1、高 考 总 复 习 艺考生山东版数学 第7节 二项分布与正态分布第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布最新考纲核心素养考情聚焦1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念2.理解n次独立重复试验的模型及二项分布能解决一些简单的实际问题3.了解正态密度曲线的特点及曲线所表示的意义，并进行简单应用1.条件概率的学习，达成逻辑推理和数学建模的素养2.相互独立事件同时发生的概率，增强逻辑推理和数学建模的素养3.独立重复试验与二项分布，提升数学建模、逻辑推理和数学运算的素养4.正态分布，达成逻辑推理和数学建模的素养 新大纲中明确表示要加大对数学应用的考查，二项分布是考查的重点之一.2020年的高考预计考查
2、：1.条件概率的计算2.事件独立性的应用3.独立重复试验与二项分布的计算题型以解答题为主，难度不会太大，属于中档题型1条件概率及其性质条件概率的定义条件概率的性质一般地，设 A，B 为两个事件，且 P(A)0，称 P(B|A)PABPA 为在 事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的条件概率(1)0P(B|A)1；(2)若 B、C 是两个互斥事件，则 P(BC|A)P(B|A)P(C|A)2.事件的相互独立性(1)定义：设 A，B 为两个事件，如果 P(AB)P(A)P(B)，则称事件 A 与事件 B 相互独立(2)性质：若事件 A 与 B 相互独立，则 A 与 B、A 与 B、A 与 B 也
3、都相互独立，P(B|A)P(B)，P(A|B)P(A).3独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验在相同条件下重复做的 n 次试验称为 n 次独立重复试验，其中Ai(i 1,2，n)是 第 i 次 试 验 结 果，则 P(A1A2A3An)P(A1)P(A2)P(A3)P(An).(2)二项分布在 n 次独立重复试验中，用 X 表示事件 A 发生的次数，设每次试验中事件 A 发生的概率为 p，则 P(Xk)Cknpk(1p)nk(k0,1,2，n)，此时称随机变量 X 服从 二项分布，记作 XB(n，p)，并称 p 为成功概率4正态分布及特点(1)正态曲线的定义(2)正态曲线的特点曲线位于 x
4、 轴上方，与 x 轴不相交；曲线是单峰的，它关于直线 x 对称；曲线在 x 处达到峰值1 2；曲线与 x 轴之间的面积为 1；当 一定时，曲线的位置由 确定，曲线随着 的变化而沿 x轴平移，如图(1)所示；当 一定时，曲线的形状由 确定，越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图(2)所示1.A，B 中至少有一个发生的事件为 AB.2A，B 都发生的事件为 AB.3A，B 都不发生的事件为 A B.4A，B 恰有一个发生的事件为(A B)(AB)5A，B 至多一个发生的事件为(A B)(AB)(A B)思考辨析 判断下列说法是否正确，正确的在它
5、后面的括号里打“”，错误的打“”(1)若条件 A 与 B 独立，则 A 与 B，A与 B，A与 B也相互独立()(2)相互独立事件就是互斥事件()(3)若事件 A，B 相互独立，则 P(B|A)P(B)()(4)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式 P(Xk)Cknpk(1p)nk，k0,1,2，n 表示的概率分布列，它表示了 n 次独立重复试验中事件 A 发生次数的概率分布()(5)(课本改编)袋中有 5 个小球(3 白 2 黑)，现从袋中每次取一个球，不放回地抽取两次，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是 0.5.()(6)在正态密度曲线中，当 一定时，越大，图象越低矮，越
6、小，图象越瘦高()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)小题查验1从 1,2,3,4,5,6,7,8,9 中不放回地依次取 2 个数，事件 A“第一次取到的是奇数”，B“第二次取到的是奇数”，则 P(B|A)()A.15 B.310 C.25 D.12解析：D 由题意，P(A B)C25C29518，P(A)C15C1959.P(B|A)PA BPA12.故选 D.2(2019汕头市一模)甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为23和34，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为()A.34B.23 C.57D.512解析
7、：D 根据题意，恰有一人获得一等奖就是甲获得乙没有获得或甲没有获得乙获得，则所求概率是23134 34123 512，故选 D.3(人教 A 版教材 P55T3 改编)天气预报，在元旦假期甲地降雨概率是 0.2，乙地降雨概率是 0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为()A0.2 B0.3 C0.38 D0.56解析：C 设甲地降雨为事件 A，乙地降雨为事件 B，则两地恰有一地降雨为 A B A B，P(A B A B)P(A B)P(A B)P(A)P(B)P(A)P(B)0.20.70.80.30.38.4已知随机变量 X 服从正态分布 N(
8、3，2)，且 P(X5)0.8，则 P(1X3)_.解析：随机变量 X 服从正态分布 N(3，2)，对称轴是 x3.P(X5)0.8，P(X5)0.2，P(1X3)0.50.20.3.答案：0.35甲乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该对获胜，决赛结束)根据前期的比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为 0.6，客场取胜的概率为 0.5，且各场比赛相互独立，则甲队以 41 获胜的概率是_解析：甲队要以 41，则甲队在前 4 场比赛中输一场，第 5 场甲获胜，由于在前 4 场比赛中甲有 2 个主场 2 个客场，于是分两种情况：C120.60
9、.40.520.60.62C120.50.50.60.18.答案：0.18考点一 条件概率(自主练透)题组集训1某射击手射击一次命中的概率是 0.7，连续两次均射中的概率是 0.4，已知某次射中，则随后一次射中的概率是()A.710 B.67 C.47 D.27解析：C 设“某次射中”为事件 A，“随后一次的射中”为事件 B，则 P(A B)0.4，P(A)0.7，P(B|A)PA BPA47，故选 C.2(2018马鞍山三模)从集合 UxZ|1x15中任取 2 个不同的元素，事件 A“取到的 2 个数之和为偶数”，事件 B“取到的 2 个数均为偶数”，则 P(B|A)()A.15B.37 C
10、.715D.12解析：B 集合 U 中共含有 15 个元素，其中有 8 个奇数，7 个偶数P(A)C28C27C21549105，P(A B)P(B)C27C21521105，P(B|A)PA BPA37.故选 B.3(2018赣州二模)如图，ABCD 是以 O 为圆心、半径为 2 的圆的内接正方形，EFGH 是正方形 ABCD 的内接正方形，且 E、F、G、H 分别为 AB、BC、CD、DA 的中点将一枚针随机掷到圆 O 内，用M 表示事件“针落在正方形 ABCD 内”，N 表示事件“针落在正方形 EFGH 内”，则 P(N|M)()A.1B.22C.12D.14解析：C 由题意，正方形 E
11、FG H 与正方形 A BC D 的边长比为22，面积比为12，P(N|M)12，故选 C.条件概率的求法(1)利用定义，分别求 P(A)和 P(AB)，得 P(B|A)PABPA.这是通用的求条件概率的方法(2)借助古典概型概率公式，先求事件 A 包含的基本事件数 n(A)，再在事件 A 发生的条件下求事件 B 包含的基本事件数，即 n(AB)，得P(B|A)nABnA.考点二 相互独立事件同时发生的概率(子母变式)母题 甲、乙、丙 3 位大学生同时应聘某个用人单位的职位，3 人能被选中的概率分别为25，34，13，且各自能否被选中互不影响(1)求 3 人同时被选中的概率；(2)求 3 人中
12、至少有 1 人被选中的概率解析 记甲、乙、丙能被选中的事件分别为 A，B，C，则 P(A)25，P(B)34，P(C)13.(1)3 人同时被选中的概率P1P(ABC)P(A)P(B)P(C)253413 110.(2)3 人中有 2 人被选中的概率P2P(AB C A B C A BC)2534113 25134 13125 34132360.3 人中只有 1 人被选中的概率P3P(A B C A B C A B C)25134 113 125 34113 125 134 13 512.故 3 人中至少有 1 人被选中的概率为 1102360 512 910.跟踪训练(2019全国卷)11
13、分制乒乓球比赛，每赢一球得 1 分，当某局打成 1010 平后，每球交换发球权，先多得 2 分的一方获胜，该局比赛结束甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为 0.5，乙发球时甲得分的概率为 0.4，各球的结果相互独立在某局双方 1010 平后，甲先发球，两人又打了 X 个球该局比赛结束(1)求 P(X2)；(2)求事件“X4 且甲获胜”的概率解：(1)X2 就是 1010 平后，两人又打了 2 个球该局比赛结束，则这 2 个球均由甲得分，或者均由乙得分因此 P(X2)0.50.4(10.5)(10.4)0.5.(2)X4 且甲获胜，就是 1010 平后，两人又打了 4 个球该局
14、比赛结束，且这 4 个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得 1 分，后两球均为甲得分因此所求概率为0.5(10.4)(10.5)0.40.50.40.1.(1)求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有：利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；正面计算较繁琐或难以入手时，可从其对立事件入手计算，即正难则反的思想方法；(2)已知两个事件 A、B 相互独立，它们的概率分别为 P(A)、P(B)，则有事件表示概率A、B 恰有一个发生(A B)(A B)P(A)P(B)P(A)P(B)A、B 中至少有一个发生(A B)(A B)(AB)P(A)P(B)P(A)P(B)P(A)P(B)A、B 中至多有一个发
15、生(A B)(A B)(A B )P(A)P(B)P(A)P(B)P(A)P(B)考点三 独立重复试验与二项分布(师生共研)典例 甲、乙、丙均两次参加英语高考，取两次成绩中较高的为最终成绩，三人第一次成绩不低于 130 分的概率依次为14、13、12.甲若第一次成绩不低于 130 分，则第二次成绩不低于 130 分的概率为23，若第一次成绩在 130 分以下，则第二次成绩不低于 130 分的概率为13；乙若第一次成绩不低于 130 分，则第二次成绩不低于 130 分的概率为14，若第一次成绩在 130 分以下，则第二次成绩不低于 130 分的概率为12；丙第二次成绩不受第一次成绩的影响，不低于
16、 130 分的概率为23.(1)设 A 为事件“甲的英语高考最终成绩不低于 130 分”，B 为事件“乙的英语高考最终成绩不低于 130 分”，C 为事件“丙的英语高考最终成绩不低于 130 分”，分别求出事件 A、事件 B、事件 C 发生的概率；(2)设甲、乙、丙中英语高考最终成绩不低于 130 分的人数为 X，求 X 的分布列与数学期望解析(1)甲、乙、丙均两次参加英语高考，取两次成绩中较高的为最终成绩，三人第一次成绩不低于 130 分的概率依次为14、13、12.甲若第一次成绩不低于 130 分，则第二次成绩不低于 130 分的概率为23，若第一次成绩在 130 分以下，则第二次成绩不低
17、于 130 分的概率为13；乙若第一次成绩不低于 130 分，则第二次成绩不低于 130 分的概率为14，若第一次成绩在 130 分以下，则第二次成绩不低于 130 分的概率为12；丙第二次成绩不受第一次成绩的影响，不低于 130 分的概率为23.设 A 为事件“甲的英语高考最终成绩不低于 130 分”，事件 A 发生的概率 P(A)14114 1312，B 为事件“乙的英语高考最终成绩不低于 130 分”，事件 B 发生的概率 P(B)13113 1223，C 为事件“丙的英语高考最终成绩不低于 130 分”，事件 C 发生的概率 P(C)12112 2356.(2)设甲、乙、丙中英语高考最
18、终成绩不低于 130 分的人数为 X，则 X 的可能取值为 0,1,2,3，P(X0)P(ABC)121316 136，P(X1)P(ABC A B C A BC)121356122316121316 836，P(X2)P(A BCA B CAB C)1223561213561223161736，P(X3)P(ABC)1223561036，X 的分布列为：X0123P13683617361036数学期望 E(X)0 1361 83621736310362.二项分布的期望与方差(1)如果 B(n，p)，则用公式 E()np；D()np(1p)求解，可大大减少计算量(2)有些随机变量虽不服从二项分
19、布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用 E(ab)aE()b以及 E()np 求出 E(ab)，同样还可求出 D(ab)跟踪训练(2019宜昌市模拟)手机 QQ 中的“QQ 运动”具有这样的功能，不仅可以看自己每天的运动步数，还可以看到朋友圈里好友的步数小明的 QQ 朋友圈里有大量好友参与了“QQ 运动”，他随机选取了其中 30 名，其中男女各 15 名，记录了他们某一天的走路步数，统计数据如表所示：步数性别(0,2 500)2 500,5 000)5 000,7 500)7 500,10 000)10 000，)男02472女13731(1)以样本估计总体，视样
20、本频率为概率，在小明 QQ 朋友圈里的男性好友中任意选取 3 名，其中走路步数低于 7 500 步的有 X 名，求 X 的分布列和数学期望；(2)如果某人一天的走路步数超过 7 500 步，此人将被“QQ 运动”评定为“积极型”，否则为“消极型”根据题意完成下面的22 列联表，并据此判断能否有 95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？积极型消极型总计男女总计附：K2nadbc2abcdacbd.P(K2k0)0.100.050.0250.01k02.7063.8415.0246.635解：(1)在小明的男性好友中任意选取 1 名，其中走路步数低于 7 500 的概率为 61525.X
21、可能取值分别为 0,1,2,3，P(X0)C03250353 27125，P(X1)C13251352 54125，P(X2)C23252351 36125，P(X3)C33253350 8125，X 的分布列为X0123P2712554125361258125则 E(X)0 271251 541252 361253 812565.(2)完成 22 列联表如下：积极型 消极型总计男9615女41115总计131730K2 的观测值 k03091164215151317 7502213.3943.841.据此判断没有 95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关考点四 正态分布(师生共研)典例
22、(1)(2019南宁、柳州联考)甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从正态分布 N(1，21)，N(2，22)，其正态分布密度曲线如图所示，则下列说法错误的是()A甲类水果的平均质量为 0.4 kgB甲类水果的质量分布比乙类水果的质量分布更集中于平均值左右C甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小D乙类水果的质量服从的正态分布的参数 21.99(2)某校在一次月考中约有 600 人参加考试，数学考试的成绩服从正态分布 XN(90，a2)(a0，试卷满分 150 分)，统计结果显示数学考试成绩在 70 分到 110 分之间的人数约为总人数的35，则此次月考中数学考试成绩不低于 110 分的学
23、生约有_人解析(1)由图象可知甲的正态曲线关于直线 x0.4 对称，乙的正态曲线关于直线 x0.8 对称，所以 10.4，20.8，A 项正确，C 项正确由图可知甲类水果的质量分布比乙类水果的质量分布更集中于平均值左右，B 项正确因为乙的正态曲线的最大值为 1.99，即1221.99，所以 21.99，D 项错误故选 D.(2)因为成绩服从正态分布 XN(90，a2)，所以其正态分布曲线关于直线 x90 对称，又因为成绩在 70 分到 110 分之间的人数约为总人数的35，由对称性知成绩在 110 分以上的人数约为总人数的12135 15，所以此次数学考试成绩不低于 110 分的学生约有156
24、00120(人)答案(1)D(2)120(1)利用 3 原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的，进行对比联系，确定它们属于(，)，(2，2)，(3，3)中的哪一个(2)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线 x 对称，及曲线与 x 轴之间的面积为 1.注意下面两个结论的活用：P(Xa)1P(Xa)；P(X)P(X)跟踪训练(1)已知随机变量 服从正态分布 N(2，2)，且 P(4)0.8，则P(04)()A0.6 B0.4C0.3 D0.2(2)(2019广东茂名一模)设 XN(1,1)，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形 ABCD
25、 中随机投掷 10 000 个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是()(注：若 XN(，2)，则 P(X)68.26%，P(2X2)95.44%)A7 539 B6 038C7 028 D6 587解析：(1)由 P(4)0.8，得 P(4)0.2.又正态曲线关于 x2对称则 P(0)P(4)0.2，所以 P(04)1P(0)P(4)0.6.故选 A.(2)因为 XN(1,1)，所以 1，1，2.因为 P(x)68.26%，所以 P(0 x2)68.26%，则 P(0 x1)34.13%，所以阴影部分的面积为 0.658 7.所以正方形 ABCD 中随机投掷 10 000 个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为 6 587，故选 D.答案：(1)A(2)D
