1、第1课时 比较法1利用 ab_，将证明 ab 转化为证明差值_2利用_且_，则_，将证明 ab，b0 转化为证明比值_ab0 ab0ab b0 ab1 ab11已知下列不等式：(1)x232x(xR)；(2)a2b22(ab1)(a，bR)；(3)a2b2c2abbcca(a，b，cR)其中正确的个数为()A1个B2个C3个D0个【答案】C【解析】(1)x232x(x1)2220，x232x.(2)a2b22(ab1)(a1)2(b1)20，故 a2b22(ab1)(a，bR)(3)a2b2c2abbcca12(ab)2(bc)2(ca)20，a2b2c2abbccA2log23与log34的
2、大小关系是()Alog23log34Blog23log34Clog23log34D无法确定【答案】A【解析】显然 log230，log340，又log34log23log34log32log34log3222log3822log39221，所以 log23log34.3已知b千克盐水中含盐a千克(ba)，现再加盐m(m0)千克，若加盐前盐水的浓度为M，加盐后盐水的浓度为N，则M，N大小关系是_【答案】MN【解析】由已知得 Mab，Nambm，所以 MNabambmabmbbm.又 ba，m0，所以abmbbm0，即 MN0.所以 MN.4给出函数 f(x)x2，对任意 x1，x2R，且 x1x
3、2，试比较12f(x1)f(x2)与 fx1x22的大小关系【解析】设 y112f(x1)f(x2)12(x21x22)，y2fx1x22x1x222，y1y212(x21x22)x1x222x212x1x2x224x1x2240.x1x2，12f(x1)f(x2)fx1x22.【例1】设A12x4，B2x3x2，xR，比较A，B的大小【解题探究】注意到A，B都是多项式，比较其大小宜用作差比较法多项式大小的比较【解析】AB12x4(2x3x2)2x3(x1)(x21)(x1)(2x3x1)(x1)(x31x3x)(x1)2(2x22x1)(x1)2x2(x1)20，AB.作差比较的关键是变形，
4、一般来说变形要“到位”，同时尽可能是积的结构或一次因式的形式1已知a0，b0，ab，求证：a3b3a2bab2.【证明】(作差法)a3b3(a2bab2)(ab)(a2abb2)ab(ab)(ab)(a22abb2)(ab)(ab)2.a，bR，ab，ab0，(ab)20.(ab)(ab)20，即a3b3(a2bab2)【例2】已知a2，求证：loga(a1)log(a1)A【解题探究】由于不等式两边对数的底数不同，故不宜采用作差比较法，适合用作商比较法作商比较法证明不等式【解析】a2，a11，loga(a1)0，log(a1)a0.logaa1loga1aloga(a1)loga(a1)lo
5、gaa1logaa122logaa2122.a2，0loga(a21)logaa22.logaa2122logaa2221.又 log(a1)a0，loga(a1)log(a1)A通常幂指型或不是同底的对数型宜用作商比较法2已知 abc0，求证：aabbcc(abc)13(abc)【证明】(作商法)aabbccabc13(abc)a2abc3b2bac3c2cba3aa-b3a-c3 bb-a3 b-c3 cc-a3 c-b3 aba-b3 aca-c3 bcb-c3.ab0，ab1，aba-b3 1.同理可证aca-c3 1，bcb-c3.1.aabbccabc13(abc)1，即 aabb
6、cc(abc)13(abc)【例3】设f(x)1logx3，g(x)2logx2(x0，x1)，试比较f(x)与g(x)的大小【解题探究】注意到是同底的对数采用作差比较法作差比较法证明不等式【解析】f(x)g(x)logx3xlogx4logx3x4，(1)当x1，3x4 1或0 x1，03x4 1，即 x43或 0 x1 时，logx3x4 0，f(x)g(x)(2)当 x1，03x4 1或0 x1，3x4 1，即 1x43时，logx3x4 0，f(x)g(x)(3)当 x43时，logx3x4 0，f(x)g(x)故当 x43或 0 x1 时，f(x)g(x)；当 1x43时，f(x)g
7、(x)；当 x43时，f(x)g(x)因对数的底数大小没有确定，所以要分类讨论注意讨论要全面3设 a0，b0，求证：a2b b2a a b.【证明】(作差法)a2b b2a (a b)a3 b3 ab a bab a ba abb ab a bab a ba2 abbab a b a b2ab.a0，b0，a b0，(a b)20，ab0.a2b b2a(a b)0，即a2b b2a(ab)1作差法证明不等式的关键是作差后变形，通常是通过配方、因式分解、通分或有理化等进行恒等变形，尽可能使得变形后结果是积的结构且是一次因式的形式，得到一个明显能确定其符号的代数式2作商比较法即把不等式两边相除，转化为比较所得商式与1的大小关系