1、本章总结提升第三章内容索引0102网络构建归纳整合专题突破素养提升网络构建归纳整合专题突破素养提升专题一圆锥曲线的定义及标准方程1.求圆锥曲线方程的常用方法(1)直接法:动点满足的几何条件本身就是几何量的等量关系,只需把这种关系“翻译”成含x,y的等式就得到曲线的轨迹方程.(2)定义法:动点满足已知曲线的定义,可先设定方程,再确定其中的基本量.(3)代入法:动点满足的条件不便用等式列出,但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的.如果相关点所满足的条件是明显的,或是可分析的,这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标,根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程.(4)待定系数法:根据条件能确定曲
2、线的类型,可设出方程形式,再根据条件确定待定的系数.2.求圆锥曲线方程体现了逻辑推理和数学运算、直观想象的数学素养.【例1】已知抛物线y2=8x的准线过双曲线=1(a0,b0)的一个焦点,且双曲线的离心率为2,则该双曲线的方程为.规律方法(1)应用定义解题时注意圆锥曲线定义中的限制条件.(2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时,常用定义结合解三角形的知识来解决.(3)在求有关抛物线的最值问题时,常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离,结合几何图形,利用几何意义去解决.变式训练1点P是抛物线y2=8x上的任意一点,F是抛物线的焦点,点M的坐标是(2,3),求|PM|+|PF|
3、的最小值,并求出此时点P的坐标.解 抛物线y2=8x的准线方程是x=-2,那么点P到焦点F的距离等于它到准线x=-2的距离,过点P作PD垂直于准线x=-2,垂足为D,那么|PM|+|PF|=|PM|+|PD|.如图所示,根据平面几何知识,当M,P,D三点共线时,|PM|+|PF|的值最小,且最小值为|MD|=2-(-2)=4,所以|PM|+|PF|的最小值是4.专题二圆锥曲线的几何性质1.本类问题主要有两种考查类型:(1)已知圆锥曲线的方程研究其几何性质,其中以求椭圆、双曲线的离心率为考查重点.(2)已知圆锥曲线的性质求其方程,基本方法是待定系数法,其步骤可以概括为“先定位、后定量”.2.圆锥
4、曲线的性质的讨论和应用充分体现了直观想象和逻辑推理的数学素养.规律方法求解离心率的三种方法(1)定义法:由椭圆(双曲线)的标准方程可知,不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是y轴上都有关系式a2-b2=c2(a2+b2=c2)以及e=,已知其中的任意两个参数,可以求其他的参数,这是基本且常用的方法.(2)方程法:建立参数a与c之间的齐次关系式,从而求出其离心率,这是求离心率的十分重要的思路及方法.(3)几何法:求与过焦点的三角形有关的离心率问题,根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质,建立参数之间的关系,通过画出图形,观察线段之间的关系,使问题更形象、直观.变式训练2 答案 A 专题
5、三直线与圆锥曲线的位置关系1.直线与圆锥曲线的位置关系,可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定,通常消去方程组中变量y(或x)得到关于变量x(或y)的一元二次方程,考虑该一元二次方程的判别式.2.通过解决直线与圆锥曲线的位置关系问题培养数学运算的核心素养.得x2-mx+m2-3=0,=m2-4(m2-3)=12-3m20.由根与系数的关系可得x1+x2=m,x1x2=m2-3.规律方法(1)直线与圆锥曲线的位置关系可以通过代数法判断.(2)一元二次方程的判别式、弦长公式是代数法解决问题的常用工具.变式训练3(1)若点A是椭圆E的一个顶点,求椭圆的方程;(2)若线段AB上
6、存在点P满足|PF1|+|PF2|=2a,求a的取值范围.得6y2-8y+4-a2=0,若线段AB上存在点P满足|PF1|+|PF2|=2a,则线段AB与椭圆E有公共点,等价于方程6y2-8y+4-a2=0在y0,1上有解.设f(y)=6y2-8y+4-a2,专题四圆锥曲线的综合问题1.圆锥曲线的综合问题包括位置关系证明及定点、定值、最值、探索性问题,解决的基本思路是利用代数法,通过直线与圆锥曲线的方程求解.2.圆锥曲线的综合问题的解决培养逻辑推理和数学运算素养.(1)求椭圆E的方程;(2)点P为椭圆E上一个动点,求PAB面积的最大值.即a=2b,故可设椭圆E的方程为x2+4y2=4b2,由题
7、意可得圆心M(-2,1)是线段AB的中点,且|AB|=,易知AB与x轴不垂直,记其方程为y=k(x+2)+1,代入可得(1+4k2)x2+8k(1+2k)x+4(1+2k)2-4b2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),规律方法(1)解决最值问题常见的题型,可用建立目标函数的方法求解.(2)圆锥曲线的综合问题可以从分析问题的数量关系入手,利用直线系或曲线系方程或函数方程思想,通过联想与类比,使问题获解.变式训练4已知动圆P与圆O1:x2-x+y2=0内切,且与直线x=-1相切,设动圆圆心P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)过曲线C上一点M(2,y0)(y00)作两条直线l1,l2与曲线C分别交于不同的两点A,B,若直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,且k1k2=1.证明:直线AB过定点.即y1y2-2(y1+y2)=x1x2-2(x1+x2),所以b2-2b-4m2+4m=0,所以(b-1)2=(2m-1)2,所以b=2m或b=-2m+2.当b=-2m+2时,直线AB的方程为x=my-2m+2过定点(2,2)与M重合,舍去;当b=2m时,直线AB的方程为x=my+2m过定点(0,-2),所以直线AB过定点(0,-2).
