1、2016年4月湖北省七市（州）教科研协作体高三联合考试理科数学第卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集为，集合，则（ ）A B C D【答案】B考点：1.含绝对值不等式的解法；2.集合的运算.2. 已知集合，为虚数单位，则下列选项正确的是（ ）A B C D【答案】C【解析】试题分析：,所以选项A错； ，所以选项B错；，所以C正确；，选项D错，故选C.考点：1.复数的运算；2.元素与集合的关系.3. 若函数定义域为，则“函数是奇函数”是“”的（ ）A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充要条件 D既不充分也不必要
2、【答案】B【解析】试题分析：当函数的定义域为时，“函数是奇函数”“”成立，而“”时, 函数不一定是奇函数，所以“函数是奇函数”是“”的充分不必要条件，故选B.考点：1.函数的奇偶性；2.充分条件与必要条件.14. 已知变量与负相关，且由观测数据算得样本平均数，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ ）A B C D【答案】A【解析】111试题分析：因数变量与负相关,所以回归方程中的回归系数为负，排除B,C，又样本平均数适合A,不适合D,故选A.考点：线性回归.5. 若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积是（ ）A B C D【答案】D111考点：1.三视图；2.旋转体的表面积与体积.
3、6. 二项式的展开式的第四项的系数为-40，则的值为（ ） A3 B C7 D9【答案】A【解析】试题分析：二项式的展开式的第四项为，其系数为，又因为，故选A.考点：1.二项式定理；2.积分运算.7. 执行如图所示的程序框图，当输入的时，输出的结果不小于95的概率为（ ）A B C D【答案】C考点：1.程序框图；2.几何概型.8. 在我国古代著名的数学专著九章算术里有一段叙述:今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：几日相逢？1111A12日 B16日 C8日 D9日【答案】D【
4、解析】试题分析：良马每日所行里数构成一等差数列，其通项公式为，驽马每日所行走里数也构成一等差数列，其通项公式为，二马相逢时所走路程之和为，所以有，即，解之得，故选D.考点：1.等差数列及其求和;2.数列应用.19. 已知在三棱锥中，面，若三棱锥的外接球的半径是3，则的最大值是（ ）A36 B28 C26 D18【答案】D.考点：1.线面垂直的判定与性质；2.长方体外接球的性质；3.基本不等式.【名师点睛】本题考查线面垂直的判定与性质、长方体外接球的性质、基本不等式,中档题；立体几何的最值问题通常有三种思考方向：（1）根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；（2）将几何
5、体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解；（3）建立函数，通过求函数的最值或利用基本不等式来求解10. 已知函数（为常数，）在处取得最大值，则函数是（ ）A奇函数且它的图象关于点对称 B偶函数且它的图象关于点对称111.ComC奇函数且它的图象关于点对称D偶函数且它的图象关于点对称 【答案】B考点：三角函数的图象与性质.11. 过抛物线的焦点的直线与双曲线的一条渐近线平行，并交抛物线于两点，若，且，则抛物线的方程为（ ）A B C D【答案】A考点：1.直线与抛物线的位置关系；2.抛物线和双曲线的定义与性质.【名师点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系、抛物线和双曲线的定义与性质，属中档题
6、；解决抛物线弦长相关问题时，要注意抛物线定义的应用，即将到焦点的距离转化为到准线的距离，通过解方程组求解相关问题即可.12. 函数，当在上变化时，设关于的方程的不同实数解的个数为，则的所有可能的值为（ ）A3 B1或3 C3或5 D1或3或5【答案】A【解析】试题分析：因为,所以由方程可得或，且,不妨设则，又因为，由得或，当时，函数在区间上单调递增，且，当时，所以函数在区间上单调递减，当时，所以函数在区间上单调递增，且当时，此时，由图象可知无解，有三个解;当时，此时，由图象可知有一个解，有两个解，即方程共有三个解；当时，此时，由图象可知有两个解，有一个解，方程有三个不同的解，综上所述，关于的方
7、程共有三个不同的解.考点：1.函数与方程；2.导数与函数的单调性、极值.【名师点睛】本题考查函数与方程,导数与函数的单调性、极值,属难题；利用导数知识解决函数与方程问题是最近高考的热点之一，即由导数研究函数的单调性与极值，再通过数形结合得到两个函数图象的公共点，从而得到方程的解.第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知点是边长为1的正三角形的中心，则 .【答案】考点：1.正三角形的性质；2.向量数量积的定义.14. 若实数满足不等式组，则的取值范围是 .【答案】【解析】试题分析：在坐标系中作出可行域如下图所示，设，则，由图可知，当点与可行域内的点重合时
8、，取得最大值，此时，点到直线的距离的平方为最小值，即最小值为，所以的取值范围是.考点：1.线性规划；2.两点间的距离公式；3.点到直线的距离公式.【名师点睛】本题考查线性规划、两点间的距离公式、点到直线距离公式，中档题；对线性规划问题，先作出可行域，在作出目标函数，利用z的几何意义，结合可行域即可找出取最值的点，通过解方程组即可求出做最优解，代入目标函数，求出最值，要熟悉相关公式，确定目标函数的意义是解决最优化问题的关键，目标函数常有距离型、直线型和斜率型. 115. 六张卡片上分别写有数字0,1,2,3,4,5，从中任取四张排成一排，可以组成不同的四位奇数的个数为 .【答案】考点：1.分类计
9、数原理与分步计数原理；2.排列与组合.16. 已知数列的首项，且对任意，是方程的两实根，则 .【答案】考点：1.一元二次方程根与系数关系；2.等差数列的定义与性质.1【名师点睛】本题考查一元二次方程根与系数关系、等差数列的定义与性质，中档题；由数列的递推关系求数列的通项公式，是高考的热点之一，本题中由题意得到的递推关系是相邻两项之和的关系式，进一步可推出隔一项之差等于同一个常数，即得到数列的奇数项与偶数项分别组成等差数列，从而得出结论.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分）如图，在中，垂足为，且.（1）求的大小；（2）若
10、在上，且，已知的面积为15，求的长.【答案】(1);(2).（2）设，则，由已知得，则，故，在中，由余弦定理得.考点：1.两角和的正切公式；2.余弦定理；3.三角形面积公式.【名师点睛】本题考查两角和的正切公式、余弦定理、三角形面积公式，中档题；正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理，它将三角形的边和角有机地联系起来，从而使三角与几何产生联系，为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆半径和面积等)提供了理论依据，也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据其主要方法有：化角法，化边法，面积法，运用初等几何法 118. （本小题满分12分）已知从地到地共有两条路径和，据统计，经过两条路径
11、所用的时间互不影响，且经过和所用时间落在各时间段内的频率分布直方图分别为下图（1）和（2）.现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于从地到地.（1）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到地，甲和乙应如何选择各自的路径？（2）用表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到地的人数，针对（1）的选择方案，求的分布列和数学期望.【答案】(1) 甲应选择 , 乙应选择;(2) 的分布列为X012P0.040.420.54.试题解析：（1）用表示事件“甲选择路径时，40分钟内赶到地”， 表示事件“乙选择路径时，50分钟内赶到地”， .由频率分布直方图及频率估计相应的概率可得，故甲应选择，故乙应选择考点：1.频
12、率分布直方图；2.离散型随机变量的分布列与期望.19. （本小题满分12分）如图，在四棱锥中，面，为的中点.（1）求证：面；（2）线段上是否存在一点，满足？若存在，试求出二面角的余弦值；若不存在，说明理由.【答案】(1)见解析；（2）存在点，满足,二面角的余弦值为.试题解析： （1）取的中点，连和，过点作，垂足为，又四边形为平行四边形，在直角三角形中，而分别为的中点，111且，又且，四边形为平行四边形，平面，平面，平面.1（2）由题意可得，两两互相垂直，如图，以分别为轴建立空间直角坐标系，则，假设上存在一点使，设坐标为，则，由，得，又平面的一个法向量为设平面的法向量为又，由，得，即不妨设，有则
13、又由法向量方向知，该二面角为锐二面角，故二面角的余弦值为.考点：1.直线与平面平行的判定与性质；2.空间向量的应用.20. （本小题满分12分）已知椭圆（常数）的离心率为，是椭圆上的两个不同动点，为坐标原点.（1）求椭圆的方程；（2）已知，满足（表示直线的斜率），求取值的范围.【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：(1)由离心率为，即可求出的值，从而求出椭圆方程；（2）先讨论当的斜率不存在时，不妨设，由及点在椭圆上求出点的坐标，可求得，当当有斜率时，设直线的方程为，将直线方程代入椭圆方程消去得,由，用表示可得，且，由 可得，综上可得结果.当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由则，即（*
14、），又，得，即解得，代入（*）得，且，故，且综上所述，.1考点：1.椭圆的标准方程及几何性质；2.直线与椭圆的位置关系.【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程及几何性质、直线与椭圆的位置关系，中档题；高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,主要由求值、求方程、求定值、最值、求参数取值范围等几部分组成, .其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用.21. （本小题满分12分）已知函数，.（1）若函数在处的切线与函数在处的切线互相平行，求实数的值；（2）设函数.（）当实数时，试判断函数在上的单调性；（）如果是的两个零点，为函数的导函数，证明
15、：.【答案】(1);(2)(i) 函数在上单调递减. (ii)见解析.试题解析： （1）由，得，在处切线互相平行时，切线斜率相等，于是，.（2）（1）易知在上单调递减，当时，当时，在上恒成立.当时，函数在上单调递减.（2）因为是的两个零点，故由-得：解得因为，将代入得设，构造，在单调增且，又.考点：1.导数的几何意义；2.导数与函数的单调性、最值；3.函数与方程、不等式.1请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲已知中，是外接圆劣弧上的点（不与点重合），延长至，延长至.（1）求证：；（2）若，中边上的高为，
16、求外接圆的面积.【答案】(1)见解析；（2）.（2）设为外接圆圆心，连接交于，则，连接，由题意易得，且，设圆半径为，则，解得，故外接圆面积为.考点：圆的性质.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.（1）求曲线与交点的坐标；（2）两点分别在曲线与上，当最大时，求的面积（为坐标原点）.【答案】(1) ;(2).试题解析： （1）由，得，所以，又由，得，得，把两式作差得，代入得交点为.（2）如图，由平面几何知识可知，当依次排列且共线时，最大，此时，到的距离为，的面积为.考点：1.参数方程与普通方程的互化；2.极坐标与直角坐标的互化；3.圆的性质及应用.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数.（1）求不等式的解集；（2）若存在使不等式成立，求实数的取值范围.【答案】(1) ;(2) .试题解析：（1）由得，或，解得：或不等式的解集为.（2）令则，存在使不等式成立，. 考点：1.含绝对值不等式的解法；2.分段函数的表示.1
