1、4.3三角函数的图象与性质1能画出ysinx，ycosx，ytanx的图象2了解三角函数的周期性3理解正弦函数、余弦函数在区间0，2上的性质(如单调性、最大值和最小值以及图象与x轴的交点等)4理解正切函数在区间内的单调性近几年高考加强了对三角函数的图象与性质的考查因为三角函数的性质是研究三角函数的主体，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决实际问题的工具至于图象，则是运用数形结合方法的基础，是性质的形的表现，利用三角函数的图象的直观性可以得出三角函数的性质，利用三角函数的性质可以描绘三角函数的图象，以形助数，以数辅形1“五点法”作图(1)在确定正弦函数ysinx在0，2上的图象形状时，起
2、关键作用的五个点是 ， ， ， ， (2)在确定余弦函数ycosx在0，2上的图象形状时，起关键作用的五个点是 ， ， ， ， 2周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有_，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的_3三角函数的图象和性质函数性质ysinxycosxytanx定义域 图象值域 R对称性对称轴： 对称中心： 对称轴： 对称中心： 无对称轴；对称中心； 最小正周期 单调性单调增区间 单调减区间 单调增区间 单调减区间 单调增区间
3、奇偶性 【自查自纠】1(1)(0，0)(，0)(2，0)(2)(0，1)(，1)(2，1)2f(xT)f(x)最小正周期3RR1，11，1xk(kZ)(k，0)(kZ)xk(kZ)(kZ)(kZ) 22(kZ)(kZ) 2k，2k(kZ) 2k，2k(kZ)(kZ) 奇函数偶函数奇函数函数f(x)sin2x是()A最小正周期为2的奇函数B最小正周期为2的偶函数C最小正周期为的奇函数D最小正周期为的偶函数解：f(x)sin2xf(x)，函数f(x)是奇函数，最小正周期T.故选C.函数ysin的一个单调增区间为()A. B.C. D.解：由2kx2k(kZ)，解得2kx2k(kZ)因此，函数ysi
4、n的单调增区间为2k，2k(kZ)故选B.函数f(x)2sin(x)(0，)的部分图象如图所示，则，的值分别是()A2，B2，C4，D4，解：由图知T，T，2，f2sin(2)2，即2k，2k，kZ.，.故选A.函数f(x)2sin对于任意的xR，都有f(x1)f(x)f(x2)，则|x1x2|的最小值为_解：由f(x1)f(x)f(x2)，知f(x1)，f(x2)分别为f(x)的最小值和最大值，当2k1，即x8k12(k1Z)时，f(x)取最小值；而2k2，即x8k22(k2Z)时，f(x)取最大值，|x1x2|的最小值为4.故填4.函数f(x)sin(0，2)是偶函数，则_.解：函数fsi
5、n是偶函数，k，3k，kZ.又，.故填.类型一三角函数的定义域求ylg(sinxcosx)的定义域解：要使函数有意义，必须使sinxcosx0.解法一：利用图象在同一坐标系中画出0，2上ysinx和ycosx的图象，如图所示：在0，2内，满足sinxcosx的x为，在内sinxcosx，再结合正弦、余弦函数的周期是2，所以定义域为x|2kx2k，kZ解法二：利用三角函数线，如图，MN为正弦线，OM为余弦线，要使sinxcosx，则x(在0，2内)定义域为x|2kx2k，kZ.解法三：sinxcosxsin0，由正弦函数ysinx的图象和性质可知2kx2k，解得2kx2k，kZ.定义域为.【评析
6、】求三角函数的定义域常常归结为解三角不等式(或等式)；求三角函数的定义域经常借助两个工具，即单位圆中的三角函数线和三角函数的图象，有时也利用数轴；对于较为复杂的求三角函数的定义域问题，应先列出不等式(组)分别求解，然后利用数轴或三角函数线求交集求下列函数的定义域：(1)y；(2)y.解：(1)y，sin(cosx)0.0cosx1.2nx2n(nZ)即所求函数的定义域为.(2)y，原函数的定义域为x|2kx2k，且x2k，x2k，kZ类型二三角函数的周期性求下列函数的最小正周期(1)y(asinxcosx)2(aR)；(2)y2cosxsinsin2xsinxcosx；(3)y2.解：(1)y
7、sin(x)2(a21)sin2(x)(a21)(为辅助角)，所以此函数的最小正周期为T.(2)y2cosxsin2xsinxcosxsinxcosxcos2xsin2xsinxcosxsin2xcos2x2sin，该函数的最小正周期为T.(3)y2的最小正周期是y2sin(4x)的最小正周期的一半，即T.【评析】求三角函数的周期，通常应将函数式化为只有一个函数名，且角度唯一，最高次数为一次的形式，然后借助于常见三角函数的周期来求解注意带绝对值的三角函数的周期是否减半，可用图象法判定，y2|sin(4x)|的图象即是将y2sin的图象在x轴下方部分翻折到x轴的上方去已知函数f(x)tan.(1
8、)求f(x)的定义域与最小正周期；(2)设，若f2cos2，求的大小解：(1)由2xk，kZ，得x，kZ.所以f(x)的定义域为x|x，kZf(x)的最小正周期T.(2)由f2cos2，得tan2cos2，2(cos2sin2)，整理得2(cossin)(cossin)因为，所以sincos0，因此(cossin)2，即sin2.由，得2.所以2，即.类型三三角函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性(1)f(x)coscos(x)；(2)f(x).解：(1)f(x)coscos(x)(sin2x)(cosx)cosxsin2x.f(x)cos(x)sin2(x)cosxsin2x-f(x)，xR，f
9、(x)是奇函数(2)1sinxcosx2cos0，x2k且x2k，kZ.f(x)的定义域不关于原点对称，故f(x)是非奇非偶函数【评析】判断三角函数奇偶性时，必须先检查定义域是否是关于原点的对称区间，如果是，再验证f(-x)是否等于f(x)或f(x)，进而判断函数的奇偶性；如果不是，则该函数必为非奇非偶函数另外，对较复杂的解析式，可选择先化简再判断，也可直接用x取代x，再化简判断，还可利用f(x)f(x)0是否成立来判断其奇偶性判断下列函数的奇偶性(1)f(x)；(2)f(x)lg(sinx)解：(1)2sinx10，sinx，即x(kZ)，此区间不关于原点对称f(x)是非奇非偶函数(2)由题
10、意知函数f(x)的定义域为R.f(x)lgsin(x)lglglg(sinx)f(x)函数f(x)是奇函数类型四三角函数图象的对称性(1)已知f(x)2sin(xR)，函数yf(x)的图象关于直线x0对称，则的值为_解：yf(x)2sin(x)的图象关于x0对称，即f(x)为偶函数k，kZ，即k，kZ，又|，所以.故填.(2)函数ysin1的图象的一个对称中心的坐标是()A. B.C. D.解：对称中心的横坐标满足2xk，解得x，kZ.当k1时，x，y1.故选B.【评析】解此类选择题最快捷的方式往往是代入验证法；对于函数f(x)Asin(x)B，如果求f(x)图象的对称轴，只需解方程sin(x
11、)1，也就是令xk(kZ)求x；如果求f(x)图象的对称中心，只需解方程sin(x)0，也就是令xk(kZ)；对于较复杂的三角函数表达式，有时可以通过恒等变换为的情形，这一部分将在“4.6三角恒等变换”中涉及已知函数g(x)cos2的图象关于点(0，2)对称，求m的最小正值解：yg(x)的图象关于点(0，2)对称，202mk，kZ.m，kZ.当k0时，m取得最小正值.类型五三角函数的单调性(1)求函数ysin的单调递减区间；(2)求y3tan的最小正周期及单调区间解：(1)ysinsin，故由2k2x2k，解得kxk(kZ)函数的单调递减区间为(kZ)(2)y3tan3tan，T4.由kk，解
12、得4kx4k(kZ)函数的单调递减区间为(kZ)【评析】若函数ysin(x)中0，可用诱导公式将函数变为ysin(x)的形式(目的是将x的系数变为正)，将“x”视为一个整体，那么ysin(x)的增区间为ysin(x)的减区间，其减区间为ysin(x)的增区间对于函数ycos(x)，ytan(x)(0)等的单调性的讨论同上已知函数f(x)sin(2x)，其中为实数若f(x)对xR恒成立，且ff()，则f(x)的单调递增区间是()A.(kZ)B.(kZ)C.(kZ)D.(kZ)解：由题意知，f(x)在处取得最大值或最小值，x是函数f(x)的对称轴2k，k，kZ.又由ff()得sin0，2k，不妨取
13、.f(x)sin.由2k2x2k，得f(x)的单调增区间为(kZ)故选C.类型六三角函数的最值(1)已知函数f(x)cos.求函数f(x)在区间上的最大值和最小值(2)求y的最小值；(3)求y3sin2x4cosx4，x的最值解：(1)x0，2x，当2x，即x时，f(x)有最小值，f(x)min1；当2x0，即x时，f(x)有最大值，f(x)max，即f(x)在上的最小值为1，最大值为.(2)解法一：y1，当cosx1时，ymin1.解法二：由y，得cosx，又1cosx1，11.y.函数的最小值为.(3)原式3cos2x4cosx13，x，cosx，从而当cosx，即x时，y有最大值.当co
14、sx，即x时，y有最小值.【评析】(1)先求出x在上的范围，然后根据单调性求解(2)这里把cosx整体看作自变量，把三角函数式看成关于cosx的分式函数、二次函数，用代数的方法来求最值，当然还要注意余弦函数性质的运用这种在知识交汇处的小综合，是值得引起我们重视的热点问题已知函数f(x)sin，xR.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在上的最大值和最小值解：(1)f(x)的最小正周期为.(2)当x时，2x，由函数ysinx在上的图象知，f(x)sin.所以f(x)在上的最大值和最小值分别为1，.1三角函数的定义域、值域(1)三角函数的定义域的求法三角函数的定义域是研究其他一切性质的前
15、提，求三角函数的定义域事实上就是解最简单的三角不等式(组)一般可用三角函数的图象或三角函数线来确定三角不等式的解列三角不等式时，要考虑全面，避免遗漏，既要考虑分式的分母不能为零；偶次方根的被开方数不小于零；对数的真数大于零及底数大于零且不等于1，又要考虑三角函数本身的定义域(如正切函数等)(2)三角函数值域的求法三角函数的值域问题，大多是含有三角函数的复合函数值域问题，常用的方法为：化为代数函数的值域，也可以通过三角恒等变形化为求yAsin(x)B的值域；或化为关于sinx(或cosx)的二次函数式，再利用换元、配方等方法转化为二次函数在限定区间上的值域2三角函数的奇偶性判断函数的奇偶性，应先
16、判定函数定义域的对称性，注意偶函数的和、差、积、商仍为偶函数；复合函数在复合过程中，对每个函数而言，“同奇才奇、一偶则偶”一般情况下，需先对函数式进行化简，再判断其奇偶性3三角函数的周期性(1)求三角函数的周期，通常应将函数式化为只有一个函数名，且角度唯一，最高次数为一次的形式，然后借助于常见三角函数的周期来求解(2)三角函数的最小正周期的求法有：由定义出发去探求；公式法：化成yAsin(x)，或yAtan(x)等类型后，用基本结论T或T来确定；根据图象来判断4三角函数的单调性(1)三角函数单调区间的确定，一般先将函数式化为基本三角函数标准式，然后通过同解变形或利用数形结合方法求解关于复合函数的单调性见“2.2函数的单调性与最大(小)值”(2)利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小，必须先看两角是否同属于这一函数的同一单调区间内，不属于的，可先化至同一单调区间内若不是同名三角函数，则应考虑化为同名三角函数或用差值法(例如与0比较，与1比较等)求解
