1、高考资源网（） 您身边的高考专家温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。11.3.3平面与平面平行1.平面与平面的位置关系2.平面与平面平行的判定定理3.平面与平面平行的性质定理1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”)(1)两个平面,一条直线a平行于平面,则a一定平行于平面.()(2)三角板的两条边所在直线分别与平面平行,这个三角板所在平面与平面平行.()(3)平面内的一个平行四边形的两边与平面内的一个平行四边形的两边对应平行,则.()(4)若平面,点P,a且Pa,那么a.()提示:(1).直线a可能与平行,也可
2、能在内.(2).三角板的两条边所在直线是相交的,根据平面与平面平行的判定定理可知此说法正确.(3).若平行四边形的两边是对边,则互相平行不相交,无法推出.(4).因为平面,a,所以a或a,又因为点P,Pa,所以a.2.已知平面平面,过平面内的一条直线a的平面与平面相交,交线为直线b,则a,b的位置关系是()A.平行B.相交C.异面D.不确定【解析】选A.由面面平行的性质定理可知选项A正确.3.(教材二次开发:例题改编)底面为平行四边形的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,与平面BB1C1C平行的平面是()A.平面AA1D1DB.平面AA1B1BC.平面DD1C1CD.平面ABCD【解析】选A.
3、根据图形及平面平行的判定定理知,平面BB1C1C平面AA1D1D.4.下列命题:两个平面有无数个公共点,则这两个平面重合;若l,m是异面直线,l,m,则.其中错误命题的序号为_.【解析】对于,两个平面相交,则有一条交线,也有无数多个公共点,故错误;对于,借助于正方体ABCD-A1B1C1D1,AB平面DCC1D1,B1C1平面AA1D1D,又AB与B1C1异面,而平面DCC1D1与平面AA1D1D相交,故错误.答案:关键能力合作学习类型一平面与平面平行的判定(逻辑推理、直观想象)【典例】已知正方形ABCD与菱形ABEF所在平面相交,求证:平面BCE平面ADF.【思路导引】由四边形ABCD是正方
4、形,证得BC平面ADF,由四边形ABEF为菱形,证得BE平面ADF,即可利用面面平行的判定定理,证得平面BCE平面ADF.【解析】因为四边形ABCD是正方形,所以BCAD.因为BC平面ADF,AD平面ADF,所以BC平面ADF.因为四边形ABEF是菱形,所以BEAF.因为BE平面ADF,AF平面ADF,所以BE平面ADF.因为BC平面ADF,BE平面ADF,BCBE=B,BC,BE平面BCE,所以平面BCE平面ADF.常见面面平行的判定方法(1)定义法:两个平面没有公共点.(2)判定定理法:转化为线面平行.(3)平行平面的传递性:两个平面都和第三个平面平行,则这两个平面平行.(4)利用平面与平
5、面平行的判定定理的推论:若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线,则这两个平面平行.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形.点M,N,Q分别在PA,BD,PD上,且PMMA=BNND=PQQD.求证:平面MNQ平面PBC.【证明】因为PMMA=BNND=PQQD,所以MQAD,NQBP.又因为BP平面PBC,NQ平面PBC,所以NQ平面PBC.因为四边形ABCD为平行四边形.所以BCAD,所以MQBC.又因为BC平面PBC,MQ平面PBC,所以MQ平面PBC.又因为MQNQ=Q,MQ,NQ平面MNQ,所以平面MNQ平面PBC.类型二面面平行性质定理的应
6、用(逻辑推理、直观想象)角度1与性质有关的证明问题【典例】如图,在四面体ABCD中,点E,F分别为棱AB,AC上的点,点G为棱AD的中点,且平面EFG平面BCD.求证:BC=2EF.【思路导引】由平面EFG平面BCD,可得出线线平行,再利用点G为棱AD的中点,即可得出结论.【证明】因为平面EFG平面BCD,平面ABD平面EFG=EG,平面ABD平面BCD=BD,所以EGBD,又G为AD的中点,故E为AB的中点,同理可得,F为AC的中点,所以BC=2EF.角度2与性质有关的计算问题【典例】如图,已知平面平面,P,且P,过点P的直线m与,分别交于A,C,过点P的直线n与,分别交于B,D,且PA=6
7、,AC=9,PD=8,则BD=_.【思路导引】面面平行线线平行分线段比例相等.【解析】因为ACBD=P,所以经过直线AC与BD可确定平面PCD,因为,平面PCD=AB,平面PCD=CD,所以ABCD.所以=,即=.所以BD=.答案:应用平面与平面平行性质定理的基本步骤提醒:面面平行性质定理的实质:面面平行线线平行,体现了转化思想.与判定定理交替使用,可实现线面、线线、面面平行间的相互转化.【拓展延伸】1.常用的面面平行的其他几个性质(1)两个平面平行,其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.(2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等.(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.
8、(4)两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例.(5)如果两个平面分别平行于第三个平面,那么这两个平面互相平行.2.证明线与线、线与面的平行关系的一般规律是:“见了已知想性质,见了求证想判定”,也就是说“发现已知,转化结论,沟通已知与未知的关系”.这是分析和解决问题的一般思维方法,而作辅助线和辅助面往往是沟通已知和未知的有效手段.【拓展训练】已知平面平面,点A,C,点B,D,直线AB,CD交于点S,且SA=8,SB=9,CD=34.(1)若点S在平面,之间,则SC=_.(2)若点S不在平面,之间,则SC=_.【解析】(1)如图所示,因为ABCD=S,所以AB,CD确定一个平面,设为,则
9、=AC,=BD.因为,所以ACBD.于是=,即=.所以SC=16.(2)如图所示,同理知ACBD,则=,即=,解得SC=272.答案:(1)16(2)272【变式训练】将本题中的条件“SA=8,SB=9,CD=34.”改为“SA=18,SB=9,CD=34”,求SC.【解析】如图(1),由可知BDAC,所以=,即=,所以SC=68.如图(2),由知ACBD,所以=,即=.所以SC=.综上,SC的大小为68或.1.平面与圆台的上、下底面分别相交于直线m,n,则m,n的位置关系是()A.平行B.相交C.异面D.平行或异面【解析】选A.因为圆台的上、下底面互相平行,所以由平面与平面平行的性质定理可知
10、mn.2.已知平面平面,直线a,则直线a与平面的位置关系为_.【解析】因为,所以与无公共点,因为a,所以a与无公共点,所以a.答案:a3.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E是CC1的中点.(1)求证:AC1平面BDE.(2)判断并证明,点F在棱DD1上什么位置时,平面AC1F平面BDE.【解析】(1)设ACBD=O,连接OE.因为O,E分别为AC,CC1的中点,所以OEAC1,又AC1平面BDE,OE平面BDE,所以AC1平面BDE.(2)F为棱DD1的中点时,平面AC1F平面BDE.证明如下:因为点F为DD1的中点,E为CC1的中点,所以DFC1E,四边形DFC1E为平行四边形,
11、所以FC1DE,FC1平面BDE,DE平面BDE,所以FC1平面BDE.又AC1平面BDE,且FC1AC1=C1.所以平面AC1F平面BDE.类型三平行关系的综合应用(逻辑推理、直观想象)【典例】已知底面是平行四边形的四棱锥P-ABCD,点E在PD上,且PEED=21,在棱PC上是否存在一点F,使BF平面AEC?若存在,证明你的结论,并说出点F的位置.若不存在,请说明理由.【思路导引】解答本题应抓住BF平面AEC.先找BF所在的平面平行于平面AEC,再确定F的位置.【解析】存在点F,当F为PC中点时,BF平面AEC,证明如下:如图,连接BD交AC于O点,连接OE,过B点作OE的平行线交PD于点
12、G,过点G作GFCE,交PC于点F,连接BF.因为BGOE,BG平面AEC,OE平面AEC,所以BG平面AEC.同理,GF平面AEC,又BGGF=G.所以平面BGF平面AEC.所以BF平面AEC.因为BGOE,O是BD中点,所以E是GD中点.又因为PEED=21,所以G是PE中点.而GFCE,所以F为PC中点.综上,当点F是PC中点时,BF平面AEC.空间中线、面平行关系的转化线线、线面、面面间的平行关系的判定和性质,常常是通过线线关系、线面关系、面面关系的相互转化来表达.本例若改为“已知底面是平行四边形的四棱锥P-ABCD,在棱PD上是否存在一点E,使PB平面ACE?若存在,请找出E点位置;
13、若不存在,请说明理由”,该如何解决?【解析】如图,连接AC,BD交于点O,取PD中点为E,连接OE,AE,CE,则在PBD中,OEPB,又OE平面ACE,PB平面ACE,所以PB平面ACE.此时E为PD中点,故当E为PD中点时,能使PB平面ACE.如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是边长为2的正三角形,点E,F分别是棱CC1,BB1上的点,点M是线段AC上的动点,EC=2FB=2,当点M在何位置时,BM平面AEF.【解析】如图,取EC的中点P,AC的中点Q,连接PQ,PB,BQ,则PQAE.因为EC=2FB=2,所以PE=BF.所以四边形BFEP为平行四边形,所以PBEF.又AE,EF平
14、面AEF,PQ,PB平面AEF,所以PQ平面AEF,PB平面AEF.又PQPB=P,PQ,PB平面PBQ,所以平面PBQ平面AEF.又BQ平面PBQ,所以BQ平面AEF.故点Q即为所求的点M,即点M为AC的中点时,BM平面AEF.【补偿训练】 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G分别为B1C1,A1B1,AB的中点.(1)求证:平面A1C1G平面BEF.(2)若平面A1C1GBC=H,求证:H为BC的中点.【证明】(1)因为E,F分别为B1C1,A1B1的中点,所以EFA1C1,因为A1C1平面A1C1G,EF平面A1C1G,所以EF平面A1C1G,又F,G分别为A1B1,AB的中
15、点,所以A1F=BG,又A1FBG,所以四边形A1GBF为平行四边形,则BFA1G,因为A1G平面A1C1G,BF平面A1C1G,所以BF平面A1C1G,又EFBF=F,所以平面A1C1G平面BEF.(2)因为平面ABC平面A1B1C1,平面A1C1G平面A1B1C1=A1C1,平面A1C1G与平面ABC有公共点G,则这两个平面的交线经过G,又因为平面A1C1GBC=H,所以设平面A1C1G平面ABC=GH,则A1C1GH,得GHAC,因为G为AB的中点,所以H为BC的中点.课堂检测素养达标1.平面与平面平行的条件可以是()A.内有无数多条直线与平行B.直线a,aC.直线a,直线b,且a,bD
16、.内的任何直线都与平行【解析】选D.由面面平行的定义知,选D.2.在三棱台ABC-A1B1C1中,直线AB与平面A1B1C1的位置关系是()A.相交B.平行C.在平面内D.不确定【解析】选B.因为ABA1B1,AB平面A1B1C1,A1B1平面A1B1C1,所以AB平面A1B1C1.3.(教材二次开发:练习改编)已知点S是正三角形ABC所在平面外一点,点D,E,F分别是SA,SB,SC的中点,则平面DEF与平面ABC的位置关系是_.【解析】由D,E,F分别是SA,SB,SC的中点,知EF是SBC的中位线,所以EFBC.又因为BC平面ABC,EF平面ABC,所以EF平面ABC.同理DE平面ABC
17、,又因为EFDE=E,EF,DF平面DEF,所以平面DEF平面ABC.答案:平行4.如图是长方体被一平面所截得的几何体,四边形EFGH为截面,则四边形EFGH的形状为_.【解析】因为平面ABFE平面CDHG,又平面EFGH平面ABFE=EF,平面EFGH平面CDHG=HG,所以EFHG.同理EHFG,所以四边形EFGH的形状是平行四边形.答案:平行四边形课时素养评价十七平面与平面平行(20分钟35分)1.a,b,则a与b位置关系是()A.平行B.异面C.相交D.平行或异面或相交【解析】选D.如图(1),(2),(3)所示,a与b的关系分别是平行、异面或相交.2.下列说法中,错误的是()A.平面
18、内一个三角形各边所在的直线都与另一个平面平行,则这两个平面平行B.平行于同一个平面的两个平面平行C.若两个平面平行,则位于这两个平面内的直线也互相平行D.若两个平面平行,则其中一个平面内的直线与另一个平面平行【解析】选C.分别在两个平行平面内的直线,可能平行,也可能异面.3.,是两个不重合的平面,在下列条件中,可判定的是()A.,都平行于直线l,mB.内有三个不共线的点到的距离相等C.l,m是内的两条直线,且l,mD.l,m是两条异面直线且l,m,l,m【解析】选D.A,B,C中都有可能使两个平面相交;D中l,m,可在内取一点,过该点作l,m的平行线l,m,则l,m在平面内且相交,又易知l,m
19、,所以.4.若夹在两个平面间的三条平行线段相等,那么这两个平面的位置关系为.【解析】三条平行线段共面时,两平面可能平行也可能相交,当三条平行线段不共面时,两平面一定平行.答案:平行或相交5.如图所示,平面四边形ABCD所在的平面与平面平行,且四边形ABCD在平面内的平行投影A1B1C1D1是一个平行四边形,则四边形ABCD的形状一定是.【解析】由平行投影的定义,AA1BB1,而ABCD所在平面与平面平行,则ABA1B1,则四边形ABB1A1为平行四边形,所以ABA1B1,同理四边形CC1D1D为平行四边形,CDC1D1.因为A1B1C
20、1D1,所以ABCD,从而四边形ABCD为平行四边形.答案:平行四边形6.如图,四棱锥P-ABCD中,已知四边形ABCD是平行四边形,点E,M,N分别为边BC,AD,AP的中点. 求证:PE平面BNM.【证明】连接DE,因为M,N分别为边AD,AP的中点,所以MNPD,因为MN平面PDE,PD平面PDE,所以MN平面PDE,因为E,M分别是BC,AD的中点,四边形ABCD是平行四边形,所以四边形BEDM是平行四边形,所以MBDE ,MB平面PDE,DE平面PDE,所以MB面PDE,因为MNMB=M,所以平面MNB平面PDE,因为PE平面PDE,所以PE平面BNM.(30分钟
21、60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.设平面平面,A,B,C是AB的中点,当点A,B分别在平面,内运动时,动点C()A.不共面B.当且仅当点A,B分别在两条直线上移动时才共面C.当且仅当点A,B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D.无论点A,B如何移动都共面【解析】选D.无论点A,B如何移动,其中点C到,的距离始终相等,故点C在到,距离相等且与两平面都平行的平面上.2.已知m,n是两条直线,是两个平面.有以下说法:m,n相交且都在平面,外,m,m,n,n,则;若m,m,则;若m,n,mn,则.其中正确的个数是()A.0B.1C.2D.3【解析】选B.把符号语言转换为文字语言或图形语
22、言.可知是面面平行的判定定理;中平面,还有可能相交.【补偿训练】设a,b表示直线,表示平面,则下列命题中不正确的是()A.,=a,=babB.ab,b,aaC.,D.,aa【解析】选D.当且a时,可能有a,也可能有a,因此选项D中的命题不正确.3.在正方体EFGH-E1F1G1H1中,下列四对截面彼此平行的一对是()A.平面E1FG1与平面EGH1B.平面FHG1与平面F1H1GC.平面F1H1H与平面FHE1D.平面E1HG1与平面EH1G【解析】选A.如图,因为EGE1G1,EG平面E1FG1,E1G1平面E1FG1,所以EG平面E1FG1,又G1FH1E,同理可证H1E平面E1FG1,又
23、H1EEG=E,H1E平面EGH1,EG平面EGH1,所以平面E1FG1平面EGH1.4.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是A1B1的中点,点P是侧面CDD1C1上的动点,且MP平面AB1C,则线段MP长度的取值范围是()A.B.C.D.【解析】选B.取CD的中点N,CC1的中点R,B1C1的中点H,则MNB1CHR,MHAC,所以平面MNRH平面AB1C,所以MP平面MNRH,线段MP扫过的图形是MNR,因为AB=2,所以MN=2,NR=,MR=,所以MN2=NR2+MR2,所以MRN是直角,所以线段MP长度的取值范围是.【补偿训练】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1
24、中,E是AB的中点,F在CC1上,且CF=2FC1,点P是侧面AA1D1D(包括边界)上一动点,且PB1平面DEF,则tanABP的取值范围是.【解析】作出平面MNQB1平面DEF,则A1Q=2AQ,DN=2D1N,因为PB1平面DEF,所以点P的轨迹是线段QN,因此,当点P运动到点Q处时,tanABP取得最小值,此时tanABP=;当点P运动到点N处时,tanABP取得最大值,此时tanABP=;所以tanABP的取值范围是.答案:二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.用一个平面去截三棱柱ABC-A1B1C1,交A1C1,B1C1,BC,A
25、C分别于点E,F,G,H. 若A1AA1C1,则截面的形状可以为()A.矩形B.菱形C.正方形D.梯形【解析】选AD.因为四边形EFGH的相邻两边不可能相等,所以不能选B,C;当FGB1B时,四边形EFGH为矩形;当FG不与B1B平行时,四边形EFGH为梯形.6.已知a,b表示两条不重合的直线,表示三个不重合的平面,给出下列命题,其中正确的是()A.若=a,=b,且ab,则B.若a,b相交且都在,外,a,b,a,b,则C.若a,a,则D.若a,a,=b,则ab【解析】选BD.对于A,若=a,=b,且ab,则或者与相交,故A错误;对于B,若a,b相交且都在,外,根据线面关系的基本事实可得a,b可
26、以确定一个平面记为,a,b,a,b,可得,由面面平行的传递性可知,故B正确;对于C,a,a,则也可能与相交,故C错误;对于D,由a,a,=b,结合线面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行,则ab,故D正确.【补偿训练】,为三个不重合的平面,a,b,c为三条不重合的直线,则下列命题中正确的是()A.abB.abC.D.【解析】选AD.对于A,两条直线平行于第三条直线,这两条直线平行,故A正确.对于B,两条直线都与同一个平面平行,则这两条直线可能相交,也可能是异面直线,不一定平行,故B不正确.对于C,两个平面都与同一条直线平行,则这两
27、个平面可能平行,也可能相交,故C不正确.对于D,由面面平行的传递性可知平行于同一平面的两个平面平行,故D正确.三、填空题(每小题5分,共10分)7.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,过BB1的中点E作一个与平面ACB1平行的平面交AB于M,交BC于N,则MN=AC,MN平面AB1C.【解析】因为平面MNE平面ACB1,平面ABCD平面MNE=MN,平面ABCD平面ACB1=AC,所以MNAC.同理可证EMAB1,ENB1C.因为E是B1B的中点,所以M,N分别是AB,BC的中点,所以MN=AC.又因为MNAC,MN平面AB1C,AC平面AB1C,所以MN平面AB1C.答案:8.在长方
28、体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱DD1上的点.当平面AB1C平面A1EC1时,点E的位置是.【解析】如图,连接B1D1,BD,设B1D1A1C1=M,BDAC=O,连接ME,B1O.因为平面AB1C平面A1EC1,平面AB1C平面BDD1B1=B1O,平面A1EC1平面BDD1B1=ME,所以B1OME.又四边形B1MDO为平行四边形,则B1OMD.所以得到点E与点D重合.答案:点D处四、解答题(每小题10分,共20分)9.如图所示,在直角梯形ABCP中,BCAP,ABBC,CDAP,AD=DC=PD.E,F,G分别为线段PC,PD,BC的中点,现将PDC折起,使点P平面ABCD.求证:
29、平面PAB平面EFG.【证明】因为PE=EC,PF=FD,所以EFCD,又因为CDAB,所以EFAB,又EF平面PAB,AB平面PAB,所以EF平面PAB,同理可证EG平面PAB.又因为EFEG=E,所以平面PAB平面EFG.10.如图所示,斜三棱柱ABC-A1B1C1中,点D,D1分别为AC,A1C1上的点.(1)当等于何值时,BC1平面AB1D1.(2)若平面BC1D平面AB1D1,求的值.【解析】连接A1B交AB1于点O,连接OD1.(1)如图所示,取D1为线段A1C1的中点,此时=1.由棱柱的性质知,四边形A1ABB1为平行四边形,所以点O为A1B的中点.在A1BC1中,点O,D1分别
30、为A1B,A1C1的中点,所以OD1BC1.又因为OD1平面AB1D1,BC1平面AB1D1,所以BC1平面AB1D1.所以当=1时,BC1平面AB1D1.(2)由平面BC1D平面AB1D1,且平面A1BC1平面BC1D=BC1,平面A1BC1平面AB1D1=D1O得BC1D1O,所以=,又由题(1)可知=,=1,所以=1,即=1.1.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=6,AB=3,AD=8,点M是棱AD的中点,点N在棱AA1上,且满足AN=2NA1,P是侧面四边形ADD1A1内一动点(含边界),若C1P平面CMN,则线段C1P长度的取值范围是()A.B.C.D.【解析】选D
31、.取A1D1中点E,在DD1上取点F,使D1F=2DF,连接EF,C1E,C1F,则平面CMN平面C1EF,因为P是侧面四边形ADD1A1内一动点(含边界),C1P平面CMN,所以P线段EF,因为在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=6,AB=3,AD=8,点M是棱AD的中点,点N在棱AA1上,且满足AN=2NA1,所以C1E=5,C1F=5,所以当P与EF的中点O重合时,线段C1P长度取最小值,当P与点E或点F重合时,线段C1P长度取最大值,即=C1E=C1F=5,EF=4,=C1O=,所以线段C1P长度的取值范围是,5.【补偿训练】如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1
32、中,点E,F分别是棱A1D1,A1B1的中点,P是侧面正方形BCC1B1内一点(含边界),若FP平面AEC,则线段A1P长度的取值范围是.【解析】取B1C1中点G,连接FG,BG,因为在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是棱A1D1,A1B1的中点,所以AEBG,ACFG,因为AEAC=A,BGFG=G,所以平面FGB平面AEC,因为P是侧面正方形BCC1B1内一点(含边界),FP平面AEC,所以点P在线段BG上运动,在等腰A1BG中,A1G=BG=,A1B=2,作A1HBG于H,由等面积法解得:A1H=,所以A1HA1PA1B,所以线段A1P长度的取值范围是.答案:2
33、.如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1 中,点M是线段B1D1上的一个动点,E,F分别是BC,CM的中点.(1)求证:EF平面BDD1B1.(2)在棱CD上是否存在一点G,使得平面GEF平面BDD1B1?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)连接BM,因为BE=EC,CF=FM,所以EFBM,又EF平面BDD1B1,BM平面BDD1B1,所以EF平面BDD1B1.(2)存在.当点G是CD的中点,即=1时,平面GEF平面BDD1B1.理由如下:因为BE=EC,CG=GD,所以GEBD,又GE平面BDD1B1,BD平面BDD1B1,所以GE平面BDD1B1.由(1)知EF平面BDD1B1,又GEEF=E,GE平面GEF,EF平面GEF,所以平面GEF平面BDD1B1.关闭Word文档返回原板块- 30 - 版权所有高考资源网
