1、3.3.2抛物线的简单几何性质第1课时抛物线的简单几何性质素养目标定方向 课程标准学法解读了解抛物线的简单几何性质1依据抛物线的方程、图形研究抛物线的几何性质(数学抽象)2能解决与抛物线的简单几何性质相关的简单问题(数学运算)3能综合利用抛物线的几何性质解决相关的综合问题(数学运算、逻辑推理)必备知识探新知 知识点 抛物线的简单几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)图形范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR对称轴x轴x轴y轴y轴焦点坐标F_F_F_F_准线方程x_x_y_y_顶点坐标O(0,0)离心率e_1_通径长_2p_关键能力攻重难
2、题型探究题型一抛物线几何性质的应用典例1已知抛物线y28x(1)求出该抛物线的顶点坐标、焦点坐标、准线、对称轴、自变量x的范围；(2)以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，其中|OA|OB|若焦点F是OAB的重心，求OAB的周长分析(1)利用抛物线的对应性质求解；(2)利用抛物线的对称性及重心的性质求解解析(1)抛物线y28x的顶点坐标、焦点坐标、准线、对称轴、自变量x的范围分别为(0,0)，(2,0)，直线x2，x轴，0，)(2)如图所示由|OA|OB|可知ABx轴，设垂足为点M因为焦点F是OAB的重心，所以|OF|OM|因为F(2,0)，所以|OM|OF|3，所以M(3,0)
3、故设A(3，m)(m0)，代入y28x得m224，所以m2或m2(舍去)所以A(3,2)，B(3，2)，|OA|OB|，所以OAB的周长为24规律方法抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题时具有广泛的应用，但是在解题的过程中又容易忽视这些隐含的条件其中应用最广泛的是范围、对称性、顶点坐标在解题时，应先注意开口方向、焦点位置，选准标准方程形式，然后利用条件求解要注意运用数形结合思想，根据抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相互转化【对点训练】已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2y24相交于A，B两点，|AB|2，求抛物线方程解析由已知，抛物线的焦点可能在x轴正半
4、轴上，也可能在负半轴上故可设抛物线方程为y2ax(a0)设抛物线与圆x2y24的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)抛物线y2ax(a0)与圆x2y24都关于x轴对称，点A与B关于x轴对称，|y1|y2|且|y1|y2|2，|y1|y2|，代入圆x2y24，得x234，x1，A(1，)或A(1，)，代入抛物线方程，得()2a，a3所求抛物线方程是y23x或y23x题型二抛物线焦点弦的性质典例2斜率为2的直线经过抛物线y24x的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求线段AB的长解析如图，由抛物线的标准方程可知，焦点F(1,0)，准线方程x1由题设，直线AB的方程为：y2x2代入抛物线方程y24x，
5、整理得：x23x10设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由抛物线定义可知，|AF|等于点A到准线x1的距离|AA|，即|AF|AA|x11，同理|BF|x21，|AB|AF|BF|x1x22325规律方法解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦的长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解【对点训练】过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，如果x1x26，那么|AB|的值为(B)A6B8C9D10解析由题意，p2，故抛物线的准线方程是x1，过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2
6、)两点，|AB|x1x22，又x1x26，|AB|x1x228故选B题型三抛物线的对称性典例3正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y22px(p0)上，求这个正三角形的边长解析如图，设正三角形OAB的顶点A、B在抛物线上，且它们坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)则：y2px1，y2px2又|OA|OB|，xyxy，即xx2px12px20，(x1x2)(x1x22p)0x10，x20,2p0，x1x2，由此可得|y1|y2|，即线段AB关于x轴对称由于AB垂直于x轴，且AOx30tan 30，而y2px1， y12p于是|AB|2y14p规律方法1为了简化解题过程，有时可
7、根据抛物线方程的特征利用参数表示抛物线上动点的坐标，有时还可以利用抛物线的对称性避免分类讨论2不能把抛物线看作是双曲线的一支虽然两者都是沿开口方向越来越远离对称轴，但抛物线却越来越接近于对称轴的平行线【对点训练】等腰RtABO内接于抛物线y22px(p0)，O为抛物线的顶点，OAOB，则ABO的面积是(B)A8p2B4p2C2p2Dp2解析由抛物线的对称性质及OAOB知，直线OA的方程为yx，由，解得A(2p,2p)，则B(2p，2p)，|AB|4p，SABO4p2p4p2题型四最值问题典例4设P是抛物线y24x上的一个动点，F为抛物线焦点(1)求点P到点A(1,1)的距离与点P到直线x1的距
8、离之和的最小值；(2)若B(3,2)，求|PB|PF|的最小值解析(1)如图1，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程是x1，由抛物线的定义知：点P到直线x1的距离等于点P到焦点F的距离于是，问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到点A(1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小显然，连AF交抛物线于P点，故最小值为，即(2)如图2，把点B的横坐标代入y24x中，得y，因为2，所以B在抛物线内部，自B作BQ垂直准线于Q，交抛物线于P1此时，由抛物线定义知：|P1Q|P1F|那么|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|314即最小值为4规律方法求抛物线最值的常见题型是求抛物线上一点到定点距离的
9、最值、求抛物线上一点到定直线距离的最值，解有关抛物线的最值问题主要有两种思路：一是利用抛物线的定义，进行到焦点的距离与准线的距离的转化，数形结合，利用几何意义解决；二是利用抛物线的标准方程，进行消元代换，得到有关距离的含变量的代数式，用目标函数最值的求法解决【对点训练】定点M与抛物线y22x上的点P之间的距离为d1，P到抛物线准线l的距离为d2，则d1d2取最小值时，P点坐标为(C)A(0,0)B(1，)C(2,2)D解析如下图连接PF，则d1d2|PM|PF|MF|，知d1d2最小值是|MF|，当且仅当点P在线段MF上时，等号成立，而直线MF的方程为y，与y22x，联立求得x2，y2或x，y(舍去)，所以，P点坐标为(2,2)易错警示典例5顶点在原点，焦点在x轴上且通径长为6的抛物线的标准方程为_y26x#错解由题意知，抛物线的焦点在x轴上，故可设其方程为y22px(p0)，又因为通径长为6，故2p6，故方程为y26x辨析错解中只考虑了焦点在x轴的正半轴上的情况，而忽略了焦点也可能在x轴的负半轴上的情况，故出现漏解正解由题意，抛物线的焦点在x轴上，故设方程为y22px(p0)，通径长为6，|2p|6，p3抛物线方程y26x
