1、题目 第九章(B)直线、平面、简单几何体空间向量的坐标运算高考要求 要使学生理解空间向量、空间点的坐标的意义，掌握向量加法、减法、数乘、点乘的坐标表示以及两点间的距离、夹角公式通过解题，会应用空间向量的坐标运算解决立体几何中有关平行、垂直、夹角、距离等问题知识点归纳 1 空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为，这个基底叫单位正交基底，用表示；（2）在空间选定一点和一个单位正交基底，以点为原点，分别以的方向为正方向建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫坐标轴我们称建立了一个空间直角坐标系，点叫原点，向量 都叫坐标向量通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为平面，平面，平
2、面；2空间直角坐标系中的坐标： 在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标3空间向量的直角坐标运算律：（1）若，则， ，（2）若，则一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标4 模长公式：若，则，5夹角公式：6两点间的距离公式：若，则，或 题型讲解 例1 已知=（2，2，1），=（4，5，3），求平面ABC的单位法向量解：设面ABC的法向量，则且，即=0，且=0，即2x+2y+z=0且4x+5y+3z=0，解得=z（，1，1），单位法向量=（，）点评：一般情况下
3、求法向量用待定系数法由于法向量没规定长度，仅规定了方向，所以有一个自由度，可把的某个坐标设为1，再求另两个坐标平面法向量是垂直于平面的向量，故法向量的相反向量也是法向量，所以本题的单位法向量应有两解例2 已知A（3，2，1）、B（1，0，4），求：（1）线段AB的中点坐标和长度；（2）到A、B两点距离相等的点P（x，y，z）的坐标满足的条件解：（1）设P（x，y，z）是AB的中点，则= （+）=（3，2，1）+（1，0，4）=（2，1，），点P的坐标是（2，1，），dAB=（2）设点P（x，y，z）到A、B的距离相等，则=化简得4x+4y6z+3=0（线段AB的中垂面方程，其法向量的坐标就是方
4、程中x,y,z的系数），即为P的坐标应满足的条件点评：空间两点P1（x1，y1，z1）、P2（x2，y2，z2）的中点为（，），且|P1P2|= 例3 棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，在棱DD1上是否存在点P使B1D面PAC？解：以D为原点建立如图所示的坐标系，设存在点P（0，0，z），=（a，0，z），=（a，a，0）， =（a，a，a），B1D面PAC，=0，=0a2+az=0z=a，即点P与D1重合点P与D1重合时，DB1面PAC例4 在三棱锥SABC中，SAB=SAC=ACB=90，AC=2，BC=，SB=（1）求证：SCBC；（2）求SC与AB所成角的余弦值解法一：如图，
5、取A为原点，AB、AS分别为y、z轴建立空间直角坐标系，则有AC=2，BC=，SB=，得B（0，0）、S（0，0，2）、C（2，0）， =（2，2），=（2，0） （1）=0，SCBC（2）设SC与AB所成的角为，=（0，0），=4，| |=4，cos=，即为所求解法二：（1）SA面ABC，ACBC，AC是斜线SC在平面ABC内的射影，SCBC（2）如图，过点C作CDAB，过点A作ADBC交CD于点D，连结SD、SC，则SCD为异面直线SC与AB所成的角四边形ABCD是平行四边形，CD=，SA=2，SD=5，在SDC中，由余弦定理得cosSCD=，即为所求 点评：本题（1）采用的是“定量”与“
6、定性”两种证法题（2）的解法一应用向量的数量积直接计算，避免了作辅助线、平移转化的麻烦，但需建立恰当的坐标系；解法二虽然避免了建系，但要选点、平移、作辅助线、解三角形例5 如图，直棱柱ABCA1B1C1的底面ABC中，CA=CB=1，BCA=90，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点 （1）求的长；（2）求cos，的值；（3）求证：A1BC1M（1）解：如图建立坐标系，依题意得B（0，1，0），N（1，0，1），=（2）解：A1（1，0，2），B（0，1，0），C（0，0，0），B1（0，1，2），=（1，1，2），=（0，1，2），=3，=，=cos，=（3）证明：C1（0，0，
7、2），M（，2），=（1，1，2），=（，0），=0，A1BC1M例6 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点 （1）证明ADD1F；（2）求AE与D1F所成的角；（3）证明面AED面A1D1F解：取D为原点，DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系，取正方体棱长为2，则A（2，0，0）、A1（2，0，2）、D1（0，0，2）、E（2，2，1）、F（0，1，0）（1） =（2，0，0）（0，1，2）=0，ADD1F（2）=（0，2，1）（0，1，2）=0，AED1F，即AE与D1F成90角（3）=（2，2，1）（0，1，2）=0，DED1FAED1F
8、，D1F面AEDD1F面A1D1F，面AED面A1D1F点评：通过建立空间直角坐标系，点用三维坐标表示，向量用坐标表示，进行向量的运算，轻而易举地解决立体几何问题，不需要添加辅助线一个需要经过严密推理论证的问题就这样被简单机械的运算代替了本题是高考题，标准答案的解法较为复杂，而运用代数向量求解则轻而易举，充分显示出代数化方法研究几何图形的优越性，这应作为立体几何复习的一个重点去掌握通过坐标法计算数量积去证垂直，求夹角、距离，是高考的重点例7 如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的底边长为a,侧棱长为a建立适当的坐标系，写出A，B，A1，B1的坐标；求AC1与侧面ABB1A1所成的角分析：（1）所
9、谓“建立适当的坐标系”，一般应使尽量多的点在数轴上或便于计算，（2）首先要找出所求的角，或找出平面的法向量与直线所成的角，然后再求之解：（1）建系如图，则A（0，0，0） B（0，a,0）A1（0，0，a),C1（-a,)(2)解法一：在所建的坐标系中，取A1B1的中点M，于是M（0，），连结AM，MC1则有 ，所以，MC1平面ABB1A1因此，AC1与AM所成的角就是AC1与侧面ABB1A1所成的角，,而|由cos=,=30解法二：， 平面ABB1A1的一个法向量AC1与侧面ABB1A1所成的角的正弦为：=AC1与侧面ABB1A1所成的角为30例8 棱长为2的正方体A1B1C1D1-ABCD
10、中，E、F分别是C1C和D1A1的中点，（1）求EF长度；（2）求；3）求点A到EF的距离分析：一般来说，与长方体的棱或棱上的点有关的问题，建立空间直角坐标系比较方便，适当建立坐标系后，正确地写出相关点的坐标及向量然后进行运算即可得解解：以D为原点，DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系，则A（2，0，0），B（2，2，0），E（0，2，1），F（1，0，2）由此可得：=（0，2，0），=（1，-2，1）=（1，0，-2），|=2，|=，= - 4, =1-2=-1，所以（1）=（2）cos=-,所以=-arccos(3)在上的射影的数量cos=A到EF的距离=点评：点到直线的
11、距离的向量求法，就是先求出该点与直线上某点连线在直线上的射影，再用勾股定理求对应的距离例9 平面ABCD平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，且G是EF的中点，（1）求证平面AGC平面BGC；（2）求GB与平面AGC所成角正弦值；（3）求二面角BACG的大小解：如图，以A为原点建立直角坐标系，则A（0，0，0），B（0，2a，0），C（0，2a，2a），G（a，a，0），F（a，0，0）（1）证明：， 设平面AGC的法向量为，设平面BGC的法向量为， 即 平面AGC平面BGC；（2）由知平面AGC的法向量为， （3）因是平面AGC的法向量，又AF平面ABCD，平面ABCD的法向量，
12、得二面角BACG的大小为求平面法向量的另一种方法：由 A（0，0，0），B（0，2a，0），C（0，2a，2a），G（a，a，0），F（a，0，0）设平面AGC的方程为：则平面AGC的法向量为设平面BGC的方程为：则平面BGC的法向量为点评：平面平行于哪一个轴，其法向量的对应坐标就是0； 平面经过原点时平面方程中的常数项等于0； 平面法向量的两种求法的区别小结：1运用空间向量的坐标运算解决几何问题时，首先要恰当建立空间直角坐标系，计算出相关点的坐标，进而写出向量的坐标，再结合公式进行论证、计算，最后转化为几何结论2本节知识是代数化方法研究几何问题的基础，向量运算分为向量法与坐标法两类，以通过向
13、量运算推理，去研究几何元素的位置关系为重点利用两个向量（非零）垂直数量积为零，可证明空间直线垂直；利用数量积可计算两异面直线的夹角，可求线段的长度；运用共面向量定理可证点共面、线面平行等；利用向量的射影、平面的法向量，可求点面距、线面角、异面直线的距离等学生练习 1若=（2x，1，3），=（1，2y，9），如果与为共线向量，则Ax=1，y=1 Bx=，y=Cx=，y=Dx=，y=解析：=（2x，1，3）与=（1，2y，9）共线，故有=x=，y=应选C 答案：C2在空间直角坐标系中，已知点P（x，y，z），下列叙述中正确的个数是点P关于x轴对称点的坐标是P1（x，y，z） 点P关于yOz平面对称
14、点的坐标是P2（x，y，z） 点P关于y轴对称点的坐标是P3（x，y，z） 点P关于原点对称的点的坐标是P4（x，y，z）A3 B2 C1 D0解析：P关于x轴的对称点为P1（x，y，z），关于yOz平面的对称点为P2（x，y，z），关于y轴的对称点为P3（x，y，z）故错误 答案：C3已知向量=（1，1，0），=（1，0，2），且k与2互相垂直，则k值是A1BCD 解析：k+=k（1，1，0）（1，0，2）=（k1，k，2），2=2（1，1，0）（1，0，2）=（3，2，2）两向量垂直，3（k1）2k22=0k= 答案：D4设OABC是四面体，G1是ABC的重心，G是OG1上一点，且OG=3
15、GG1，若 =x+y+z，则（x，y，z）为A（，） B（，）C（，） D（，）解析：= = （ +）=+ （+）=+ （）+（）=+ + ，而=x+y+z，x=，y=，z=答案：A5在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成的角为AarccosBarccosCarccos Darccos解：建立坐标系，把D点视作原点O，分别沿、方向为x轴、y轴、z轴的正方向，则A（1，0，0），M（1，1），C（0，1，0），N（1，1，）=（1，1）（1，0，0）=（0，1），=（1，1，）（0，1，0）=（1，0，）故=01+0+1=，|=
16、，|=cos=arccos 答案：D6已知空间三点A（1，1，1）、B（1，0，4）、C（2，2，3），则与的夹角的大小是_解析：=（2，1，3），=（1，3，2），cos，=，=，=120 答案：1207已知点A（1，2，1）、B（1，3，4）、D（1，1，1），若=2，则| |的值是_解析：设点P（x，y，z），则由=2，得（x1，y2，z1）=2（1x，3y，4z），即则|= 答案： 8设点C（2a+1，a+1，2）在点P（2，0，0）、A（1，3，2）、B（8，1，4）确定的平面上，求a的值解： =（1，3，2），=（6，1，4）根据共面向量定理，设 =x+y（x、yR），则（2a1，
17、a+1，2）=x（1，3，2）+y（6，1，4）=（x+6y，3xy，2x+4y），解得x=7，y=4，a=16另法：先求出三点确定的平面方程，然后代入求a的值9已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，P、Q分别是BC、CD上的动点，且|PQ|=，建立坐标系，把D点视作原点O，分别沿、方向为x轴、y轴、z轴的正方向，（1）确定P、Q的位置，使得B1QD1P；（2）当B1QD1P时，求二面角C1PQA的大小解：（1）设BP=t，则CQ=，DQ=2B1（2，0，2），D1（0，2，2），P（2，t，0），Q（2，2，0）， =（，2，2）， =（2，2t，2）B1QD1P等价于=0，即22（
18、2t）+22=0，整理得=t，解得t=1此时，P、Q分别是棱BC、CD的中点，即P、Q分别是棱BC、CD的中点时，B1QD1P；（2）二面角C1PQA的大小是arctan210已知三角形的顶点是A（1，1，1），B（2，1，1），C（1，1，2）试求这个三角形的面积解：S=|AB|AC|sin，其中是AB与AC这两条边的夹角则S=|=| =在本题中，=（2，1，1）（1，1，1）=（1，2，2），=（1，1，2）（1，1，1）=（2，0，3），|2=12+22+（2）2=9，|2=（2）2+02+（3）2=13，=1（2）+20+（2）（3）=2+6=4，S=11证明正三棱柱的两个侧面的异面对
19、角线互相垂直的充要条件是它的底面边长与侧棱长的比为1 证明：如图，以正三棱柱的顶点O为原点，棱OC、OB为y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设正三棱柱底面边长与棱长分别为2a、b，则A（a，a，b）、B（0，0，b）、C（0，2a，0）因为异面对角线OABC=0（a，a，b）（0，2a，b）=2a2b2=0b=a，即2ab=1，所以OABC的充要条件是它的底面边长与侧棱长的比为112如图，ABCD是边长为a的菱形，且BAD=60，PAD为正三角形，且面PAD面ABCD （1）求cos，的值；（2）若E为AB的中点，F为PD的中点，求|的值；（3）求二面角PBCD的大小解：（1）选取AD中点O为原点，OB、AD、OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A（0，0），B（a，0，0），P（0，0，a），D（0，0）=（a，0），=（0，a），则cos，=（2）E、F分别为AB、PD的中点，E（ a，0），F（0，a）则|= a（3）面PAD面ABCD，POAD，PO面ABCDBOAD，ADBC，BOBC连结PB，则PBBC，PBO为二面角PBCD的平面角在RtPBO中，PO=a，BO=a，tanPBO=1则PBO=45故二面角PBCD的大小为45课前后备注
