1、6.2 一元二次不等式 考点探究挑战高考 考向瞭望把脉高考 6.2 一元二次不等式双基研习面对高考 双基研习面对高考 基础梳理 1一元一次不等式的解法一元一次不等式 axb0(a0)的解集为：(1)当 a0 时，x|x_ba；(2)当 a0，或ax2bxc0 0 0 方程ax2bxc0 有两个不等实根 x1，x2(x10)的图像 判别式b24ac000(a0)的解集_R不等式 ax2bxc0)的解集_x|xx2x|x1xx2x|x b2a思考感悟当a0与ax2bxc0的解集如何？提示：当a0时，可利用不等式的性质将二次项系数化为正数，注意不等号的变化，而后求得方程两根，再利用“大于号取两边，小
2、于号取中间”求解 课前热身 1(教材习题改编)不等式x2x20的解集为()A2,1 B1,2C(，12，)D(，21，)答案：C2(2009年高考四川卷)设集合Sx|x|5，Tx|x24x210，则ST()Ax|7x5 Bx|3x5Cx|5x3 Dx|7x5答案：C3(2010 年高考大纲全国卷)不等式x3x20的解集为()Ax|2x3Bx|x2Cx|x3Dx|x3答案：A4设函数 f(x)x1，xmx 的解集是x|0 x2，则实数 m 的值是_考点探究挑战高考 考点突破 一元二次不等式及简单高次不等式的解法解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再求出对应的一元二次方程的根，然后结
3、合相应的二次函数的图像写出不等式的解集，对于分式不等式要等价转化为整式不等式再求解例1(1)(2010 年高考江苏卷)已知函数 f(x)x21，x01，xf(2x)的 x 的取值范围是_；(2)(2010年 高 考 大 纲 全 国 卷)不 等 式x2x23x20 的解集是_【思路点拨】(1)根据分段函数的解析式脱掉函数符号“f”后求解；(2)分式不等式化为整式不等式求解【解 析】(1)由 题 意 有 1x202x2x2x0，解得1x0 或 0 x0 x2x1x20(x1)(x2)(x2)0.根据如图所示的标根法，可得解集为x|2x2【答案】(1)(1，21)(2)x|2x2【规律小结】解一元二
4、次不等式的步骤：变式训练1 解下列不等式：(1)3x22x80；(2)2x3x215x0；(3)(x4)(x5)2(2x)30，方程 3x22x80 的两根为2，43，结合二次函数 y3x22x8 的图像，可知原不等式的解集为x|2x43(2)原不等式可化为 x(2x5)(x3)0，把方程 x(2x5)(x3)0 的三个根 x10，x252，x33 顺次标在数轴上，然后从最大根的右上方开始画曲线顺次经过三个根，其解集如图中的阴影部分所示原不等式解集为x|52x3(3)原不等式等价于(x4)(x5)2(x2)30 x50 x4x20 x5x2，原不等式解集为x|x5 或5x2含参数的一元二次不等
5、式的解法解含参数的一元二次不等式可按如下步骤进行：(1)若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏(2)二次项若含有参数应讨论是等于0、小于0、还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式(3)判断方程的根的个数，讨论判别式与0的关系(4)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集的形式解关于x的不等式ax2(2a1)x20及a0来讨论 例2【解】(1)当 a0 时，原不等式可化为x22(2)当 a0 时，原不等式化为(ax1)(x2)0，即(x1a)(x2)0.若1a12时，其解
6、集为x|1ax2，即 0a12时，其解集为x|2x1a(3)当 a0.1a2，不等式解集为x|x2综上所述，不等式解集为：a0 时，x|x2；a0 时，x|x2；0a12时，x|2x12时，x|1ax2【名师点评】解含字母参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行讨论；其次根据根是否存在即的符号进行讨论；最后在根存在时，根据根的大小进行讨论互动探究2 若将例2不等式变为x24ax(4a1)0，该如何求解？解：当 a12时，原不等式的解集为x|x1；当 a12时，原不等式的解集为x|4a1x1一元二次不等式的实际应用实际应用问题是新课标下考
7、查的重点，突出了应用能力的考查，在不等式应用题中常以函数模型出现，如一元二次不等式应用题常以二次函数为模型解题时要理清题意，准确找出其中不等关系，再利用不等式解法求解某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离 s m 和汽车车速 x km/h 有如下关系：s 120 x1180 x2，在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于 39.5 m，那么这辆汽车刹车前的车速大于多少？(精确到 0.01 km/h)例3【思路点拨】设出变量建立不等式，并解不等式【解】设这辆汽车刹车前的车速为 x km/h，根据题意，有 120 x 1180 x239.5，移项整理，得 x29x71100，显然 0，方程 x29
8、x71100 有两个实数根，即 x188.94，x279.94.所以不等式的解集为x|x79.94在这个实际问题中，x0，所以这辆汽车刹车前的速度大于 79.94 km/h.【反思感悟】解不等式应用题，一般可按如下四步进行：(1)阅读理解、认真审题、把握问题中的关键量、找准不等关系；(2)引进数学符号，用不等式表示不等关系(或表示成函数关系)；(3)解不等式或求函数最值；(4)回扣实际问题 一元二次不等式恒成立问题对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴下方已知不等式mx22xm10.(1)
9、若对于所有的实数x不等式恒成立，求m的取值范围；(2)设不等式对于满足|m|2的一切m的值都成立，求x的取值范围例4【思路点拨】(1)关于 x 的不等式 mx22xm10 恒成立，则m0，0.(2)从形式上看，这是一个关于x的一元二次不等式，可以换个角度，把它看成关于 m 的一元一次不等式，并且已知它的解集为2,2，求参数 x 的范围【解】(1)不等式 mx22xm10 恒成立，即函数 f(x)mx22xm1 的图像全部在 x轴下方当 m0 时，12x12时不等式恒成立；当 m0 时，函数 f(x)mx22xm1 为二次函数，需满足开口向下且方程 mx22xm10 无解，即m0，44m1m0，
10、解得 m.综上可知 m.(2)设 f(m)(x21)m(12x)，它是一个以 m 为自变量的一次函数，其图像是直线，由题意知当2m2 时该直线段在 x轴下方，f20，f20，即2x22x30，2x22x10，解，得 x1 72，解，得1 32x1 32.由，得1 72x1 32.x 的取值范围为x|1 72x0或ax2bxc0.(如例1(2)2一元二次不等式ax2bxc0或ax2bxc0)与一元二次方程ax2bxc0的关系(1)知道一元二次方程ax2bxc0的根可以写出对应不等式的解集；(如例2)(2)知道一元二次不等式ax2bxc0或ax2bxc0或ax2bxc0的解集为yf(x)图像全在x
11、轴下方或开口向下且与x轴相切；f(x)0的解集为Ryf(x)图像全在x轴上方(如例4)失误防范1一元二次不等式的界定对于貌似一元二次不等式的形式要认真鉴别如：解不等式(xa)(ax1)0，如果a0时，它实际上是一个一元一次不等式；只有当a0时，它才是一个一元二次不等式2当判别式0(a0)解集为R；ax2bxc0)解集为.二者不要混为一谈考情分析 考向瞭望把脉高考 一元二次不等式是每年高考必考的知识点之一，考查重点是一元二次不等式的解法，含参数不等式的解法以及二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的联系的综合应用等问题题型多为选择题、填空题，有时也会在解答题中出现，会在知识交汇点处命题，部分
12、考查一元二次不等式的有关知识客观题主要考查一元二次不等式的解法，属中、低档题；主观题与其他知识交汇命题，考查学生分析问题、解决问题的能力，突出灵活性，属中、高档难度题目预测2012年高考仍将以解一元二次不等式，含参数的一元二次不等式为主要考点，重点考查学生的运算能力及逻辑推理能力真题透析 例(2009 年高考湖北卷)已知关于 x 的不等式ax1x1 0 的解集是(，1)(12，)，则 a_.【思路点拨】先将不等式等价地转化为(ax1)(x1)0，然后根据a的不同取值进行分类讨论，与不等式的解集进行比较确定a的值【解析】ax1x1 0(ax1)(x1)0，又其解集为(，1)(12，)，可知 a0
13、，故(ax1)(x1)0，结合原不等式的解集，有1a12a2.【答案】2【名师点评】(1)本题易失误的是：对不等式解集的结构认识模糊，不能判断出 a0的不等式时，首先要考虑对x2的系数进行分类当a0时，这个不等式是一次不等式，解的时候还要对b、c进一步分类讨论；当a0且0时，不等式可化为a(xx1)(xx2)0，其中x1、x2(x10，则不等式的解集是(，x1)(x2，)，如果a0的解集为x|xm或xn(nm0.名师预测 解：(1)证明：a2(y1y2)ay1y20，(ay1)(ay2)0，得y1a或y2a.(2)证明：当a0时，二次函数f(x)的图像开口向上，图像上的点A、B的纵坐标至少有一个为a且小于零，所以图像与x轴有两个交点当a0的解集为x|xm或xn(nm0)，从而方程 cx2bxa0 有两个根为 x11m，x21n，则方程 cx2bxa0 的两个根为 x11m，x21n.nm0，1n0 的解集为x|x1m或x1n本部分内容讲解结束 点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用
