1、高考原生态满分练2三角函数与解三角形(本题满分12分)(2020全国卷,17)在ABC中,sin2A-sin2B-sin2C=sin Bsin C.(1)求角A;(2)若BC=3,求ABC周长的最大值.学生解答教师批阅分析1:本题第(1)问是求三角形的内角,应先求其某一三角函数值.本题第(2)问,要求周长的最大值,实质是求AB+AC的最大值,因此可用基本不等式(方法一),也可利用正弦定理将AB+AC用角B或C的三角函数表示,然后借助三角恒等变换求得最值(方法二).分析2:第(1)问求得cos A=-后,不说明A(0,),直接得出A=.分析3:第(2)问,采用方法一,利用不等式求最值时,不说明等
2、号成立的条件.分析4:方法一中,在得到AC+AB2后直接下结论ABC周长的最大值为3+2,没有通过不等式进行推理说明.方法二中,在得到AB+AC+BC的表达式后,不确定角B的取值范围,直接得出最大值.满分答题高考原生态满分练2三角函数与解三角形解 (1)由题意并结合正弦定理可得BC2-AC2-AB2=ACAB,2分由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2ACABcos A,cos A=-,3分A(0,),A=4分(2)(方法一)由余弦定理及(1)得BC2=AC2+AB2-2ACABcos A=AC2+AB2+ACAB=9,即(AC+AB)2-ACAB=9.6分ACAB(当且仅当AC=AB时取等号),7分9=(AC+AB)2-ACAB(AC+AB)2-(AC+AB)2,9分0AC+AB2(当且仅当AC=AB时取等号).11分ABC的周长L=AC+AB+BC3+2故ABC周长的最大值为3+212分(方法二)由正弦定理及(1)得=2,AB=2sin C,AC=2sin B,6分从而AB+AC+BC=2sin C+2sin B+3=2sin-B+2sin B+3=2sin+3.9分0B,B+,10分因此当B+,即B=时,AB+AC+BC取最大值3+2,故ABC周长的最大值为3+212分
