1、33几何概型33.1几何概型1通过实例体会几何概型的含义，会区分古典概型和几何概型2掌握几何概型的概率计算公式，会求一些事件的概率1几何概型的定义与特点(1)定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型(2)特点：可能出现的结果有无限多个；每个结果发生的可能性相等2几何概型中事件A的概率的计算公式P(A).1几何概型有何特点？提示试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；每个基本事件出现的可能性相等2古典概型与几何概型有何区别？提示古典概型的试验结果是有限的，而几何概型的试验结果是无限的3判断正误(正确的打“”
2、，错误的打“”)(1)几何概型的概率与构成事件的区域形状无关()(2)在射击中，运动员击中靶心的概率在(0,1)内()(3)几何概型的基本事件有无数多个()(4)从区间1,1上取一个数，求取到1的概率属于几何概型()答案(1)(2)(3)(4)题型一 与长度、角度有关的几何概型【典例1】(1)如图所示，A、B两盏路灯之间长度是30 m，由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯C、D，问A与C，B与D之间的距离都不小于10 m的概率是多少？ (2)如图所示，在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在ACB内部作一条直线CM，与线段AB交于点M.求AMAC的概率. 思路导引(1)在A、B之间每一位置
3、处安装路灯C，D都是一个基本事件，基本事件有无限多个，且每一个基本事件的发生都是等可能的，因此事件发生的概率只与长度有关；(2)过直角顶点C在ACB内部作一条直线CM，与线段AB交于点M. 基本事件有无限多个，且每一个基本事件的发生都是等可能的，因此事件发生的概率只与角度有关解(1)记E：“A与C、B与D之间的距离都不小于10 m”，把AB三等分，由于中间长度为3010 (m)，P(E).(2)在AB上取ACAC，则ACC67.5.设事件A在ACB内部作一条射线CM，与线段AB交于点M，AMAC，则所有可能结果的区域角度为90，事件A的区域角度为67.5，P(A).(1)与长度有关的几何概型问
4、题综述如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为：P(A).将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解(2)与角度有关的几何概型的求法当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，常以角度的大小作为区域度量来计算概率与角度有关的几何概型的概率计算公式为P(A).解决此类问题的关键是事件A在区域角度内是均匀的，进而判定事件的发生是等可能的对于一个具体问题，能否用几何概型的概率公式计算事件的概率，关键在于能否将问题几何化，也
5、可根据实际问题的具体情况，选取合适的参数建立适当的坐标系，在此基础上，将试验的每一个结果一一对应于该坐标系中的每一点，使得全体结果构成一个可度量的区域如果试验结果涉及的区域可用角表示，则可以判定需利用与角度有关的几何概型概率的计算公式解决对于此类题，往往角的始边是固定的，只要考虑终边位置的情况即可针对训练1(1)在区间1,2上随机取一个数x，则|x|1的概率为_(2)某汽车站每隔15 min有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一位乘客到达车站后等车时间超过10 min的概率解析(1)区间1,2的长度为3，由|x|1得x1,1，而区间1,1的长度为2，x取每个值为随机的，在1,2上取一
6、个数x，|x|1的概率P.(2)设上一辆车于时刻T1到达，而下一辆车于时刻T2到达，则线段T1T2的长度为15，设T是线段T1T2上的点，且T1T5，T2T10，如图所示记“等车时间超过10 min”为事件A，则当乘客到达车站的时刻t落在线段T1T上(不含端点)时，事件A发生P(A)，即该乘客等车时间超过10 min的概率是.答案(1)(2)题型二 与面积有关的几何概型问题【典例2】(1)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是()A. B. C. D.(2) 如图，矩形ABCD
7、中，点A在x轴上，点B的坐标为(1,0)，且点C与点D在函数f(x)的图象上若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于()A. B.C. D.解析(1)不妨设正方形的边长为2，则正方形的面积为4，正方形的内切圆的半径为1，面积为.由于正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，所以黑色部分的面积为，故此点取自黑色部分的概率为，故选B.(2)易知点C的坐标为(1,2)，点D的坐标为(2,2)，所以矩形ABCD的面积为6，阴影部分的面积为，故所求概率为.答案(1)B(2)B(1)与面积有关的几何概型的概率公式如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示，则其概
8、率的计算公式为：P(A).(2)解与面积相关的几何概型问题的三个关键点根据题意确认是否是与面积有关的几何概型问题；找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征计算相关面积；套用公式，从而求得随机事件的概率针对训练2如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是()A1 B.1C2 D.解析由几何概型知所求的概率P1.答案A题型三 与体积有关的几何概型的问题【典例3】一个多面体的直观图和三视图如下图所示，M是AB的中点，一只蜻
9、蜓在几何体ADFBCE内自由飞翔，则它飞入几何体FAMCD内的概率为()A. B. C. D.解析由三视图可知DA，DC，DF两两垂直，且DADCDFa，VFAMCDS梯形AMCDDFa3.又VADFBCEa3，蜻蜓飞入几何体FAMCD内的概率为P.答案C体积型几何概型问题解法探秘(1)如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度量，我们要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出基本事件所占的体积及事件A占的体积其概率的计算公式为：P(A).(2)解决此类问题一定要注意几何概型的条件，并且要特别注意所求的概率是与体积有关还是与长度有关，不要将二者混淆针对训练3(1)一只蝴蝶(体积忽略不计)在一个
10、长、宽、高分别为5,4,3的长方体内自由飞行，若蝴蝶在飞行过程中始终保持与长方体的6个面的距离均大于1，则称其为“安全飞行”，那么蝴蝶“安全飞行”的概率为()A. B.C. D.(2)一个靶子如图所示，随机地掷一个飞镖扎在靶子上，假设飞镖既不会落在靶心，也不会落在阴影部分与空白的交线上，现随机向靶掷飞镖30次，则飞镖落在阴影部分的次数约为()A5 B10C15 D20解析(1)长方体的体积为54360，蝴蝶“安全飞行”区域的体积为3216.根据几何概型的概率计算公式，可得蝴蝶“安全飞行”的概率为.(2)阴影部分对应的圆心角度数和为60，所以飞镖落在阴影内的概率为，飞镖落在阴影内的次数约为305
11、.答案(1)A(2)A课堂归纳小结1几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率模型2几何概型主要用于解决与长度、面积、体积有关的题目3注意理解几何概型与古典概型的区别.4.理解如何将实际问题转化为几何概型的问题，利用几何概型公式求解，概率公式为P(A).1将一条5米长的绳子随机地切断为两段，则两段绳子都不短于1米的概率为()A. B. C. D.解析由题意，只要在距离两端分别至少为1米处剪断，满足题意的位置有3米，由几何概型公式得到所求概率为，故选C.答案C2如图，正方形ABCD的内切圆中黑色部分和白色部分关于正方形对边中点的连线对称，在正方形内随机取一点，则此点取自灰色部分的概率
12、是()A. B.C. D4解析设正方形的边长为2，根据几何概型概率计算公式，此点取自灰色部分的概率P.故选A.答案A3在一球内有一棱长为1的内接正方体，一点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为()A. B. C. D.解析由题意可得正方体的体积为V11.又球的直径是正方体的体对角线，故球的半径R.球的体积V2R3.则此点落在正方体内的概率为P.答案D4函数f(x)2x(x0)，其值域为D，在区间(1,2)上随机取一个数x，则xD的概率是()A. B. C. D.解析函数f(x)2x(x2成立的概率为()A. B. C. D.解析这是一个几何概型，其中基本事件的总数构成的区域对应的长度是2(
13、2)4，由f(x)2可得x1，所以满足题设的基本事件构成的区域对应的长度是211，则使不等式f(x)2成立的概率为.答案A2某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40 s若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15 s才出现绿灯的概率为()A. B. C. D.解析记“至少需要等待15 s才出现绿灯”为事件A，则P(A).答案B3已知ABCD为长方形，AB2，BC1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点P，则取到的点P到O的距离大于1的概率为()A. B1 C. D1解析如图所示，设取到的点P到O的距离大于1为事件M，则点P应在阴影部分内，阴影部分的面积为211
14、22，所以P(M)1.答案B4在长为10 cm的线段AB上任取一点P，并以线段AP为边作正方形，这个正方形的面积介于25 cm2与49 cm2之间的概率为()A. B. C. D.解析在线段AB上任取一点P，事件“正方形的面积介于25 cm2与49 cm2之间”等价于事件“5|AP|7”，则所求概率为.答案B5如图所示，有四个游戏盘，将它们水平放稳后，向上面扔一颗小玻璃球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是()解析A中奖概率为，B中奖概率为，C中奖概率为，D中奖概率为.答案A6记函数f(x)的定义域为D.在区间4,5上随机取一个数x，则xD的概率是_解析由6x
15、x20，解得2x3，则D2,3，则所求概率为.答案7水池的容积是20 m3，水池里的水龙头A和B的水流速度都是1 m3/h，它们一昼夜(024 h)内随机开启，则水池不溢水的概率为_解析如图所示，横坐标和纵坐标分别表示A，B两水龙头开启的时间，则阴影部分是满足不溢水的对应区域，因为正方形区域的面积为2424，阴影部分的面积是2020，所以所求的概率P.答案8已知方程x23x10，若p在0,10中随机取值，则方程有实数根的概率为_解析因为总的基本事件是0,10内的全部实数，所以基本事件总数为无限个，符合几何概型的条件，事件对应的测度为区间的长度，总的基本事件对应区间0,10，长度为10，而事件“
16、方程有实数根”应满足0，即9410，得p5，所以对应区间0,5，长度为5，所以所求概率为.答案9已知点M(x，y)满足|x|1，|y|1.求点M落在圆(x1)2(y1)21的内部的概率解如图所示，区域为图中的正方形，正方形的面积为4，且阴影部分是四分之一圆，其面积为，则点M落在圆(x1)2(y1)21的内部的概率为.10在街道旁边有一游戏：在铺满边长为9 cm的正方形塑料板的宽广地面上，掷一枚半径为1 cm的小圆板规则如下：每掷一次交5角钱，若小圆板压在边上，可重掷一次；若掷在正方形内，需再交5角钱才可玩；若压在正方形塑料板的顶点上，可获得一元钱试问：(1)小圆板压在塑料板的边上的概率是多少？
17、(2)小圆板压在塑料板顶点上的概率是多少？解(1)如图(1)所示，因为O落在正方形ABCD内任何位置是等可能的，小圆板与正方形塑料板ABCD的边相交接是在圆板的中心O到与它靠近的边的距离不超过1 cm时，所以O落在图中阴影部分时，小圆板就能与塑料板ABCD的边相交接，这个范围的面积等于927232(cm2)，因此所求的概率是.(2)小圆板与正方形的顶点相交接是在圆心O与正方形的顶点的距离不超过小圆板的半径1 cm时，如图(2)阴影部分，四块合起来面积为 cm2，故所求概率是.应试能力等级练(时间20分钟)11在区间0,1上随机取两个数x，y，记p1为事件“xy”的概率，p2为事件“|xy|”的
18、概率，p3为事件“xy”的概率，则()Ap1p2p3 Bp2p3p1Cp3p1p2 Dp3p2p1解析x，y0,1，事件“xy”表示的区域如图(1)中阴影部分S1，事件“|xy|”表示的区域如图(2)中阴影部分S2，事件“xy”表示的区域如图(3)中阴影部分S3.由图知，阴影部分的面积S2S3S1，正方形的面积为111.根据几何概型的概率计算公式，可得p2p3p1.答案B12在1,1上随机地取一个数k，则事件“直线ykx与圆(x5)2y29相交”发生的概率为_A. B. C. D.解析若直线ykx与圆(x5)2y29相交，则有圆心到直线的距离d3，即kSABC，所以|PB|AB|，故PBC的面
19、积大于的概率是.答案14已知0a1，分别在区间(0，a)和(0,4a)内任取一个数，而取出的两数之和小于1的概率为，则a的值为_解析设所取的两个数分别为x，y，由题知所有基本事件构成的集合为(x，y)|0xa,0y4a,0a1，其对应区域为矩形，面积为S()a(4a)，而事件A(x，y)|xy1，其对应区域面积为S(A)(11a)a，由几何概型的概率计算公式知，即a(5a4)0，解得a.答案15.如图，已知AB是半圆O的直径，AB8，M，N，P是将半圆圆周四等分的三个等分点(1)从A，B，M，N，P这5个点中任取3个点，求这3个点组成直角三角形的概率；(2)在半圆内任取一点S，求SAB的面积大于8的概率解(1)从A，B，M，N，P这5个点中任取3个点，一共可以组成10个三角形：ABM，ABN，ABP，AMN，AMP，ANP，BMN，BMP，BNP，MNP，其中是直角三角形的只有ABM，ABN，ABP 3个，所以组成直角三角形的概率为.(2)连接MP，ON，OM，OP，取线段MP的中点D，则ODMP，易求得OD2，当S点在线段MP上时，SABS288，所以只有当S点落在阴影部分(不在MP上)时，SAB的面积才能大于8，而S阴影S扇形MOPSOMP424248，所以由几何概型的概率公式得SAB的面积大于8的概率为.
