1、高 考 总 复 习 艺考生山东版数学 第3节 圆的方程第七章 平面解析几何最新考纲核心素养考情聚焦掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程1.确定圆的方程，达成直观想象、数学建模和数学运算的素养2.与圆有关的最值，增强数学建模和数学运算的素养3.与圆有关的轨迹问题，提升逻辑推理和数学抽象的素养圆的方程、与圆有关的最值问题、与圆有关的轨迹问题是近几年高考中的热点常与直线、椭圆、抛物线等知识结合考查题型以选择题、填空题，有时以解答题第一题形式出现，一般难度不会太大，属中低档题型，要合理转化，必要时借助几何意义，三角换元求解1圆的定义和圆的方程定义平面内到 定点 的距离等于 定长 的点的轨迹
2、叫做圆标准方程一般方程方程(xa)2(yb)2r2(r0)x2y2DxEyF0(D2E24F0)圆心坐标(a，b)D2，F2半径r12 D2E24F充要条件 D2E24F0 2.点与圆的位置关系平面上的一点 M(x0，y0)与圆 C：(xa)2(yb)2r2 之间存在着下列关系：(1)drM 在圆外，即(x0a)2(y0b)2r2M 在 圆外；(2)drM 在圆上，即(x0a)2(y0b)2r2M 在 圆上；(3)drM 在圆内，即(x0a)2(y0b)2r2M 在 圆内.1.圆的三个性质(1)圆心在过切点且垂直于切线的直线上；(2)圆心在任一弦的中垂线上；(3)两圆相切时，切点与两圆心三点共
3、线2两个圆系方程具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫圆系方程(1)同心圆系方程：(xa)2(yb)2r2(r0)，其中 a，b 为定值，r 是参数；(2)半径相等的圆系方程：(xa)2(yb)2r2(r0)，其中 r 为定值，a，b 是参数思考辨析 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“”，错误的打“”(1)确定圆的几何要素是圆心与半径()(2)方程(xa)2(yb)2t2(tR)表示圆心为(a，b)，半径为 t 的一个圆()(3)方程 x2y24mx2y5m0 表示圆()(4)已知点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以 AB 为直径的圆的方程是(xx1)(xx2)
4、(yy1)(yy2)0.()(5)方程 Ax2BxyCy2DxEyF0 表示圆的充要条件是 AC0，B0，D2E24AF0.()解析：(3)当(4m)2(2)245m0，即 m14或 m1 时才表示圆答案：(1)(2)(3)(4)(5)小题查验1将圆 x2y22x4y10 平分的直线是()Axy10 Bxy30Cxy10 Dxy30解析：C 要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可，圆心坐标为(1,2)A，B，C，D 四个选项中，只有 C 选项中的直线经过圆心2(2019西城区模拟)若坐标原点在圆(xm)2(ym)24 的内部，则实数 m 的取值范围是()A(1,1)B(3，3)C(2，2)D
5、.22，22解析：C(0,0)在(xm)2(ym)24 的内部，则有(0m)2(0m)2 4，解得2 m 2，选 C.3圆(x1)2y22 的圆心到直线 yx3 的距离为()A1 B2 C.2 D2 2解析：C 由题知圆心坐标为(1,0)，将直线 yx3 化成一般形式为 xy30，故圆心到直线的距离 d|103|12122.故选 C.4人教 A 版教材 P124A 组 T4 改编圆 C 的圆心在 x 轴上，并且 过 点A(1,1)和B(1,3)，则 圆C的 方 程 为 _.解析：设圆心坐标为 C(a,0)，点 A(1,1)和 B(1,3)在圆 C 上，|C A|C B|，即a121a129，解
6、得 a2，圆心为 C(2,0)，半径|C A|212110，圆 C 的方程为(x2)2y210.答案：(x2)2y2105(2016高考浙江卷)已知 aR，方程 a2x2(a2)y24x8y5a0 表示圆，则圆心坐标是 _，半径是 _.解析：由二元二次方程表示圆的条件可得 a2a2，解得 a2或1.当 a2 时，方程为 4x24y24x8y100，即 x2y2x2y520，配方得x122(y1)254 0)，由题意可得|2a|5 455，0a252r2，解得 a2，r29，所以圆 C 的方程为(x2)2y29.答案：(x2)2y293圆 C 通过不同的三点 P(k,0)，Q(2,0)，R(0,
7、1)，已知圆 C 在点P 处的切线斜率为 1，则圆 C 的方程为_.解析：设圆 C 的方程为 x2y2DxEyF0，(D2E24F0)则 k,2 为 x2DxF0 的两根，k2D,2kF，即 D(k2)，F2k，又圆过 R(0,1)，故 1EF0.E2k1.故所求圆的方程为 x2y2(k2)x(2k1)y2k0，圆心坐标为k22，2k12.圆 C 在点 P 处的切线斜率为 1，kCP12k12k，k3.D1，E5，F6.所求圆 C 的方程为 x2y2x5y60.答案：x2y2x5y601求圆的方程，一般采用待定系数法(1)若已知条件与圆的圆心和半径有关，可设圆的标准方程(2)若已知条件没有明确
8、给出圆的圆心和半径，可选择设圆的一般方程2在求圆的方程时，常用到圆的以下几个性质(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；(2)圆心在任一弦的垂直平分线上；(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线考点二 与圆有关的最值、范围问题(多维探究)命题角度 1 与圆的几何性质有关的最值 1点 P(1,2)和圆 C：x2y22kx2yk20 上的点的距离的最小值是 _.解析：圆的方程化为标准式为(xk)2(y1)21.圆心 C(k，1)，半径 r1.易知点 P(1,2)在圆外点 P 到圆心 C 的距离为：|PC|k1232 k1293.|PC|min3.点 P 和圆 C 上点的最小距离 dmin|P
9、C|minr312.答案：21与圆相关的最值，若几何意义明显时，可充分利用几何性质，借助几何直观求解，否则可用代数法转化为函数求最值2与圆的几何性质有关的最值(1)记 O 为圆心，圆外一点 A 到圆上距离最小为|AO|r，最大为|AO|r；(2)过圆内一点的弦最长为圆的直径，最短为以该点为中点的弦；(3)记圆心到直线的距离为 d，直线与圆相离，则圆上点到直线的最大距离为 dr，最小距离为 dr；(4)过两定点的所有圆中，面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆命题角度 2 截距型最值问题 2已知实数 x，y 满足方程 x2y24x10，则求 yx 的最大值和最小值直观想象、数学运算直线与圆位置关
10、系应用中的核心素养以直线与圆位置关系的相关知识为基础，借助直线和方程、圆与方程，来解决最值问题，提升了直观想象、数学运算的核心素养具体见下表：信息提取信息解读直观想象、数学运算已知圆的方程 x2y24x10圆心(2,0)，半径3求 yx 的最大值和最小值设 byx，则 yxb，因此 yx 可看作是直线 yxb 在 y轴上的截距直观想象：数形结合，发现当直线 yxb 与圆 x2y24x10 相切时，纵截距b 取得最大值或最小值数学运算：利用点到直线的距 离 公 式得|20b|2 3解：yx 可看作是直线 yxb 在 y 轴上的截距，如图所示，当直线 yxb 与圆相切时，纵截距 b 取得最大值或最
11、小值，此时|20b|2 3，解得 b2 6.所以 yx 的最大值为2 6，最小值为2 6.形如 taxby 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题，利用圆心到直线的距离列不等式即可，也可用三角代换求解命题角度 3 斜率型最值问题 3已知实数 x，y 满足方程 x2y24x10，则yx的最大值为 _，最小值为 _.解析：原方程可化为(x2)2y23，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆.yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yxk，即 ykx.当直线 ykx 与圆相切时，斜率 k 取最大值或最小值(如图)，此时|2k0|k21 3，解得 k 3.所以yx的最大值为 3，最小值为 3.答案：3 3形如 ybxa形式的最值问题，最后都转化为动直线斜率的最值问题命题角度 4 距离型最值问题 4.在命题角度 2条件下求 x2y2 的最大值和最小值解：如图所示，x2y2 表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值又圆心到原点的距离为2020022，所以 x2y2 的最大值是(2 3)274 3，x2y2 的最小值是2 3 274 3.形如(xa)2(yb)2 形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题
