1、真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华第2讲 三角恒等变换与解三角形 真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华高考定位 1.三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中同角三角函数的基本关系、诱导公式是解决计算问题的工具，三角恒等变换是利用三角恒等式(两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式)进行变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心，试题多为选择题或填空题.2.利用正弦定理或余弦定理解三角形、判断三角形的形状或求值等，并经常和三角恒等变换结合进行综合考查.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华真 题 感 悟 1.(2015重庆卷)若 tan 13，tan()12，则
2、 tan()A.17B.16C.57D.56解析 tan tan()tan（）tan 1tan（）tan 12131121317.A真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华2.(2015北京卷)在ABC 中，a3，b 6，A23，则 B_.解析 由正弦定理得 sin Bbsin Aa6sin233 22，因为 A 为钝角，所以 B4.答案 4真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华3.(2015全国卷)已知 a，b，c 分别为ABC 内角 A，B，C 的对边，sin2B2sin Asin C.(1)若 ab，求 cos B；(2)设 B90，且 a 2，求ABC 的面积.解(1
3、)由题设及正弦定理可得 b22ac.又 ab，可得 b2c，a2c.由余弦定理可得 cos Ba2c2b22ac14.(2)由(1)知 b22ac.因为 B90，由勾股定理得 a2c2b2.故 a2c22ac，得 ca 2.所以ABC 的面积为12 2 21.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华考 点 整 合 1.三角函数公式(1)同角关系：sin2cos21，sin cos tan.(2)诱导公式：在k2，kZ 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”.(3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式：sin()sin cos cos sin；cos()cos cos sin sin ；ta
4、n()tan tan 1tan tan .(4)二倍角公式：sin 22sin cos，cos 2cos2sin22cos2112sin2.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华2.正、余弦定理、三角形面积公式(1)asin A bsin Bcsin Cabcsin Asin Bsin C2R(R 为ABC 外接圆的半径).变形：a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；sin A a2R，sin Bb2R，sin C c2R；abcsin Asin Bsin C.(2)a2b2c22bccos A，b2a2c22accos B，c2a2b22abcos C；推论：cos
5、 Ab2c2a22bc，cos Ba2c2b22ac，cos Ca2b2c22ab；变形：b2c2a22bccos A，a2c2b22accos B，a2b2c22abcos C.(3)SABC12absin C12acsin B12bcsin A.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华【例 11】(1)(2015昆明模拟)sin()53 且，32，则 sin22()A.63B.66C.66D.63(2)(2015江苏卷)已知 tan 2，tan()17，则 tan 的值为_.(3)(2015四川卷)已知 sin 2cos 0，则 2sin cos cos2 的值是_.热点一 三角函
6、数的求值 微题型1 求值真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华解析(1)sin()sin 53，又，32，cos 1sin21 53223.由 cos 2cos221，22，34，得 cos 2cos 12 66.所以 sin22 cos 2 66.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华(2)tan tan()tan（）tan 1tan（）tan 1721273.(3)sin 2cos 0，sin 2cos，tan 2，又2sin cos cos22sin cos cos2sin2cos22tan 1tan21，原式2（2）1（2）21 1.答案(1)B(2)3(3)1 真
7、题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华探究提高 在三角函数求值过程中，要注意“三看”，即：(1)看角，把角尽量向特殊角或可计算角转化；(2)看名称，把一个等式尽量化成同一名称或近似的名称，例如把所有的切都转化为相应的弦，或把所有的弦转化为相应的切；(3)看式子，看式子是否满足三角函数的公式，如果满足，直接使用，如果不满足，则需要转化角或转换名称，才可以使用.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华【例 12】(2015中山模拟)已知 cos(2)1114，sin(2)4 37，042，则 _.解析 因为 cos(2)1114，且42，所以 sin(2)5 314.因为 sin(
8、2)4 37，且422.微题型2 求角 真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华所以 cos(2)17，所以 cos()cos(2)(2)cos(2)cos(2)sin(2)sin(2)1114175 314 4 37 12.又434，所以 3.答案 3 探究提高 解答这类问题的方法一般是正用公式将所求“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入展开式即可，特别要注意对三角函数值符号的判断.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华【训练 1】(2015广东卷)已知 tan 2.(1)求 tan4 的值；(2)求sin 2sin2si
9、n cos cos 21的值.解(1)tan4 tan tan 41tan tan 4tan 11tan 21123.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华(2)sin 2sin2sin cos cos 212sin cos sin2sin cos（2cos21）12sin cos sin2sin cos 2cos22tan tan2tan 22222221.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华热点二 正、余弦定理的应用 微题型1 判断三角形的形状【例21】(2015焦作模拟)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(
10、AB)，则ABC的形状是()A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华解析 因为(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，所以(a2b2)(sin Acos Bcos Asin B)(a2b2)(sin Acos Bcos Asin B)，即 a2cos Asin Bb2sin Acos B.法一 由正弦定理得 sin2Acos Asin Bsin2Bsin Acos B，因为 sin Asin B0，所以 sin Acos Asin Bcos B，所以 sin 2Asin 2B.在ABC 中，02
11、A2，02B2，所以 2A2B 或 2A2B，即 AB 或 AB2，所以ABC 为等腰三角形或直角三角形.故选 D.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华法二 由正弦定理、余弦定理得 a2bb2c2a22bcb2aa2c2b22ac，即 a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)，即(a2b2)(a2b2c2)0，所以 a2b20 或 a2b2c20，即 ab 或 a2b2c2.所以ABC 为等腰三角形或直角三角形.故选 D.答案 D 真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华探究提高 判断三角形的形状要对所给的边角关系进行转化，使之变为只含有边或角的式子然后判断.如本题既可化为
12、角的关系AB 或 AB2来判断，也可化为边的关系 ab 或 a2b2c2来判断.同时在判断三角形的形状时一定要注意“解”是否唯一，并注意挖掘隐含条件.另外，在变形过程中要注意角 A，B，C 的范围对三角函数值的影响.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华【例 22】(2015武昌模拟)在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 4sin2AB24sin Asin B2 2.(1)求角 C 的大小；(2)已知 b4，ABC 的面积为 6，求边长 c 的值.微题型2 解三角形 解(1)由已知得21cos(AB)4sin Asin B2 2，化简得2cos Acos
13、B2sin Asin B 2，故 cos(AB)22.所以 AB34，从而 C4.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华(2)因为 SABC12absin C，由 SABC6，b4，C4，得 a3 2，由余弦定理 c2a2b22abcos C，得 c 10.探究提高 解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件 即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具 即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.真题感悟考点整合热
14、点聚焦题型突破归纳总结思维升华微题型3 正、余弦定理与三角函数、平面向量结合命题【例 23】(2015成都二诊)已知 m(2cos x2 3sin x，1)，n(cos x，y)，且满足 mn0.(1)将 y 表示为 x 的函数 f(x)，并求 f(x)的最小正周期；(2)已知 a，b，c 分别为ABC 的三个内角 A，B，C 对应的边长，f(x)(xR)的最大值是 f A2，且 a2，求 bc 的取值范围.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华解(1)由 mn0，得 2cos2 x2 3sin xcos xy0，即 y2cos2 x2 3sin xcos xcos 2x 3sin
15、2x12sin2x6 1，所以 f(x)2sin2x6 1，其最小正周期为.(2)由题意得 f A2 3，所以 A62k2(kZ)，因为 0A，所以 A3.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华由正弦定理，得 b43 3sin B，c433sin C，则 bc4 33 sin B4 33 sin C4 33 sin B4 33 sin23 B 4sinB6，又因为 B0，23，所以 sinB6 12，1，所以 bc(2，4，所以 bc 的取值范围是(2，4.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华探究提高 关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角
16、形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华【训练 2】(2015山东卷)ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 cos B 33，sin(AB)69，ac2 3，求 sin A 和 c的值.解 在ABC 中，由 cos B 33，得 sin B 63，因为 ABC，所以 sin Csin(AB)69.因为 sin Csin B，所以 CB，可知 C 为锐角.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华所以 cos C5 39.因此 sin
17、 Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C 63 5 39 33 69 2 23.由 asin Acsin C，可得 acsin Asin C 2 23 c692 3c，又 ac2 3，所以 c1.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华1.对于三角函数的求值，需关注：(1)寻求角与角关系的特殊性，化非特殊角为特殊角，熟练准确地应用公式；(2)注意切化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用；(3)对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，对于很难入手的问题，可利用分析法.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华2.三角形中判断
18、边、角关系的具体方法(1)通过正弦定理实施边角转换；(2)通过余弦定理实施边角转换；(3)通过三角变换找出角之间的关系；(4)通过三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性进行讨论；(5)若涉及两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解条件多的三角形，再逐步求出其他三角形的边和角，其中往往用到三角形内角和定理，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程求解.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华3.三角形的有关性质在解三角形问题中起着重要的作用，如利用“三角形的内角和等于”和诱导公式可得到 sin(AB)sin C，sinAB2cos C2等，利用“大边对大角”可以解决解三角形中的增解问题，如：在斜三角形中，用正弦定理求角时，若已知小角求大角，则有两解；若已知大角求小角，则只有一解，注意确定解的个数.
