数的转换解析:原方程可化为:x=102-x,设函数f(x)=102-x-x,则f(0)=102-00,f(1)=10-10故x0(0,1),同理可知f(1.75)f(2)0,故x0(1.75,2),填.