1、1高三单元滚动检测卷数学考生注意：1本试卷分第卷(填空题)和第卷(解答题)两部分，共 4 页2答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上3本次考试时间 120 分钟，满分 160 分4请在密封线内作答，保持试卷清洁完整单元检测八 立体几何与空间向量 第卷一、填空题(本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分请把答案填在题中横线上)1已知、是两个不同的平面，给出下列四个条件：存在一条直线 a，a，a；存在一个平面，；存在两条平行直线 a、b，a，b，a，b；存在两条异面直线 a、b，a，b，a，b，可以推出 的是_2.如图，已知六棱锥 PABCD
2、EF 的底面是正六边形，PA平面 ABC，PA2AB，则下列结论中：PBAE；平面 ABC平面 PBC；直线 BC平面 PAE；PDA45.其中正确的有_(把所有正确的序号都填上)3l1，l2，l3 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是_l1l2，l2l3l1l3l1l2，l2l3l1l3l1l2l3l1，l2，l3 共面l1，l2，l3 共点l1，l2，l3 共面4设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为 a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为_5.如图所示，在正方体 AC1 中，E，F 分别是 AB 和 AA1 的中点，给出下列说法：2E，C，D1，F 四点共面；CE，D1F，DA 三
3、线共点；EF 和 BD1 所成的角为 45；A1B平面 CD1E；B1D平面 CD1E，其中，正确说法的个数是_6(2015郑州第二次质量预测)设，是三个互不重合的平面，m，n 是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是_若，则；若，m，则 m；，m，m，则 m；m，n，则 mn.7.如图，侧棱长为 2 3的正三棱锥 VABC 中，AVBBVCCVA40，过 A 作截面AEF，则截面AEF 的周长的最小值为_8已知矩形 ABCD 的面积为 8，当矩形周长最小时，沿对角线 AC 把ACD 折起，则三棱锥DABC 的外接球的表面积等于_9(2015无锡模拟)如图，边长为 a 的等边三角形 ABC 的
4、中线 AF 与中位线 DE 交于点 G，已知ADE 是ADE 绕 DE 旋转过程中的一个图形，则下列命题中正确的是_动点 A在平面 ABC 上的射影在线段 AF 上；BC平面 ADE；三棱锥 AFED的体积有最大值10(2015成都模拟)如图，在棱长为 4 的正方体 ABCDABCD中，E，F 分别是 AD，AD的中点，长为 2 的线段 MN 的一个端点 M 在线段 EF 上运动，另一个端点 N 在底面ABCD上运动，则线段 MN 的中点 P 的轨迹(曲面)与二面角 AADB所围成的几何体的体积为_311(2015宁夏银川一中模拟)已知直线 l，m，平面，且 l，m，给出下列四个命题：若，则
5、lm；若 lm，则；若，则 lm；若 lm，则.其中为真命题的序号是_12如图所示，四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是边长为 a 的正方形，侧棱 PAa，PBPD 2a，则它的 5 个面中，互相垂直的面有_对13一个圆锥的侧面展开图是圆心角为43，半径为 18 cm 的扇形，则圆锥母线与底面所成角的余弦值为_14(2015成都二诊)已知单位向量 i，j，k 两两所成夹角均为(0，且 2)，若空间向量 axiyjzk(x，y，zR)，则有序实数组(x，y，z)称为向量 a 在“仿射”坐标系 Oxyz(O 为坐标原点)下的“仿射”坐标，记作 a(x，y，z).有下列命题：已知 a(2,0，1
6、)，b(1,0,2)，则 ab0；已知 a(x，y,0)3，b(0,0，z)3，其中 xyz0，则当且仅当 xy 时，向量 a，b 的夹角取得最小值；已知 a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，则 ab(x1x2，y1y2，z1z2)；已知 O A(1,0,0)3，O B(0,1,0)3，O C(0,0,1)3，则三棱锥 OABC 的体积 V 212.其中真命题有_(写出所有真命题的序号)4第卷二、解答题(本大题共 6 小题，共 90 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15(14 分)(2015扬州模拟)如图，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，E，M，N 分别是
7、AA1，CD，CB 的中点，求证：(1)MNB1D1；(2)AC1平面 EB1D1.16(14 分)如图所示，已知四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是等腰梯形，且 ABCD，O 是AB 的中点，PO平面 ABCD，POCDDA12AB4，M 是 PA 的中点(1)证明：平面 PBC平面 ODM；(2)求平面 PBC 与平面 PAD 所成锐二面角的余弦值17.(14 分)如图，三棱柱 ABCA1B1C1 中，侧棱垂直于底面，ACB90，ACBC12AA1，D 是棱 AA1 的中点(1)证明：平面 BDC1平面 BDC；(2)平面 BDC1 分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比518(16 分
8、)(2015云南第二次统测)如图，在三棱锥 PABC 中，底面 ABC 是边长为 4 的正三角形，PAPC2 3，侧面 PAC底面 ABC，M，N 分别为 AB，PB 的中点(1)求证：ACPB；(2)求二面角 NCMB 的余弦值19.(16 分)(2015北京朝阳区期末)如图，在三棱锥 PABC 中，PA平面 ABC，ABAC.(1)求证：ACPB；(2)设 O，D 分别为 AC，AP 的中点，点 G 为OAB 内一点，且满足 OG13(O AO B)，求证：DG平面 PBC；(3)若 ABAC2，PA4，求二面角 APBC 的余弦值20.(16 分)(2014安徽)如图，四棱柱 ABCDA
9、1B1C1D1 中，A1A底面 ABCD.四边形 ABCD 为梯形，ADBC，且 AD2BC.过 A1，C，D 三点的平面记为，BB1 与 的交点为 Q.(1)证明：Q 为 BB1 的中点；(2)求此四棱柱被平面 所分成上、下两部分的体积之比；(3)若 AA14，CD2，梯形 ABCD 的面积为 6，求平面 与底面 ABCD 所成二面角的大小6答案解析1解析 对于，平面 与 还可以相交；对于，当 ab 时，不一定能推出，所以是错误的，易知正确2解析 由 PA平面 ABC，AE平面 ABC，得 PAAE，又由正六边形的性质得 AEAB，PAABA，得 AE平面 PAB，又 PB平面 PAB，AE
10、PB，正确；平面 PAD平面 ABC，平面 ABC平面 PBC 不成立，错；由正六边形的性质得 BCAD，又 AD平面 PAD，BC平面 PAD，BC平面 PAD，直线 BC平面 PAE 也不成立，错；在 RtPAD 中，PAAD2AB，PDA45，正确3解析 对于，通过常见的图形正方体，从同一个顶点出发的三条棱两两垂直，得到错；对于，l1l2，l1，l2 所成的角是 90，又l2l3，l1，l3 所成的角是 90，l1l3 得到对；对于，例如三棱柱中的三侧棱平行，但不共面，故错；对于，例如三棱锥的三侧棱共点，但不共面，故错4.73a2解析 根据题意条件可知三棱柱是棱长都为 a 的正三棱柱，上
11、下底面中心连线的中点就是球心，则其外接球的半径为 Ra22a2sin 602712a2，球的表面积 S4R247a212 73a2.53解析 EFCD1，E，C，D1，F 四点共面，故正确；CE 与 D1F 相交，交点在 DA 上，7CE，D1F，DA 三线共点，故正确；EF 和 BD1 所成的角即为 A1B 和 BD1 所成的角，其正切值为 22，故错误；A1BCD1，A1B面 CD1E，A1B平面 CD1E，故正确；B1DAC，B1D 不垂直于 EC，B1D 不垂直于平面 CD1E，故错误6解析 错，两平面可平行；错，直线可在平面内；正确，符合线面平行的判定定理条件；错，两直线可平行，综上
12、可知正确76解析 沿着侧棱 VA 把正三棱锥 VABC 展开在一个平面内，如图，则 AA即为截面AEF 周长的最小值，且AVA340120.在VAA中，由余弦定理可得 AA6，故答案为 6.816解析 设矩形的两邻边长度分别为 a，b，则 ab8，此时 2a2b4 ab8 2，当且仅当 ab2 2时等号成立，此时四边形 ABCD 为正方形，其中心到四个顶点的距离相等，均为 2，无论怎样折叠，其四个顶点都在一个半径为 2 的球面上，这个球的表面积是 42216.9解析 中由已知可得面 AFG面 ABC，点 A在面 ABC 上的射影在线段 AF 上BCDE，根据线面平行的判定定理可得 BC平面 A
13、DE.当面 ADE面 ABC 时，三棱锥 AFDE 的体积达到最大10.3解析 连结 FN，PF，8MF平面 ABCD，MFNF，又点 P 为 MN 的中点，PF12MN1，即得点 P 的轨迹为以点 F 为球心，半径为 1 的球在二面角 AADB内的部分，即为球的14，其体积 V1443133.11解析 正确，因为 l，l，又 m，故 lm；错，当两平面相交且交线为直线 m 时也满足题意；错，各种位置关系均有可能；正确，l，lmm，又 m，所以，综上可知命题为真命题125解析 底面 ABCD 是边长为 a 的正方形，侧棱 PAa，PBPD 2a，可得 PA底面 ABCD，PA平面 PAB，PA
14、平面 PAD，可得：平面 PAB平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCD；AB平面 PAD，可得平面 PAB平面 PAD；BC平面 PAB，可得平面 PAB平面 PBC；CD平面 PAD，可得平面 PAD平面 PCD.13.23解析 设母线长为 l，底面半径为 r，则依题意易知 l18 cm，由 2rl，代入数据即可得 r12 cm，因此所求角的余弦值即为rl121823.14解析 对，a2ik，bi2k，9则 ab(2ik)(i2k)23ik23cos，当且仅当 2时，3cos 0，故错误；如图所示在正方体中设 OA，OB，OC 分别为 x，y，z 轴，若 a(x，y,0)，b(0,0，z
15、)，则当且仅当在平面 AOB 中存在点 D 使 CD平面 AOB 时，a，b 的夹角最小，此时，xy0，故错误；由题意 ax1iy1jz1k，bx2iy2jz2k，所以 abx1iy1jz1k(x2iy2jz2k)(x1x2)i(y1y2)j(z1z2)k，故正确；如图所示，正方体的边长为 22，三棱锥 OABC 为边长为 1 的正四面体，其体积为(22)31312(22)2 22 4 212，故正确15证明(1)M，N 分别是 CD，CB 的中点，MNBD.又BB1 綊 DD1，四边形 BB1D1D 是平行四边形BDB1D1.又 MNBD，从而 MNB1D1.(2)方法一 连结 A1C1，A
16、1C1 与 B1D1 交于 O 点，连结 OE.四边形 A1B1C1D1 为平行四边形，则 O 点是 A1C1 的中点，E 是 AA1 的中点，EO 是AA1C1 的中位线，EOAC1，AC1平面 EB1D1，EO平面 EB1D1，所以 AC1平面 EB1D1.10方法二 取 BB1 中点为 H 点，连结 AH，C1H，EH，E，H 点分别为 AA1，BB1 中点，EH 綊 C1D1，则四边形 EHC1D1 是平行四边形，ED1HC1，又 HC1平面 EB1D1，ED1平面 EB1D1，HC1平面 EB1D1.又EA 綊 B1H，则四边形 EAHB1 是平行四边形，EB1AH，又 AH平面 E
17、B1D1，EB1平面 EB1D1，AH平面 EB1D1.AHHC1H，平面 AHC1平面 EB1D1.而 AC1平面 AHC1，AC1平面 EB1D1.16(1)证明 因为 O，M 分别为 AB，AP 的中点，所以 OMPB.又因为 PB平面 ODM，OM平面 ODM，所以 PB平面 ODM.因为 CD12AB，O 为 AB 的中点，所以 CDBO，又因为 CDAB，所以四边形 OBCD 为平行四边形，所以 BCOD.又因为 BC平面 ODM，OD平面 ODM，所以 BC平面 ODM.因为 BCPBB，DOOMO，所以平面 PBC平面 ODM.(2)解 方法一 延长 AD，BC 交于点 E，连
18、结 PE，则平面 PBC平面 PADPE.易知 PBPA，EBEA，PEPE，所以PBE 与PAE 全等过点 A 作 AQPE 于点 Q，连结 BQ，则 BQPE，由二面角定义可知，AQB 为所求角或其补角易求得 PE8，AE8，PA4 2，11由等积法求得 AQ2 7BQ，所以 cosAQBAQ2BQ2AB22AQBQ 28286422 72 7170，所以所求角为 AQB，所以 cos(AQB)17，因此平面 PBC 与平面 PAD 所成锐二面角的余弦值为17.方法二 以 O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系则 P(0,0,4)，B(4,0,0)，A(4,0,0)，C(2，2 3，0)
19、，D(2，2 3，0)因为PB(4,0，4)，BC(2，2 3，0)，所以易求得平面 PBC 的一个法向量 n1(3，1，3)又PA(4,0，4)，AD(2，2 3，0)，所以易求得平面 PAD 的一个法向量 n2(3，1，3)设 为平面 PBC 与平面 PAD 所成的锐二面角，则 cos|3 311 3 3|313 31317，所以平面 PBC 与平面 PAD 所成锐二面角的余弦值为17.17(1)证明 由题设知 BCCC1，BCAC，CC1ACC，BC平面 ACC1A1.又DC1平面 ACC1A1，DC1BC.由题设知A1DC1ADC45，CDC190，即 DC1DC.又DCBCC，DC1
20、平面 BDC.又DC1平面 BDC1，平面 BDC1平面 BDC.12(2)解 设棱锥 BDACC1 的体积为 V1，AC1.由题意得 V113122 1112.三棱柱 ABCA1B1C1 的体积 V1，(VV1)V111.平面 BDC1 分此棱柱所得两部分体积的比为 11.18(1)证明 取 AC 的中点 O，连结 OP，OB.PAPC，ABCB，ACPO，ACOB.又平面 PAC平面 ABC，且 AC 是平面 PAC 与平面 ABC 的交线，PO平面 PAC，PO平面 ABC.如图所示建立空间直角坐标系 Oxyz，由已知得 A(2,0,0)，B(0,2 3，0)，C(2,0,0)，P(0,
21、0,2 2)，M(1，3，0)，N(0，3，2)AC(4,0,0)，P B(0,2 3，2 2)，ACP B0，A CP B.ACPB.(2)解 CM(3，3，0)，MN(1,0，2)，设 n(x，y，z)为平面 CMN 的法向量，则CMn3x 3y0，M Nnx 2z0，取 z1，得 x 2，y 6.n(2，6，1)为平面 CMN 的一个法向量又O P(0,0,2 2)为平面 MBC 的一个法向量，设二面角 NCMB 的大小等于，由已知得二面角 NCMB 是锐角，cos nO P|n|O P|13.二面角 NCMB 的余弦值等于13.19(1)证明 因为 PA平面 ABC，AC平面 ABC，
22、13所以 PAAC.又因为 ABAC，且 PAABA，所以 AC平面 PAB.又因为 PB平面 PAB，所以 ACPB.(2)证明 方法一 因为 PA平面 ABC，所以 PAAB，PAAC.又因为 ABAC，所以以 A 为原点，分别以 AC，AB，AP 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz.设 AC2a，ABb，PA2c，则 A(0,0,0)，B(0，b,0)，C(2a,0,0)，P(0,0,2c)，D(0,0，c)，O(a,0,0)，又因为 OG13(O AO B)，所以 G(a3，b3，0)，于是 DG(a3，b3，c)，B C(2a，b,0)，P B
23、(0，b，2c)设平面 PBC 的一个法向量 n(x0，y0，z0)，则有nB C0nP B0，即2ax0by00，by02cz00.不妨设 z01，则有 y02cb，x0ca，所以 n(ca，2cb，1)因为 nDG(ca，2cb，1)(a3，b3，c)caa32cb b31(c)0，所以 nDG，又因为 DG平面 PBC，所以 DG平面 PBC.方法二 取 AB 中点 E，连结 OE，则 O E12(O AO B)14由已知 OG13(O AO B)可得 OG23O E，则点 G 在 OE 上连结 AG，并延长交 CB 于点 F，连结 PF.因为 O，E 分别为 AC，AB 的中点，所以
24、OEBC，即 G 为 AF 的中点，又因为 D 为线段 PA 的中点，所以 DGPF.又 DG平面 PBC，PF平面 PBC，所以 DG平面 PBC.(3)解 由(2)可知平面 PBC 的一个法向量 n(ca，2cb，1)(2,2,1)又因为 AC平面 PAB，所以面 PAB 的一个法向量是 A C(2,0,0)又 cosn，A C nA C|n|A C|43223，由图可知，二面角 APBC 为锐角，所以二面角 APBC 的余弦值为23.20(1)证明 因为 BQAA1，BCAD，BCBQB，ADAA1A，所以平面 QBC平面 A1AD.从而平面 A1CD 与这两个平面的交线相互平行，即 Q
25、CA1D.故QBC 与A1AD 的对应边相互平行，于是QBCA1AD.所以BQBB1BQAA1BCAD12，即 Q 为 BB1 的中点(2)解 如图(1)，连结 QA，QD，设 AA1h，梯形 ABCD 的高为 d，四棱柱被平面 所分成上下两部分的体积分别为 V 上和 V 下，BCa，则 AD2a.图(1)VQA1AD13122ahd13ahd，15VQABCD13a2a2d(12h)14ahd，所以 V 下VQA1ADVQABCD 712ahd，又 V 四棱柱 A1B1C1D1ABCD32ahd，所以 V 上V 四棱柱 A1B1C1D1ABCDV 下32ahd 712ahd1112ahd.故
26、 V 上V 下117.(3)解 方法一 如图(1)，在ADC 中，作 AEDC，垂足为 E，连结 A1E.又 DEAA1，且 AA1AEA，所以 DE平面 AEA1，于是 DEA1E.所以AEA1 为平面 与底面 ABCD 所成二面角的平面角因为 BCAD，AD2BC，所以 SADC2SBCA.又因为梯形 ABCD 的面积为 6，DC2，所以 SADC4，AE4.于是 tanAEA1AA1AE 1，AEA14.故平面 与底面 ABCD 所成二面角的大小为4.方法二 如图(2)，以 D 为坐标原点，DA，DD1 分别为 x 轴和 z 轴正方向建立空间直角坐标系设CDA，BCa，图(2)则 AD2a，因为 S 梯形 ABCDa2a22sin 6，所以 a 2sin.从而 C(2cos，2sin，0)，A1(4sin，0,4)，16所以DC(2cos，2sin，0)，DA1(4sin，0,4)，设平面 A1DC 的一个法向量 n(x，y,1)，由DA1 n 4sin x40，DC n2xcos 2ysin 0，得 xsin，ycos，所以 n(sin，cos，1)又因为平面 ABCD 的一个法向量 m(0,0,1)，所以 cosn，m nm|n|m|22，故平面 与底面 ABCD 所成二面角的大小为4.
