1、第九章（A） 第六讲时间：60分钟满分：100分一、选择题(8540分)1四棱锥成为正四棱锥的一个充分但不必要的条件是()A各侧面是等边三角形B顶点在底面的射影在底面四边形的对角线的交点上C各侧面三角形的顶角为45D各侧面是等腰三角形，且底面是正方形答案：A解析：当各侧面为正三角形时，底面为菱形，由侧棱相等，知顶点在底面的射影为底面四边形的外心，因此菱形又必须成为矩形，因此底面为正方形，但正四棱锥侧面不一定是正三角形，故选A.2在斜棱柱的侧面中，矩形最多有几个()A2B3C4D6答案：A解析：最多2个，若有3个，则底面有三条边与侧棱垂直，而三边中至少有两条相交，即底面一定存在两相交直线与侧棱垂
2、直，与斜棱柱定义矛盾故选A.3(2009四川，6)如图所示，已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，PA平面ABC，PA2AB，则下列结论正确的是()APBADB平面PAB平面PBCC直线BC平面PAED直线PD与平面ABC所成的角为45答案：D解析：PB在底面的射影为AB，AB与AD不垂直，排除A.又BDAB，BDPA，BD面PAB.但BD不在面PBC内，排除B.对于C选项，BDAE，BD面PAE，BC与面PAE不平行，排除C.PD与面ABC所成角为PDA，又AD2ABPA，PDA45，故选D.4(2009湖北，6)如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，ACC160，BCC1
3、45，侧棱CC1的长为1，则该三棱柱的高等于()A. B. C. D.答案：A解析：如图，作C1O底面ABC于点O，作OEBC于E，作OFAC于F，连结C1E、C1F.可知C1FFC，C1EBC.根据已知条件可得OEFCCC1.C1E，高C1O.故选A.5(2009河北邯郸一模)棱长为a的正四面体中，高为h，斜高为m，相对棱间的距离为d，则a、m、h、d的大小关系正确的是()Aamhd BahmdCahdm Dadhm答案：A解析：显然斜高大于高，即mh，排除B、C、D.故选A.6(2009郑州市高中毕业班第一次质量预测卷)如右图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为棱DC的中点，则D1P
4、与BC1所在直线所成角的余弦值等于 ()A. B.C. D.答案：B解析：过C1作D1P的平行线交DC的延长线于点F，连结BF，则BC1F或其补角等于异面直线D1P与BC1所成的角设正方体的棱长为1，由P为棱DC的中点，易得BC1，C1F，BF.在BC1F中，cosBC1F，选B.7(2009陕西，11)若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为()A. B. C. D.答案：B解析：所求八面体体积只是两个底面边长为1，高为的四棱锥的体积和，一个四棱锥体积V11，所以V2V1.故选B.8(2009宁夏、海南，9)如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，线段B
5、1D1上有两个动点E，F，且EF，则下列结论中错误的是()AACBEBEF平面ABCDC三棱锥ABEF的体积为定值DAEF的面积与BEF的面积相等答案：D解析：如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，ACBD，ACBB1，BDBB1B，AC平面BB1D1D，BE平面BB1D1D，ACBE，A对EF平面ABCD，B对SBEFEFBB11，AO平面BB1D1D，AO，VABEF，三棱锥的体积为定值，C对故选D.二、填空题(4520分)9斜三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BB1C1C的面积为S，AA1到面BCC1B1的距离是a，则该三棱柱的体积是_答案：解析：将其分割为三棱锥A1ABC和四棱锥A1B
6、CC1B1，因为：VA1BCC1B1Sa.VABCA1B1C1VA1BCC1B1.10如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，BAD60，AA1AB1，则截面ACC1A1的面积为_，异面直线AD与D1C所成角的余弦值为_答案：解析：截面ACC1A1为矩形，AA11，AC，其面积S；BD1，BD1，在BCD1中，BC1，CD1，cosBCD1.则异面直线AD与D1C所成角的余弦值为.11已知正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于_答案：解析：如图，取A1C1中点为M，则B1M平面ACC1A1，连结AM.B1AM为所求
7、角不妨设棱长为2，则B1M，AB12，sinB1AM.12如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC，BB12，ABC90，E、F分别为AA1、C1B1的中点，沿棱柱的表面从E到F两点的最短路径的长度为_答案：解析：ABBC，ABC90，AC2侧面展开后如下图所示A1EAA11，A1FA1B1B1F，EF.把A1B1C1与侧面A1B1BA展开如右图所示连结EF，过E作EMB1B，则EMAB，FM1，EF，若把A1B1C1与侧面A1ACC1展开如右图连结EF，作EMCC1于M，作FDEM于D点，则ED，FD，EF.比较以上三条路径，以第三条最小，EF间最短路径为.三、解答题(41040分)1
8、3(2009陕西，18)如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB1，ACAA1，ABC60.(1)求证：ABA1C；(2)求二面角AA1CB的大小解析：(1)证明：三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，ABAA1，在ABC中，AB1，AC，ABC60，由正弦定理得ACB30，BAC90，即ABAC.AB平面ACC1A1，又A1C平面ACC1A1，ABA1C.(2)解：如图，作ADA1C交A1C于D点，连结BD，由三垂线定理知BDA1C，ADB为二面角AA1CB的平面角在RtAA1C中，AD，在RtBAD中，tanADB，ADBarctan，即二面角AA1CB的大小为arctan.14如图，
9、三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为a的正三角形，侧面ABB1A1是菱形且垂直于底面，A1AB60，M是A1B1的中点(1)求证：BMAC；(2)求二面角BB1C1A1的正切值；(3)求三棱锥MA1CB的体积解析：(1)证明：ABB1A1是菱形，A1AB60A1B1B是正三角形，BM平面A1B1C1.BMAC.BEB1C1，BEM为所求二面角的平面角，A1B1C1中，MEMB1sin60a，RtBMB1中，MBMB1tan60a，tanBEM2，所求二面角的正切值是2.(3)VMA1CBVB1A1CBVAA1CBVA1ABCa2aa3.15(2009广东汕头一模)如图所示，已知BCD中，BC
10、D90，BCCD1，AB平面BCD，ADB60，E、F分别是AC、AD上的动点，且(01)(1)求证：不论为何值，总有EF平面ABC；(2)若，求三棱锥ABEF的体积解析：(1)证明：AB平面BCD，ABCD.又在BCD中，BCD90，BCCD.又ABBCB，CD平面ABC.又在ACD中，E、F分别是AC、AD上的动点，且(01)，不论为何值，都有EFCD，EF平面ABC.(2)在BCD中，BCD90，BCCD1，BD.又AB平面BCD，ABBC，ABBD.又在RtABD中，ADB60，ABBDtan60，由(1)知EF平面ABC，VABEFVFABESABEEFSABCEF1.故三棱锥ABE
11、F的体积是.16在四棱锥PABCD中，侧面PDC是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是面积为2的菱形，ADC为菱形的锐角(1)求证：PACD；(2)求二面角PABD的大小；(3)求棱锥PABCD的侧面积；解析：(1)证明：如图所示，取CD的中点E，由PECD，得PE平面ABCD，连结AC、AE.ADCDsinADC2，ADCD2，sinADC，即ADC60，ADC为正三角形，CDAE.CDPA(三垂线定理)(2)解：ABCD，ABPA，ABAE，PAE为二面角PABD的平面角在RtPEA中，PEAE，PAE45.即二面角PABD的大小为45.(3)分别计算各侧面的面积：PDDA2，PA，cosPDA，sinPDA.SPCD，SPABABPA2，SPADSPBCPDDAsinPDA.SPABCD侧.