1、第九章(A) 第六讲时间:60分钟满分:100分一、选择题(8540分)1四棱锥成为正四棱锥的一个充分但不必要的条件是()A各侧面是等边三角形B顶点在底面的射影在底面四边形的对角线的交点上C各侧面三角形的顶角为45D各侧面是等腰三角形,且底面是正方形答案:A解析:当各侧面为正三角形时,底面为菱形,由侧棱相等,知顶点在底面的射影为底面四边形的外心,因此菱形又必须成为矩形,因此底面为正方形,但正四棱锥侧面不一定是正三角形,故选A.2在斜棱柱的侧面中,矩形最多有几个()A2B3C4D6答案:A解析:最多2个,若有3个,则底面有三条边与侧棱垂直,而三边中至少有两条相交,即底面一定存在两相交直线与侧棱垂
2、直,与斜棱柱定义矛盾故选A.3(2009四川,6)如图所示,已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形,PA平面ABC,PA2AB,则下列结论正确的是()APBADB平面PAB平面PBCC直线BC平面PAED直线PD与平面ABC所成的角为45答案:D解析:PB在底面的射影为AB,AB与AD不垂直,排除A.又BDAB,BDPA,BD面PAB.但BD不在面PBC内,排除B.对于C选项,BDAE,BD面PAE,BC与面PAE不平行,排除C.PD与面ABC所成角为PDA,又AD2ABPA,PDA45,故选D.4(2009湖北,6)如图所示,在三棱柱ABCA1B1C1中,ACB90,ACC160,BCC1
3、45,侧棱CC1的长为1,则该三棱柱的高等于()A. B. C. D.答案:A解析:如图,作C1O底面ABC于点O,作OEBC于E,作OFAC于F,连结C1E、C1F.可知C1FFC,C1EBC.根据已知条件可得OEFCCC1.C1E,高C1O.故选A.5(2009河北邯郸一模)棱长为a的正四面体中,高为h,斜高为m,相对棱间的距离为d,则a、m、h、d的大小关系正确的是()Aamhd BahmdCahdm Dadhm答案:A解析:显然斜高大于高,即mh,排除B、C、D.故选A.6(2009郑州市高中毕业班第一次质量预测卷)如右图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,P为棱DC的中点,则D1P
4、与BC1所在直线所成角的余弦值等于 ()A. B.C. D.答案:B解析:过C1作D1P的平行线交DC的延长线于点F,连结BF,则BC1F或其补角等于异面直线D1P与BC1所成的角设正方体的棱长为1,由P为棱DC的中点,易得BC1,C1F,BF.在BC1F中,cosBC1F,选B.7(2009陕西,11)若正方体的棱长为,则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为()A. B. C. D.答案:B解析:所求八面体体积只是两个底面边长为1,高为的四棱锥的体积和,一个四棱锥体积V11,所以V2V1.故选B.8(2009宁夏、海南,9)如图所示,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,线段B
5、1D1上有两个动点E,F,且EF,则下列结论中错误的是()AACBEBEF平面ABCDC三棱锥ABEF的体积为定值DAEF的面积与BEF的面积相等答案:D解析:如图,正方体ABCDA1B1C1D1中,ACBD,ACBB1,BDBB1B,AC平面BB1D1D,BE平面BB1D1D,ACBE,A对EF平面ABCD,B对SBEFEFBB11,AO平面BB1D1D,AO,VABEF,三棱锥的体积为定值,C对故选D.二、填空题(4520分)9斜三棱柱ABCA1B1C1中,侧面BB1C1C的面积为S,AA1到面BCC1B1的距离是a,则该三棱柱的体积是_答案:解析:将其分割为三棱锥A1ABC和四棱锥A1B
6、CC1B1,因为:VA1BCC1B1Sa.VABCA1B1C1VA1BCC1B1.10如图,在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,底面ABCD是菱形,BAD60,AA1AB1,则截面ACC1A1的面积为_,异面直线AD与D1C所成角的余弦值为_答案:解析:截面ACC1A1为矩形,AA11,AC,其面积S;BD1,BD1,在BCD1中,BC1,CD1,cosBCD1.则异面直线AD与D1C所成角的余弦值为.11已知正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长与底面边长相等,则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于_答案:解析:如图,取A1C1中点为M,则B1M平面ACC1A1,连结AM.B1AM为所求
7、角不妨设棱长为2,则B1M,AB12,sinB1AM.12如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,ABBC,BB12,ABC90,E、F分别为AA1、C1B1的中点,沿棱柱的表面从E到F两点的最短路径的长度为_答案:解析:ABBC,ABC90,AC2侧面展开后如下图所示A1EAA11,A1FA1B1B1F,EF.把A1B1C1与侧面A1B1BA展开如右图所示连结EF,过E作EMB1B,则EMAB,FM1,EF,若把A1B1C1与侧面A1ACC1展开如右图连结EF,作EMCC1于M,作FDEM于D点,则ED,FD,EF.比较以上三条路径,以第三条最小,EF间最短路径为.三、解答题(41040分)1
8、3(2009陕西,18)如图所示,在直三棱柱ABCA1B1C1中,AB1,ACAA1,ABC60.(1)求证:ABA1C;(2)求二面角AA1CB的大小解析:(1)证明:三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱,ABAA1,在ABC中,AB1,AC,ABC60,由正弦定理得ACB30,BAC90,即ABAC.AB平面ACC1A1,又A1C平面ACC1A1,ABA1C.(2)解:如图,作ADA1C交A1C于D点,连结BD,由三垂线定理知BDA1C,ADB为二面角AA1CB的平面角在RtAA1C中,AD,在RtBAD中,tanADB,ADBarctan,即二面角AA1CB的大小为arctan.14如图,
9、三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为a的正三角形,侧面ABB1A1是菱形且垂直于底面,A1AB60,M是A1B1的中点(1)求证:BMAC;(2)求二面角BB1C1A1的正切值;(3)求三棱锥MA1CB的体积解析:(1)证明:ABB1A1是菱形,A1AB60A1B1B是正三角形,BM平面A1B1C1.BMAC.BEB1C1,BEM为所求二面角的平面角,A1B1C1中,MEMB1sin60a,RtBMB1中,MBMB1tan60a,tanBEM2,所求二面角的正切值是2.(3)VMA1CBVB1A1CBVAA1CBVA1ABCa2aa3.15(2009广东汕头一模)如图所示,已知BCD中,BC
10、D90,BCCD1,AB平面BCD,ADB60,E、F分别是AC、AD上的动点,且(01)(1)求证:不论为何值,总有EF平面ABC;(2)若,求三棱锥ABEF的体积解析:(1)证明:AB平面BCD,ABCD.又在BCD中,BCD90,BCCD.又ABBCB,CD平面ABC.又在ACD中,E、F分别是AC、AD上的动点,且(01),不论为何值,都有EFCD,EF平面ABC.(2)在BCD中,BCD90,BCCD1,BD.又AB平面BCD,ABBC,ABBD.又在RtABD中,ADB60,ABBDtan60,由(1)知EF平面ABC,VABEFVFABESABEEFSABCEF1.故三棱锥ABE
11、F的体积是.16在四棱锥PABCD中,侧面PDC是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面ABCD是面积为2的菱形,ADC为菱形的锐角(1)求证:PACD;(2)求二面角PABD的大小;(3)求棱锥PABCD的侧面积;解析:(1)证明:如图所示,取CD的中点E,由PECD,得PE平面ABCD,连结AC、AE.ADCDsinADC2,ADCD2,sinADC,即ADC60,ADC为正三角形,CDAE.CDPA(三垂线定理)(2)解:ABCD,ABPA,ABAE,PAE为二面角PABD的平面角在RtPEA中,PEAE,PAE45.即二面角PABD的大小为45.(3)分别计算各侧面的面积:PDDA2,PA,cosPDA,sinPDA.SPCD,SPABABPA2,SPADSPBCPDDAsinPDA.SPABCD侧.