1、3.2 函数的基本性质 3.2.1 单调性与最大(小)值 第1课时 函数的单调性 第三章 函数的概念与性质 学 习 任 务核 心 素 养1理解函数的单调性及其几何意义，能运用函数图象理解和研究函数的单调性(重点、难点)2会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性(难点)3会求一些具体函数的单调区间(重点)1借助单调性的证明，培养逻辑推理素养2利用求单调区间及应用单调性解题，培养直观想象和数学运算素养.情境导学探新知 NO.1德国心理学家艾宾浩斯曾经对记忆保持量进行了系统的实验研究，并给出了类似下图所示的记忆规律如果我们以 x 表示时间间隔(单位：h)，y 表示记忆保持量，则不难看出，图
2、中，y 是 x 的函数，记这个函数为 yf(x)这个函数反映出记忆具有什么规律？我们用数学语言如何描述该规律？知识点 1 增函数与减函数的定义函数增函数减函数图示设函数 f(x)的定义域为 I，区间 DI：如果x1，x2D，当x1x2 时，条件都有_都有_结论f(x)在区间 D 上单调_f(x)在区间 D 上单调_f(x1)f(x2)递增递减在增函数和减函数定义中，能否把“任意 x1，x2I”改为“存在 x1，x2I”？举例说明提示 不能如对于函数 yx2，存在42，且(4)222，但 yx2 不是增函数增减函数定义中 x1，x2 的三个特征(1)任意性，即“任意取 x1，x2”中“任意”二字
3、绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；(2)有大小，通常规定 x1x2；(3)属于同一个单调区间1.思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)所有的函数在定义域上都具有单调性()(2)若函数 yf(x)在定义域上有 f(1)f(1)()答案(1)(2)(3)知识点 2 函数的单调性与单调区间如果函数 yf(x)在区间 D 上_，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间 D 叫做 yf(x)的_单调递增或单调递减单调区间对函数单调性的理解(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定
4、义域则只能开(2)单调区间 D定义域 I.(3)遵循最优原则，单调区间应尽可能大C 由图可知，函数 yf(x)的单调递增区间为3,1，选 C.2.函数 yf(x)的图象如图所示，其单调递增区间是()A4,4B4，31,4C3,1D3,4(，0)和(0，)结合 y1x的图象可知，y1x的递减区间是(，0)和(0，)3.函数 y1x的单调递减区间是_合作探究释疑难 NO.2类型1 函数单调性的判定与证明 类型2 求函数的单调区间 类型3 函数单调性的应用 类型 1 函数单调性的判定与证明【例 1】(对接教材 P79 例题)证明函数 f(x)x1x在区间(0,1)上是单调递减证明 设 x1，x2 是
5、区间(0,1)上的任意两个实数，且 x1x2，则 f(x1)f(x2)x11x1 x21x2(x1x2)1x11x2(x1x2)x2x1x1x2(x1x2)1 1x1x2 x1x21x1x2x1x20 x1x21，x1x20,0 x1x21，则1x1x20，即 f(x1)f(x2)，f(x)x1x在区间(0,1)上是单调递减利用定义证明函数单调性的步骤(1)取值：设 x1，x2 是该区间内的任意两个值，且 x1x21，则 f(x1)f(x2)2x112x212x2x1x11x21，因为 x1x21，所以 x2x10，x210，所以 f(x1)f(x2)，所以 f(x)在区间(1，)上单调递减类
6、型 2 求函数的单调区间【例 2】求下列函数的单调区间，并指出该函数的单调性(1)f(x)1x；(2)f(x)2x1，x1，5x，x1；(3)f(x)x22|x|3.解(1)函数 f(x)1x的单调区间为(，0)，(0，)，其在(，0)，(0，)上都是单调递增的(2)当 x1 时，f(x)是增函数，当 x1 时，f(x)是减函数，所以 f(x)的单调区间为(，1)，1，)，并且函数 f(x)在区间(，1)上是单调递减，在1，)上单调递增(3)因为 f(x)x22|x|3x22x3，x0，x22x3，x0.根据解析式可作出函数的图象如图所示，由图象可知，函数 f(x)的单调区间为(，1，(1,0
7、)，0,1)，1，)f(x)在区间(，1，0,1)上单调递增，在区间(1,0)，1，)上单调递减求函数单调区间的方法(1)利用基本初等函数的单调性，如本例(1)和(2)，其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解(2)利用函数的图象，如本例(3)提醒：若所求出函数的单调增区间或单调减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“，”隔开，如本例(3)跟进训练2(1)根据如图所示，写出函数在每一单调区间上函数的单调性；(2)写出 y|x22x3|的单调区间解(1)函数在1,0，2,4上单调递减，在0,2，4,5上单调递增(2)先画出f(x)x22x3，x3，x22x3，1x3 的图象，如图
8、所以 y|x22x3|的减区间为(，1，1,3；增区间为1,1，3，)类型 3 函数单调性的应用【例 3】(1)若函数 f(x)x22(a1)x3 在区间(，3上单调递增，则实数 a 的取值范围是_(2)已知函数 yf(x)是(，)上的增函数，且 f(2x3)f(5x6)，则实数 x 的取值范围为_(1)决定二次函数单调性的因素有哪些？由此思考该因素与区间(，3存在怎样的数量关系？(2)若 f(x)是定义域上的单调函数，且 f(a)f(b)，由此我们能得出变量 a，b 的大小关系吗，同样思考如何得出该例(2)中变量 2x3 与 5x6 的大小关系？(1)(，4(2)(，1)(1)f(x)x22
9、(a1)x3 的开口向下，要使 f(x)在区间(，3上单调递增，只需(a1)3，即 a4.实数 a 的取值范围为(，4(2)f(x)在(，)上是增函数，且 f(2x3)f(5x6)，2x35x6，即 x0，5x60，2x332.x 的取值范围为32，.函数单调性的应用(1)函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围(2)若一个函数在区间a，b上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的跟进训练3(1)若 f(x)在 R 上是减函数，则 f(1)与 f(a21)之间有()Af(1)f(a21)Bf(1)f(
10、a21)Cf(1)f(a21)Df(1)f(a21)(2)若 f(x)是在区间0，)上单调递增，则不等式 f(x)1，且 f(x)为 R 上的减函数，f(a21)f(1)故选 B.(2)f(x)是定义在区间0，)上单调递增，且 f(x)f(2x8)，x0，2x80，x2x8，解得 x0，x4，x83，即 0 x83，所以不等式的解集为0，83.当堂达标夯基础 NO.31 2 3 4 5 ABD 由题图可知，f(x)在区间3,1，4,5上单调递减，单调区间不可以用并集“”连接，故 C 错误，其余选项均正确1(多选)如图是定义在区间5,5上的函数 yf(x)，则下列关于函数 f(x)的说法正确的是
11、()A函数在区间5，3上单调递增B函数在区间1,4上单调递增C函数在区间3,14,5上单调递减D函数在区间5,5上没有单调性1 2 3 4 5 D 函数 y1x 在区间(0，)上单调递减，其余函数在(0，)上单调递增，故选 D.2下列函数中，在区间(0，)上单调递减的是()Ay1xByxCyx2Dy1x1 2 3 4 5 C 函数 f(x)x22bx2 的图象是开口向上，且以直线 xb 为对称轴的抛物线，若函数 f(x)x22bx2 在区间3，)上单调递增，则 b3，故选 C.3如果函数 f(x)x22bx2 在区间3，)上单调递增，则 b的取值范围为()Ab3 Bb3Cb3Db31 2 3
12、4 5，12 由 2k10 得 k12.4若 y(2k1)xb 是 R 上的减函数，则实数 k 的取值范围为_5 1 2 3 4(2,1)f(x)是定义在 R 上的增函数，且 f(x22)f(x)，x22x，即 x2x20，解得2x1.x 的取值范围是(2,1)5已知 f(x)是定义在 R 上的增函数，且 f(x22)0，能否判定 f(x)在 D 上的单调性？提示 能，增函数2到目前为止，判定函数单调性的方式有哪些？提示 定义法、图象法和基本初等函数法3证明一个函数的单调性常有哪些步骤？提示 一般遵循：设元、作差、变形、判号和下结论4在应用函数单调性解题时应注意什么？提示 已知函数单调性求参数的范围时，要树立两种意识：一是等价转化意识，如 f(x)在 D 上递增，则 f(x1)f(x2)x1x2.二是数形结合意识，如处理一(二)次函数及反比例函数中的含参数的范围问题点击右图进入 课 后 素 养 落 实 谢谢观看 THANK YOU!
