1、第1课时 比较法1利用 ab_,将证明 ab 转化为证明差值_2利用_且_,则_,将证明 ab,b0 转化为证明比值_ab0 ab0ab b0 ab1 ab11已知下列不等式:(1)x232x(xR);(2)a2b22(ab1)(a,bR);(3)a2b2c2abbcca(a,b,cR)其中正确的个数为()A1个B2个C3个D0个【答案】C【解析】(1)x232x(x1)2220,x232x.(2)a2b22(ab1)(a1)2(b1)20,故 a2b22(ab1)(a,bR)(3)a2b2c2abbcca12(ab)2(bc)2(ca)20,a2b2c2abbccA2log23与log34的
2、大小关系是()Alog23log34Blog23log34Clog23log34D无法确定【答案】A【解析】显然 log230,log340,又log34log23log34log32log34log3222log3822log39221,所以 log23log34.3已知b千克盐水中含盐a千克(ba),现再加盐m(m0)千克,若加盐前盐水的浓度为M,加盐后盐水的浓度为N,则M,N大小关系是_【答案】MN【解析】由已知得 Mab,Nambm,所以 MNabambmabmbbm.又 ba,m0,所以abmbbm0,即 MN0.所以 MN.4给出函数 f(x)x2,对任意 x1,x2R,且 x1x
3、2,试比较12f(x1)f(x2)与 fx1x22的大小关系【解析】设 y112f(x1)f(x2)12(x21x22),y2fx1x22x1x222,y1y212(x21x22)x1x222x212x1x2x224x1x2240.x1x2,12f(x1)f(x2)fx1x22.【例1】设A12x4,B2x3x2,xR,比较A,B的大小【解题探究】注意到A,B都是多项式,比较其大小宜用作差比较法多项式大小的比较【解析】AB12x4(2x3x2)2x3(x1)(x21)(x1)(2x3x1)(x1)(x31x3x)(x1)2(2x22x1)(x1)2x2(x1)20,AB.作差比较的关键是变形,
4、一般来说变形要“到位”,同时尽可能是积的结构或一次因式的形式1已知a0,b0,ab,求证:a3b3a2bab2.【证明】(作差法)a3b3(a2bab2)(ab)(a2abb2)ab(ab)(ab)(a22abb2)(ab)(ab)2.a,bR,ab,ab0,(ab)20.(ab)(ab)20,即a3b3(a2bab2)【例2】已知a2,求证:loga(a1)log(a1)A【解题探究】由于不等式两边对数的底数不同,故不宜采用作差比较法,适合用作商比较法作商比较法证明不等式【解析】a2,a11,loga(a1)0,log(a1)a0.logaa1loga1aloga(a1)loga(a1)lo
5、gaa1logaa122logaa2122.a2,0loga(a21)logaa22.logaa2122logaa2221.又 log(a1)a0,loga(a1)log(a1)A通常幂指型或不是同底的对数型宜用作商比较法2已知 abc0,求证:aabbcc(abc)13(abc)【证明】(作商法)aabbccabc13(abc)a2abc3b2bac3c2cba3aa-b3a-c3 bb-a3 b-c3 cc-a3 c-b3 aba-b3 aca-c3 bcb-c3.ab0,ab1,aba-b3 1.同理可证aca-c3 1,bcb-c3.1.aabbccabc13(abc)1,即 aabb
6、cc(abc)13(abc)【例3】设f(x)1logx3,g(x)2logx2(x0,x1),试比较f(x)与g(x)的大小【解题探究】注意到是同底的对数采用作差比较法作差比较法证明不等式【解析】f(x)g(x)logx3xlogx4logx3x4,(1)当x1,3x4 1或0 x1,03x4 1,即 x43或 0 x1 时,logx3x4 0,f(x)g(x)(2)当 x1,03x4 1或0 x1,3x4 1,即 1x43时,logx3x4 0,f(x)g(x)(3)当 x43时,logx3x4 0,f(x)g(x)故当 x43或 0 x1 时,f(x)g(x);当 1x43时,f(x)g
7、(x);当 x43时,f(x)g(x)因对数的底数大小没有确定,所以要分类讨论注意讨论要全面3设 a0,b0,求证:a2b b2a a b.【证明】(作差法)a2b b2a (a b)a3 b3 ab a bab a ba abb ab a bab a ba2 abbab a b a b2ab.a0,b0,a b0,(a b)20,ab0.a2b b2a(a b)0,即a2b b2a(ab)1作差法证明不等式的关键是作差后变形,通常是通过配方、因式分解、通分或有理化等进行恒等变形,尽可能使得变形后结果是积的结构且是一次因式的形式,得到一个明显能确定其符号的代数式2作商比较法即把不等式两边相除,转化为比较所得商式与1的大小关系