1、7.3点、直线与平面的位置关系组基础题组1.(2015湖北,5,5分)l1,l2表示空间中的两条直线,若p:l1,l2是异面直线;q:l1,l2不相交,则()A.p是q的充分条件,但不是q的必要条件B.p是q的必要条件,但不是q的充分条件C.p是q的充分必要条件D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件2.(2013浙江,4,5分)设m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面()A.若m,n,则mnB.若m,m,则C.若mn,m,则nD.若m,则m3.(2015宁波一模,4,5分)下列命题中,错误的是()A.平行于同一平面的两个不同平面平行B.一条直线与两个平行平面中的一个相交,则必与另一个平
2、面相交C.如果两个平面不垂直,那么其中一个平面内一定不存在直线与另一个平面垂直D.若直线不平行于平面,则此直线与这个平面内的直线都不平行4.(2015浙江五校二联,2,5分)下列四个命题:若一个平面内的两条直线都与另一个平面平行,那么这两个平面相互平行;若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;垂直于同一直线的两条直线相互平行;若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中,为真命题的是()A.和B.和C.和D.和5.(2015浙江五校二联,4,5分)若、是两个相交平面,则在下列命题中,真命题的序号为()若直线m,则在平面内,一定不存在与直线m平
3、行的直线;若直线m,则在平面内,一定存在无数条直线与直线m垂直;若直线m,则在平面内,不一定存在与直线m垂直的直线;若直线m,则在平面内,一定存在与直线m垂直的直线.A.B.C.D.6.(2016超级中学原创预测卷六,2,5分)设不在同一条直线上的A,B,C三点到平面的距离相等,且A,则()A.平面ABCB.ABC中至少有一条边平行于C.ABC中至多有两条边平行于D.ABC中只可能有一条边平行于7.(2015福建,7,5分)若l,m是两条不同的直线,m垂直于平面,则“lm”是“l”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8.(2015浙江名校(杭州
4、二中)交流卷六,4)下列命题正确的是()A.空间四面体的四个顶点到平面的距离相等,则最多有4个B.如果平面与平面同时垂直于平面,则C.如果三棱锥的三条侧棱两两垂直,则顶点在底面的射影一定是底面三角形的垂心D.过空间中的任意一点P都可以作出同时与异面直线a,b平行的平面9.(2015贵州遵义高三模拟,6)对于任意的直线l与平面,在平面内必有直线m,使m与l()A.平行B.相交C.垂直D.互为异面直线10.(2015广东,6,5分)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面内,l2在平面内,l是平面与平面的交线,则下列命题正确的是()A.l与l1,l2都不相交B.l与l1,l2都相交C.l至多与l1,
5、l2中的一条相交D.l至少与l1,l2中的一条相交11.(2015台州一模,7,5分)平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1与平面A1B1C1D1垂直,且AD=AB,E为CC1中点,P在对角面BB1D1D内运动,若EP与AC成30角,则点P轨迹为()A.圆B.抛物线C.双曲线D.椭圆12.(2016超级中学原创预测卷一,7,5分)如图,在长方形ABCD中,AB=,BC=1,E为线段DC上一动点.现将AED沿AE折起得到DAE,且点D在平面ABCE上的射影K在直线AE上,当点E从点D运动到点C时,点K所形成的轨迹的长度为()A.B.C.D.13.(2015宁波一模,8,5分)如图,四棱柱
6、ABCD-A1B1C1D1中,AA1面ABCD,四边形ABCD为梯形,ADBC,且AD=3BC,过A1,C,D三点的平面记为,BB1与的交点为Q,则以下四个结论:QCA1D;B1Q=2QB;直线A1B与直线CD相交;四棱柱被平面分成的上下两部分的体积相等,其中正确的个数为()A.1个B.2个C.3个D.4个14.(2015浙江名校(绍兴一中)交流卷五,11)长方体ABCD-A1B1C1D1的底面是边长为1的正方形,点E在侧棱AA1上(不与A,A1重合),满足C1EB=90,则异面直线BE与C1B1所成的角为,侧棱AA1的长的最小值为.15.(2015浙江模拟训练冲刺卷四,14)四边形ABCD中
7、,AB=AD=CD=1,BD=,BDCD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A1-BCD,使平面A1BD平面BCD,给出下列结论:(1)A1CBD;(2)BA1C=90;(3)四面体A1-BCD的体积为.其中正确的命题是.(把所有正确命题的序号都填上)16.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为棱AA1、CC1的中点,则在空间中与三条直线A1D1、EF、CD都相交的直线有条.17.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是AB和AA1的中点.求证:(1)E、C、D1、F四点共面;(2)CE、D1F、DA三线共点.18.(2015课标,19,12分)如图,长方体A
8、BCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4.过点E,F的平面与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);(2)求直线AF与平面所成角的正弦值.B组提升题组1.(2016超级中学原创预测卷九,3,5分)如果直线a平面,直线b平面,则下列说法正确的为()A.有且只有一个平面,使得a,且bB.有无数个平面,使得a,且bC.不存在平面,使得a,且bD.至多有一个平面,使得a,且b2.(2015浙江,4,5分)设,是两个不同的平面,l,m是两条不同的直线,且l,m.()A.若l,则B
9、.若,则lmC.若l,则D.若,则lm3.(2014辽宁,4,5分)已知m,n表示两条不同直线,表示平面.下列说法正确的是()A.若m,n,则mnB.若m,n,则mnC.若m,mn,则nD.若m,mn,则n4.(2016领航高考冲刺卷六,4,5分)已知a,b,c是三条不同的直线,是两个不同的平面,给出下列命题:任意给定一条直线a和一个平面,则平面内必存在与直线a垂直的直线;任意给定三条不同的直线a,b,c,必存在与a,b,c都相交的直线;若,a,b,则必存在与a,b都垂直的直线;已知,=c,a,b,若a不垂直于c,则a不垂直于b.其中正确命题的个数是()A.1B.2C.3D.45.(2013课
10、标全国,4,5分)已知m,n为异面直线,m平面,n平面.直线l满足lm,ln,l,l,则()A.且lB.且lC.与相交,且交线垂直于lD.与相交,且交线平行于l6.(2015安徽,5,5分)已知m,n是两条不同直线,是两个不同平面,则下列命题正确的是()A.若,垂直于同一平面,则与平行B.若m,n平行于同一平面,则m与n平行C.若,则在内与平行的直线D.若m,n,则m与n垂直于同一平面7.(2015浙江学军中学仿真考,4,5分)若m、n为两条不重合的直线,、为两个不重合的平面,则下列命题中真命题的个数是()若m、n都平行于平面,则m、n一定不是相交直线;若m、n都垂直于平面,则m、n一定是平行
11、直线;已知、互相垂直,m、n互相垂直,若m,则n;m、n在平面内的射影互相垂直,则m、n互相垂直.A.1B.2C.3D.48.(2015浙江高考冲刺卷(3),6)下列命题中正确的是()A.如果两条直线都平行于同一个平面,那么这两条直线互相平行B.过已知平面的一条斜线有且只有一个平面与已知平面垂直C.平面不垂直于平面,但平面内存在直线垂直于平面D.若直线l不垂直于平面,则在平面内不存在与l垂直的直线9.(2013广东,6,5分)设m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面.下列命题中正确的是()A.若,m,n,则mnB.若,m,n,则mnC.若mn,m,n,则D.若m,mn,n,则10.(2015
12、广东,8,5分)若空间中n个不同的点两两距离都相等,则正整数n的取值()A.至多等于3B.至多等于4C.等于5D.大于511.(2015温州八校联考,9)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱CC1的中点,F是侧面BCC1B1内的动点,且A1F平面D1AE,则A1F与平面BCC1B1所成角的正切值t构成的集合是()A.B.C.t|2t2D.t|2t212.(2016超级中学原创预测卷二文,7,5分)对于正方体ABCD-A1B1C1D1,点E在平面ABCD上运动,且满足EB=ED1,则点E的轨迹是()A.抛物线B.直线C.椭圆D.双曲线13.(2015郑州二模)如图,矩形ABCD中,AB=
13、2AD,E为边AB的中点,将ADE沿直线DE翻折成A1DE.若M为线段A1C的中点,则在ADE翻折过程中,下面四个命题中不正确的是()A.BM是定值B.点M在某个球面上运动C.存在某个位置,使DEA1CD.存在某个位置,使MB平面A1DE14.(2015浙江冲刺卷二,9,5分)下列四个命题:分别和两条异面直线均相交的两条直线一定是异面直线.一个平面内任意一点到另一个平面的距离均相等,那么这两个平面平行.一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面,则这两个二面角的平面角相等或互补.过两异面直线外一点能作且只能作出一条直线和这两条异面直线同时相交.其中正确命题的个数是()A.1B.2
14、C.3D.415.(2016超级中学原创预测卷四,7,5分)已知二面角-l-的大小为120,AB垂直于平面交l于点B,动点C满足AC与AB的夹角为30,则点C在平面和平面上的轨迹分别是()A.双曲线、圆B.双曲线、椭圆C.抛物线、圆D.椭圆、圆16.( 2015镇海中学仿真考,14,4分)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是AC1,A1B1的中点.点P在正方体的表面上运动,则总能使MP与BN垂直的点P的轨迹的周长等于.17.(2015温州二模,15,4分)如图所示的一块长方体木料中,已知AB=BC=4,AA1=1,设E为底面ABCD的中心,=,则该长方体中经过点A1,E
15、,F的截面面积的最小值为.18.(2015安徽安庆三模)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1,下面结论中正确的是(把你认为正确结论的序号都填上).AC平面A1DC1;BD1平面A1DC1;过点B与异面直线AC和A1D所成的角均为60的直线有且只有2条;四面体DA1C1D1与正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球半径之比为;与平面A1DC1平行的平面与正方体的各个面都有交点,则这个截面的周长为定值.19.在长方体ABCD-A1B1C1D1的A1C1面上有一点P(如图所示,其中P点不在对角线B1D1)上.(1)过P点在空间内作一条直线l,使l直线BD,应该如何作图?并说明理由;(2)过P点在平
16、面A1C1内作一条直线m,使m与直线BD成角,其中,这样的直线有几条,应该如何作图?20.(2015四川,18,12分)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.(1)请将字母F,G,H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由);(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系,并证明你的结论;(3)证明:直线DF平面BEG.21.(2014安徽,20,13分)如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1A底面ABCD.四边形ABCD为梯形,ADBC,且AD=2BC.过A1,C,D三点的平面记为,BB1与的交点为Q.(1)证明:Q为BB1的中点;(2)求此四棱柱被平面所分成上下两部分
17、的体积之比;(3)若AA1=4,CD=2,梯形ABCD的面积为6,求平面与底面ABCD所成二面角的大小.组基础题组1.A在空间中,两条直线的位置关系有平行、相交、异面.直线l1、l2是异面直线,一定有l1与l2不相交,因此p是q的充分条件;若l1与l2不相交,那么l1与l2可能平行,也可能是异面直线,所以p不是q的必要条件.故选A.2.C设直线a,b,ab=A,m,ma,mb.又nm,na,nb,n.故选C.3.D当直线l在平面内,即l时,直线l不平行于平面,但平面内存在直线与直线l平行,可知D选项错误,故选D.4.D显然错误,因为这两条直线相交才满足条件;成立;错误,这两条直线可能平行,相交
18、,也可能异面;成立,用反证法容易证明.故选D.5.C若且直线m,则在平面内,一定存在与直线m平行的直线,所以错误;若直线m,则在平面内,一定存在无数条直线与直线m垂直,故正确;若直线m,则在平面内,一定存在与直线m垂直的直线,故错误,正确,故选C.6.B因为A,所以A,B,C均不在平面内.当A,B,C三点在平面的同侧时,平面ABC,此时ABC的三条边都平行于,排除C,D;当A,B,C三点不在平面的同侧时,易知ABC中只有一条边平行于,此时平面和平面ABC相交,故选B.7.B因为lm,m,所以l或l.故充分性不成立.若l,m,一定有lm.故必要性成立.选B.8.C对于A,在空间四面体中,过其高线
19、的中点且与高垂直的平面即为平面,这样的平面有四个,而过空间四面体的任意两对对棱的中点的直线所确定的平面也符合要求,这样的平面有三个,故有7个平面,故A错;B选项的两个平面可以相交;C选项正确;D选项中点P在过直线a且与直线b平行的平面内时,不正确.9.C当直线l与平面相交时A不成立;当直线l与平面平行时B不成立;当直线l在平面内时D不成立.故选C.10.D解法一:如图1,l1与l2是异面直线,l1与l平行,l2与l相交,故A,B不正确;如图2,l1与l2是异面直线,l1,l2都与l相交,故C不正确,选D.解法二:因为l分别与l1,l2共面,故l与l1,l2要么都不相交,要么至少与l1,l2中的
20、一条相交.若l与l1,l2都不相交,则ll1,ll2,从而l1l2,与l1,l2是异面直线矛盾,故l至少与l1,l2中的一条相交,选D.11.A因为平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1与平面A1B1C1D1垂直,且AD=AB,所以该平行六面体ABCD-A1B1C1D1是一个底面为菱形的直四棱柱,所以对角面BB1D1D底面ABCD,AC对角面BB1D1D.取AA1的中点F,连结EF,则EFAC,因为EP与AC成30角,所以EP与EF成30角.设EF与对角面BB1D1D的交点为O,则EO对角面BB1D1D,所以点P的轨迹是以CO为轴的一个圆锥的底面,故选A.12.A由于DK平面ABCE,
21、所以DKAE.连结DK,则在折叠前,有DKAE.因此,点K的轨迹是以AD为直径的圆上DAC所对的那部分圆弧,所以点K所形成的轨迹的长度为2=,故选A.13.B易知平面BCC1B1平面ADD1A1,又平面平面BCC1B1=QC,平面平面ADD1A1=A1D,故QCA1D,正确;QBC与A1AD的对应边相互平行,于是QBCA1AD,=,故B1Q=2QB,正确;直线A1B与直线CD异面,错误;如图所示,连结QA,QD.设AA1=h,梯形ABCD的高为d,四棱柱被平面分成的上下两部分的体积分别为V上和V下,BC=a,则AD=3a,=3ahd=ahd,VQ-ABCD=h=ahd,所以V下=+VQ-ABC
22、D=ahd,又=dh=2ahd,所以V上=-V下=ahd,故=1,错误.故正确的结论有2个,故选B.14.答案90;2解析在长方体ABCD-A1B1C1D1中,CB平面ABB1A1,CBE=90,又C1B1BC,异面直线BE与C1B1所成的角为90.连结BC1,设AA1=x,AE=m(m0),则有BE2=1+m2,E=(x-m)2+2,B=1+x2,因为C1EB=90,所以B=E+BE2,即1+x2=(x-m)2+2+1+m2,即m2-mx+1=0,所以x=m+2当且仅当m=,即m=1时,“=”成立.15.答案(2)解析若A1CBD,BDCD,A1CCD=C,BD平面A1CD,BDA1D.而由
23、A1B=AB=1,A1D=AD=1,BD=,得A1BA1D,与BDA1D矛盾,故(1)错.CDBD,平面BCD平面A1BD,CD平面A1BD,则CDA1B.又A1BA1D,A1DCD=D,A1B平面A1CD,则A1BA1C,故(2)正确.由(2)知=A1BA1DCD=,故(3)错.16.答案无数解析在A1D1上任取一点P,过点P与直线EF作一个平面,因为CD与平面不平行,所以它们相交,设CD=Q,连结PQ,则PQ与EF必然相交.由点P的任意性,知有无数条直线与A1D1、EF、CD都相交.17.证明(1)如图所示,连结CD1、EF、A1B,E、F分别是AB和AA1的中点,EFA1B且EF=A1B
24、.又A1D1BC,四边形A1BCD1是平行四边形,A1BCD1,EFCD1,EF与CD1确定一个平面,E、F、C、D1,即E、C、D1、F四点共面.(2)由(1)知EFCD1,且EF=CD1,四边形CD1FE是梯形,CE与D1F必相交,设交点为P,则PCE平面ABCD,且PD1F平面A1ADD1,P平面ABCD且P平面A1ADD1.又平面ABCD平面A1ADD1=AD,PAD,CE、D1F、DA三线共点.18.解析(1)交线围成的正方形EHGF如图:(2)作EMAB,垂足为M,则AM=A1E=4,EM=AA1=8.因为EHGF为正方形,所以EH=EF=BC=10.于是MH=
25、6,所以AH=10.以D为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则A(10,0,0),H(10,10,0),E(10,4,8),F(0,4,8),=(10,0,0),=(0,-6,8).设n=(x,y,z)是平面EHGF的法向量,则即所以可取n=(0,4,3).又=(-10,4,8),故|cos|=.所以AF与平面EHGF所成角的正弦值为.B组提升题组1.D直线a平面,直线b平面,则直线a与直线b平行或异面,当ab时,无法过b作平面,使得a,而a与直线b异面但不垂直时,也无法过b作平面,使得a,只有当a与直线b异面且垂直时,才能存在唯一的平面,使得a,故选D.2
26、.A对于选项A,由面面垂直的判定定理可知选项A正确;对于选项B,若,l,m,则l与m可能平行,可能相交,也可能异面,所以选项B错误;对于选项C,当l平行于与的交线时,l,但此时与相交,所以选项C错误;对于选项D,若,则l与m可能平行,也可能异面,所以选项D错误.故选A.3.BA选项m、n也可以相交或异面,C选项也可以n,D选项也可以n或n与斜交.根据线面垂直的性质可知选B.4.B显然正确;当ab,a,b,c时,不存在与a,b,c都相交的直线,故错误;显然正确;当bc时,b,显然此时无论a是不是垂直于c,a都垂直于b,故错误.所以正确命题的个数是2,选B.5.D若,则mn,这与m、n为异面直线矛
27、盾,所以A不正确.易知与不一定垂直,但与的交线一定平行于l,从而排除B、C.故选D.6.D若,垂直于同一个平面,则,可以都过的同一条垂线,即,可以相交,故A错;若m,n平行于同一个平面,则m与n可能平行,也可能相交,还可能异面,故B错;若,不平行,则,相交,设=l,在内存在直线a,使al,则a,故C错;从原命题的逆否命题进行判断,若m与n垂直于同一个平面,由线面垂直的性质定理知mn,故D正确.7.A因为平行于同一平面的两条直线可以平行、相交、异面,所以为假命题;因为垂直于同一平面的两条直线平行,所以为真命题;中,n可以与平行或相交,也可以在内,所以为假命题;中,m,n也可以不互相垂直,所以为假
28、命题.综上,真命题只有一个,故选A.8.B平行于同一个平面的两条直线可能平行,也可能相交,还可能异面,故A错;在斜线上取一点作已知平面的垂线,垂线与斜线确定唯一的平面且该平面与已知平面垂直,故B正确;若平面内存在直线垂直于平面,则平面垂直于平面,故C错;D显然错.故选B.9.D若,m,n,则m与n可能平行,也可能相交或异面,故A错;若,m,n,则m与n可能平行,也可能异面,故B错;若mn,m,n,则与可能相交,也可能平行,故C错;对于D项,由m,mn,得n,又知n,故,所以D项正确.10.B由正四面体的定义可知n=4能满足条件.当n5时,可设其中三个点为A、B、C,由直线与平面垂直的性质及点到
29、点的距离定义可知到A、B、C三点距离相等的点必在过ABC的重心且与平面ABC垂直的直线上,从而易知到A、B、C的距离等于正三角形ABC边长的点有两个,分别在平面ABC的两侧.此时可知这两点间的距离大于正三角形的边长,从而不可能有5个点满足条件.当然也不可能有多于5个的点满足条件.故选B.11.D设平面AD1E与直线BC交于点G,连结AG、EG,则G为BC的中点,分别取B1B、B1C1的中点M、N,连结A1M、MN、A1N,A1MD1E,A1M平面D1AE,D1E平面D1AE,A1M平面D1AE.同理可得MN平面D1AE,A1M、MN是平面A1MN内的相交直线,平面A1MN平面D1AE,由此结合
30、A1F平面D1AE,可得直线A1F平面A1MN,即点F是线段MN上的动点.设直线A1F与平面BCC1B1所成角为,当F与M(或N)重合时,A1F与平面BCC1B1所成角等于A1MB1(A1NB1),此时达到最小值,满足tan=2;当F与MN中点重合时,A1F与平面BCC1B1所成角达到最大值,满足tan=2,A1F与平面BCC1B1所成角的正切值的取值范围为2,2.故选D.12.B由于点E在平面ABCD上运动,且满足EB=ED1,即点E在BD1的垂直平分面上,所以点E的轨迹是平面ABCD与BD1的垂直平分面的交线,即直线,所以选B.13.C延长CB至F,使CB=BF,连结A1F,则MB为A1F
31、C的中位线,即MB=A1F,因为在翻折过程中A1F为定值,所以BM为定值.点A1绕DE的中点做圆周运动,点M运动的轨迹与点A1相似,所以点M在某个球面上运动.由题意知DEEC,若DEA1C,则直线DE平面ECA1,于是DEA1=90,又因为DAE=90,即DA1E=90,此时在一个三角形中有两个直角,所以DE不可能垂直于A1C.由MBA1F,可知当A1F在平面A1DE内时,MB平面A1DE.14.A设直线a,b与两异面直线c,d相交,若直线a,b与直线c交于同一点,则直线a,b不是异面直线,故错.显然对.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面AA1D1D平面CDD1C1
32、,平面A1D1C1B1平面ACC1A1.而平面AA1D1D与平面A1D1C1B1所成角为直角,平面CDD1C1与平面ACC1A1所成角为45,故错.设直线a,b为两异面直线,则过直线a存在一个与直线b平行的平面,过平面内且不在直线a上的点M的直线就不能与两异面直线a,b同时相交,故错.因此正确的命题只有一个.15.C因为AB垂直于平面,所以点C在平面上的轨迹为以A为顶点,AB所在直线为旋转轴,AC为一条母线的圆锥与平面的交线,即该轨迹为圆.因为二面角-l-的大小为120,所以平面与上述圆锥的一条母线AC平行,故点C在平面上的轨迹是抛物线.16.答案2+解析取BB1,CC1的中点E,F,连结AE
33、,EF,FD,易知BN平面AEFD,设M在平面ABB1A1内的射影为O,过MO与平面AEFD平行的平面为,则使MP与BN垂直的点P的轨迹为矩形,其周长与矩形AEFD的周长相等.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,矩形AEFD的周长为2+.17.答案解析以AA1所在直线为z轴,AB所在直线为y轴,AD所在直线为x轴建立空间直角坐标系,连结FE并延长交BC于K,则K(4-4,4,0),A1(0,0,1),F(4,0,0),则=(4-8,4,0),=(-4,0,1),S=|sinA1FK,则S2=|2|2-()2=(4-8)2+16(162+1)-4(4-8)2=32(102-2+1),0,
34、所以S2的最小值为,则面积的最小值为.18.答案解析ACA1C1,AC平面A1DC1,A1C1平面A1DC1,AC平面A1DC1,正确;BD1A1D,BD1C1D,A1DC1D=D,BD1平面A1DC1,正确;异面直线AC和A1D所成的角为60,过点B与异面直线AC和A1D所成的角均为60的直线有且只有3条,故错误;设AA1=a,可求得四面体DA1C1D1的内切球半径为a,而正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球半径为a,所求的比应为1-,故错误;将正方体展开,如图所示,易知截面的周长为定值,等于3a(a为正方体的棱长),故正确.综上所述,正确.19.解析(1)连结B1D1,BD,在平面A1
35、C1内过P点作直线l,使l直线B1D1,则l即为所求作的直线.直线B1D1直线BD,l直线B1D1,l直线BD.如图(1).图(1)(2)在平面A1C1内作直线m,使直线m与B1D1相交成角,BDB1D1,直线m与直线BD也成角,即直线m为所求作的直线,如图(2).由图(2)知m与BD是异面直线,且m与BD所成的角.图(2)当=时,这样的直线m有且只有一条,当时,这样的直线m有两条.20.解析(1)点F,G,H的位置如图所示.(2)平面BEG平面ACH.证明如下:因为ABCD-EFGH为正方体,所以BCFG,BC=FG,又FGEH,FG=EH,所以BCEH,BC=EH,于是BCHE为平行四边形
36、.所以BECH.又CH平面ACH,BE平面ACH,所以BE平面ACH.同理BG平面ACH.又BEBG=B,所以平面BEG平面ACH.(3)证明:连结FH.因为ABCD-EFGH为正方体,所以DH平面EFGH,因为EG平面EFGH,所以DHEG.又EGFH,DHFH=H,所以EG平面BFHD.又DF平面BFHD,所以DFEG.同理DFBG.又EGBG=G,所以DF平面BEG.21.解析(1)证明:因为BQAA1,BCAD,BCBQ=B,ADAA1=A,所以平面QBC平面A1AD.从而平面A1CD与这两个平面的交线相互平行,即QCA1D.故QBC与A1AD的对应边相互平行,于是QBCA1AD.所以
37、=,即Q为BB1的中点.(2)如图1,连结QA,QD.设AA1=h,梯形ABCD的高为d,四棱柱被平面所分成上下两部分的体积分别为V上和V下,BC=a,则AD=2a.图1=2ahd=ahd,VQ-ABCD=dh=ahd,所以V下=+VQ-ABCD=ahd,又=dh=ahd,所以V上=-V下=ahd-ahd=ahd,故=.(3)解法一:如图1,在ADC中,作AEDC,垂足为E,连结A1E,AC.又DEAA1,且AA1AE=A,所以DE平面AEA1,于是DEA1E.所以AEA1为平面与底面ABCD所成二面角的平面角.因为BCAD,AD=2BC,所以SADC=2SBCA.又因为梯形ABCD的面积为6
38、,DC=2,所以SADC=4,AE=4.于是tanAEA1=1,AEA1=.故平面与底面ABCD所成二面角的大小为.解法二:如图2,以D为原点,的方向分别为x轴和z轴正方向建立空间直角坐标系.图2设CDA=.因为S四边形ABCD=2sin=6,所以a=.从而C(2cos,2sin,0),A1,所以=(2cos,2sin,0),=.设平面A1DC的一个法向量为n=(x,y,1),由得x=-sin, y=cos,所以n=(-sin,cos,1).又因为平面ABCD的一个法向量为m=(0,0,1),所以cos=,由图知平面与底面ABCD所成二面角的平面角为锐角,故平面与底面ABCD所成二面角的大小为.
