1、高考资源网（） 您身边的高考专家1.2空间向量基本定理素养目标定方向 课程标准学法解读1了解空间向量基本定理及其意义2掌握空间向量的正交分解1掌握空间向量基本定理(数学抽象)2了解空间向量正交分解的含义(数学抽象)3会用空间向量基本定理解决有关问题(逻辑推理)必备知识探新知 知识点1 空间向量基本定理如果三个向量a，b，c_不共面_，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p_xaybzc_我们把a，b，c叫做空间的一个_基底_，a，b，c都叫做基向量思考1：零向量能否作为基向量？提示：不能零向量与任意两个向量a，b都共面知识点2 空间向量的正交分解1单位正交基底如果
2、空间的一个基底中的三个基向量_两两垂直_，且长度都是_1_，那么这个基底叫做单位正交基底，常用i，j，k表示2向量的正交分解由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得axiyjzk像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解知识点3 证明平行、共线、共面问题(1)对于空间任意两个向量a，b(b0)，ab的充要条件是存在实数，使_ab_(2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使_pxayb_思考2：怎样利用向量共线、向量共面解决几何中的证明平行、共线、共面问题？提示：
3、平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题知识点4 求夹角、证明垂直问题(1)为a，b的夹角，则_cos _(2)若a，b是非零向量，则ab_ab0_思考3：怎样利用向量的数量积解决几何中的求夹角、证明垂直问题？提示：几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围知识点5 求距离(长度)问题|a|(|)思考4：怎样利用向量的数量积解决几何中的求距离(长度)问题？提示：几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用数量积可以求得关键能力攻重难 题型探究题型一基底的判断典例1(1)设xab，ybc，zca，且a，b，c是空间的一个基底，给出下列向量
4、组：a，b，x，x，y，z，b，c，z，x，y，abc其中可以作为空间一个基底的向量组有(C)A1个B2个C3个D4个(2)已知e1，e2，e3是空间的一个基底，且e12e2e3，3e1e22e3，e1e2e3，试判断，能否作为空间的一个基底解析(1)如图所示，令a，b，c，则x，y，z，abc由于A，B1，C，D1四点不共面，可知向量x，y，z也不共面，同理b，c，z和x，y，abc也不共面，由于A，B，B1，A1四点共面知a，b，x共面，故选C(2)设xy，则e12e2e3x(3e1e22e3)y(e1e2e3)，即e12e2e3(y3x)e1(xy)e2(2xy)e3，此方程组无解即不存
5、在实数x，y，使得xy，所以，不共面所以，能作为空间的一个基底规律方法判断基底的基本思路及方法(1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底(2)方法：如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底假设abc，运用空间向量基本定理，建立，的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底【对点训练】若a，b，c是空间的一个基底，试判断ab，bc，ca能否作为空间的一个基底解析假设ab，bc，ca共面，则存在实数，使得ab(bc)(ca)，即abab()ca，b，c是空间的一个基底，a，b
6、，c不共面此方程组无解即不存在实数，使得ab(bc)(ca)，ab，bc，ca不共面故ab，bc，ca能作为空间的一个基底题型二用基底表示空间向量典例2如图所示，四棱锥POABC的底面为一矩形，PO平面OABC，设a，b，c，点E，F分别是PC，PB的中点，试用a，b，c表示：，分析解析连接BO，则()(cba)abc()abc()ac(cb)abca规律方法用基底表示空间向量的解题策略1空间中，任一向量都可以用一个基底表示，且只要基底确定，则表示形式是唯一的2用基底表示空间向量时，一般要结合图形，运用向量加法、减法的平行四边形法则、三角形法则，以及数乘向量的运算法则，逐步向基向量过渡，直至全
7、部用基向量表示3在空间几何体中选择基底时，通常选取公共起点最集中的向量或关系最明确的向量作为基底，例如，在正方体、长方体、平行六面体、四面体中，一般选用从同一顶点出发的三条棱所对应的向量作为基底【对点训练】如图，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，a，b，c，E为A1D1的中点，F为BC1与B1C的交点(1)用基底a，b，c表示向量，；(2)化简，并在图中标出化简结果解析(1)abcabca(bc)abc(2)()如图，连接DA1，则即为所求题型三空间向量基本定理的应用角度1利用空间向量基本定理证明位置关系典例3如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点，求
8、证：EFAB1证明设a，b，c，则()()()(abc)，ab所以(abc)(ab)(|b|2|a|2)0所以，即EFAB1角度2求距离、夹角典例4如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60(1)求AC1的长；(2)求BD1与AC所成角的余弦值解析(1)设a，b，c，则|a|b|c|1，a，bb，cc，a60，所以abbcca|2(abc)2a2b2c22(abbcca)11126，所以|，即AC1的长为(2)bca，ab，所以|，|，(bca)(ab)b2a2acbc1所以cos，所以AC与BD1所成角的余弦值为规律方法应用空间向量基本定
9、理可以证明空间的线线垂直、线线平行，可求两条异面直线所成的角等首先根据几何体的特点，选择一个基底，把题目中涉及的两条直线所在的向量用基向量表示(1)若证明线线垂直，只需证明两向量数量积为0(2)若证明线线平行，只需证明两向量共线(3)若要求异面直线所成的角，则转化为两向量的夹角(或其补角)【对点训练】在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是DD1，BD的中点，点G在棱CD上，且CGCD(1)证明：EFB1C；(2)求EF与C1G所成角的余弦值解析(1)证明：设i，j，k，则i，j，k构成空间的一个正交基底所以k()ijk，ik，所以(ik)|i|2|k|20，所以EFB1C(2)解：ijk，kj，|22|i|2|j|2|k|23，|，|22|k|2|j|24，|，cos，EF与C1G所成角的余弦值为- 7 - 版权所有高考资源网
