1、高 考 总 复 习 艺考生山东版数学 第12节 利用导数研究函数的极值、最值 第二章 函数、导数及其应用最新考纲核心素养考情聚焦1.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次).3.体会导数与单调性、极值、最大(小)值的关系1.利用导数研究函数的极值，达成数学抽象和数学运算素养2.利用导数研究函数的最值，提升逻辑推理和数学运算素养3.利用导数研究生活中的优化问题，发展数学建模和数学运算素养函数的极值与最值是高考的热点内容，对极值的考查主要有2个命题角度：判断极值的情况，已知函数
2、求极值考查函数最值时必定涉及函数的单调性，还会涉及到方程和不等式题型有大题也有小题且有一定难度另外已知函数的极值(最值)情况求参数的取值范围也是考查的热点内容，涉及函数的单调性时，往往需要进行分类讨论，这类题综合性强，难度较大1函数极值的概念一般地，当函数 f(x)在点 x0 处连续时，(1)如果在 x0 附近的左侧 f(x)0，右侧 f(x)0，那么 f(x0)是极大值；(2)如果在 x0 附近的左侧 f(x)0，那么 f(x0)是 极小值.2求可导函数 f(x)的极值的步骤(1)求导函数 f(x)；(2)求方程 f(x)0 的根；(3)列表，检验 f(x)在方程 f(x)0 的根左右两侧的
3、函数值的符号，如果 左正右负，那么函数 yf(x)在这个根处取得极大值；如果 左负右正，那么函数 yf(x)在这个根处取得极小值；如果左右两侧符号一样，那么这个根不是极值点(4)得极值，由表得极大值与极小值3求函数 f(x)在a，b上最值的步骤(1)求函数 yf(x)在(a，b)内的 极值.(2)将函数 yf(x)的 各极值 与端点处的 函数值 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数 f(x)在a，b上的最值4利用导数求解实际问题中的优化问题生活中求利润最大、用料最省、效率最高等问题称之为优化问题导数是解决生活中优化问题的有力工具，用导数解决优化问题的基本
4、思路是：优化问题用函数表示的数学问题用导数解决数学问题优化问题的答案利用导数解决实际应用问题一般有如下几类：(1)给出了具体的函数关系式，只需研究这个函数的性质即可(2)函数关系式中含有比例系数，根据已知数据求出比例系数得到函数关系式，再研究函数的性质(3)没有给出函数关系，需要先建立函数关系，再研究函数的性质1对于可导函数 f(x)，f(x0)0 是函数 f(x)在 xx0 处有极值的必要不充分条件2若函数 f(x)在闭区间a，b上的图象连续不断，则 f(x)在a，b上必有最大值与最小值3若函数 f(x)在闭区间a，b内是单调函数，则 f(x)一定在区间端点处取得最值4若函数 f(x)在开区
5、间(a，b)上的图象连续不断，且有唯一的极值点，则这个极值点就是函数的最值点思考辨析 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“”，错误的打“”(1)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的()(2)函数的极大值不一定比极小值大()(3)对可导函数 f(x)，f(x0)0 是 x0 点为极值点的充要条件()(4)函数的极大值一定是函数的最大值()(5)开区间上的单调连续函数无极值和最值()(6)函数 f(x)1x在区间1,1上有最值()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)小题查验1函数 f(x)(x21)22 的极值点是()Ax1 Bx1Cx1 或1 或 0 Dx0解析：C f(x)
6、x42x23，由 f(x)4x34x4x(x1)(x1)0 得x0 或 x1 或 x1.又当 x1 时，f(x)0，当1x0 时，f(x)0，当 0 x1 时，f(x)0，当 x1 时，f(x)0，x0,1，1 都是 f(x)的极值点2函数 f(x)ax3bx 在 x1 处有极值2，则 a，b 的值分别为()A1，3 B1,3C1,3 D1，3解析：A f(x)3ax2b，f(1)3ab0.又当 x1 时有极值2，ab2.联立解得a1，b3.经检验符合题意3函数 yxex 的最小值是()A1 BeC1eD不存在解析：C yexxex，令 y0，则 x1，x1 时，y1 时，y0，x1 是函数的
7、唯一极小值点，即为最小值点，x1 时，ymin1e，故选 C.4(人教 A 版教材例题改编)函数 f(x)13x34x4 在0,3上的最小值为_答案：435从边长为 10 cm16 cm 的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为_ cm3.解析：设盒子容积为 y cm3，盒子的高为 x cm.则 y(102x)(162x)x4x352x2160 x(0 x5)，y12x2104x160.令 y0，得 x2 或 x203(舍去)，ymax6122144(cm3)答案：144考点一 利用导数研究函数的极值(多维探究)命题角度 1 由函数图象判断其极值情况1设
8、函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 f(x)，且函数 y(1x)f(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1)B函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1)C函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(2)D函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(2)解析：D 由题图可知，当 x0；当2x1 时，f(x)0；当 1x2 时，f(x)2 时，f(x)0.由此可以得到函数 f(x)在 x2 处取得极大值，在 x2 处取得极小值命题角度 2 利用导数求函数的极值2已知函数 f(x)2f(1)ln xx，则 f(x)的极大值
9、为()A2 B2ln 22Ce D2e解析：B 函数 f(x)定义域(0，)，f(x)2f 1x1，所以 f(1)1，f(x)2ln xx，令 f(x)2x10，解得 x2.当 0 x0，当 x2 时，f(x)0，解得 x1，所以 f(x)在(，2)和(1，)上单调递增，在(2,1)上单调递减，所以 f(x)的极小值为 f(1)(111)e111.4(2019江西八校联考)若函数 f(x)x2xaln x 在1，)上有极值点，则实数 a 的取值范围为_解析：函数 f(x)的定义域为(0，)，f(x)2x1ax2x2xax，由题意知 2x2xa0 在 R 上有两个不同的实数解，且在1，)上有解，
10、所以 18a0，且 2121a0，所以 a(，1答案：(，1已知函数极值点或极值求参数的两个要领1列式：根据极值点处导数为 0 和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解2验证：因为某点处的导数值等于 0 不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性考点二 利用导数研究函数的最值(师生共研)数学运算利用导数法求最值中的数学素养利用导数法求解函数最值应该注意两个方面的问题：一是函数的定义域，函数与其导函数的定义域可能不一致；二是确定函数在某个区间上的最值时，注意极值与最值的区别典例(2019贵阳检测)已知函数 f(x)x1x ln x.(1)求 f(x)的单调区间；(
11、2)求函数 f(x)在1e，e 上的最大值和最小值(其中 e 是自然对数的底数)解(1)f(x)x1x ln x11xln x，f(x)的定义域为(0，)所以 f(x)1x21x1xx2，由 f(x)0，得 0 x1，由 f(x)1，所以 f(x)11xln x 的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，)(2)由(1)得 f(x)在1e，1 上单调递增，在1，e上单调递减，所以 f(x)在1e，e 上的最大值为 f(1)11ln 10.又 f1e 1eln1e2e，f(e)11eln e1e，且 f 1e f(e)所以 f(x)在1e，e 上的最小值为 f1e 2e.综上所述，f(x)
12、在1e，e 上的最大值为 0，最小值为 2e.求函数 f(x)在闭区间a，b上的最值时，首先可判断函数在a，b上的单调性，若函数在a，b上单调递增或单调递减，则 f(a)，f(b)一个为最大值，一个为最小值若函数在a，b上不单调，一般先求a，b上 f(x)的极值，再与 f(a)，f(b)比较，最大的即为最大值，最小的即为最小值易错警示：求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全；含参数时，要讨论参数的大小跟踪训练已知函数 f(x)(xk)ex，(1)求 f(x)的单调区间；(2)求 f(x)在区间0,1上的最小值解：(1)由 f(x)(xk)ex，得 f(x)(xk1)ex，令 f(x)0，得 x
13、k1.f(x)与 f(x)随 x 的变化情况如下：所以，f(x)的单调递减区间是(，k1)；单调递增区间是(k1，)(2)当 k10，即 k1 时，函数 f(x)在0,1上单调递增，所以 f(x)在区间0,1上的最小值为 f(0)k，当 0k11，即 1k2 时，由(1)知 f(x)在0，k1)上单调递减，在(k1,1上单调递增所以 f(x)在区间0,1上的最小值为 f(k1)ek1.当 k11，即 k2 时，函数 f(x)在0,1上单调递减，所以 f(x)在区间0,1上的最小值为 f(1)(1k)e.综上可知，当 k1 时，f(x)mink；当 1k2 时，f(x)minek1；当 k2 时
14、，f(x)minf(1)(1k)e.考点三 利用导数研究生活中的优化问题(课堂共研)典例 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)设该蓄水池的底面半径为 r 米，高为 h 米，体积为 V 立方米假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为 100 元/平方米，底面的建造成本为 160 元/平方米，该蓄水池的总建造成本为 12 000 元(为圆周率)(1)将 V 表示成 r 的函数 V(r)，并求该函数的定义域(2)讨论函数 V(r)的单调性，并确定 r 和 h 为何值时该蓄水池的体积最大解(1)因为蓄水池侧面的总成本为 1002rh200rh 元，底面的总成本为 160r2元，所以蓄水池
15、的总成本为(200rh160r2)元又根据题意得 200rh160r212 000，所以 h15r(3004r2)，从而 V(r)r2h5(300r4r3)由 h0，且 r0 可得 0r53，故函数 V(r)的定义域为(0,53)(2)因为 V(r)5(300r4r3)，所以 V(r)5(30012r2)令 V(r)0，解得 r15，r25(因为 r25 不在定义域内，舍去)当 r(0,5)时，V(r)0，故 V(r)在(0,5)上为增函数；当 r(5,53)时，V(r)0，故 V(r)在(5,53)上为减函数 由此可知，V(r)在 r5 处取得最大值，此时 h8，即当 r5，h8 时，该蓄水
16、池的体积最大 利用导数解决实际生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各变量之间的关系，建立实际问题的数学模型，写出相应的函数关系式 yf(x)(2)求导数 f(x)，解方程 f(x)0.(3)判断使 f(x)0 的点是极大值点还是极小值点(4)确定函数的最大值或最小值，还原到实际问题中作答一般地，对于实际问题，若函数在给定的定义域内只有一个极值点，那么该点也是最值点跟踪训练(2019绵阳市模拟)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量 y(单位：千克)与销售价格 x(单位：元/千克)满足关系式 yax310(x6)2，其中 3x6，a 为常数已知销售价格为 5 元/千克时，每日
17、可售出该商品 11 千克(1)求 a 的值；(2)若该商品的成本为 3 元/千克，试确定销售价格 x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大解：(1)因为 x5 时，y11，所以a21011，即 a2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为 y 2x310(x6)2.所以商场每日销售该商品所获得的利润为 f(x)(x3)2x310 x62210(x3)(x6)2,3x6.从而，f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6)于是，当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)f(x)0f(x)单调递增极大值 42单调递减由上表可得，x4 时，函数 f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点所以，当 x4 时，函数 f(x)取得最大值，且最大值等于42.所以，当销售价格为 4 元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大
