1、2.3 离散型随机变量的均值与方差2.3.1 离散型随机变量的均值目标定位重点难点1.理解离散型随机变量的均值的含义2利用离散型随机变量的均值解决实际问题.重点：离散型随机变量的均值的含义难点：利用离散型随机变量的均值解决实际问题.1离散型随机变量的均值(或数学期望)若离散型随机变量X的分布列为则称_为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平Xx1x2xixnPp1p2pipnE(X)x1p1x2p2xipixnpn2离散型随机变量均值的性质若X为随机变量，YaXb(a，b为常数)也是随机变量且E(Y)_.3两点分布的均值如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)_.4二
2、项分布的均值若XB(n，p)，则E(X)_.aE(X)bpnp1已知 的分布列为1012P14381418则 的均值为()A0B1 C18D14【答案】D2若随机变量 X 服从二项分布 B4，13，则 E(X)的值为()A43 B83C133D89【答案】A3(2017 年大庆模拟)已知 X 的分布列为X101P121316设 Y2X3，则 E(Y)的值为()A1 B1 C.73 D4【答案】C4对某个数学题，甲解出的概率为23，乙解出的概率为34，两人独立解题记 X 为解出该题的人数，则 E(X)_.【答案】1712【例1】由于电脑故障，使得随机变量X的分布列中部分数据丢失(以代替)，其表如
3、下：(1)求P(X3)及P(X5)的值；(2)求E(X)；(3)若2XE(X)，求E()离散型随机变量的均值X123456P0.200.100.50.100.10.20【解题探究】利用分布列的性质及离散型随机变量的均值的定义求解【解析】(1)由分布列的性质，可知0200.100.50.100.1 0.201.故 0.50.1 0.40.由于小数点后只有两位有效数字，故 0.1 中 处应填 5；0.5 中的 的数字为 2，即 P(X3)0.25，P(X5)0.15.(2)E(X)10.2020.1030.2540.150.1560.203.50.(3)方法一，由 E()2E(X)E(X)E(X)
4、，得E()E(X)3.50.方法二，由于 2XE(X)，的分布列如下1.50.52.54.56.58.5P0.200.100.250.100.150.20E()1.50.200.50.102.50.254.50.106.50.158.50.203.50.8求离散型随机变量的期望的关键是确定随机变量的所有的可能性，写出随机变量的分布列，正确运用公式进行计算1为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名从这8名运动员中随机选择4人参加比赛(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子
5、选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列及均值E(X)【解析】(1)由已知得 P(A)C22C23C23C23C48 635，事件 A 发生的概率为 635.(2)随机变量 X 的所有可能取值为 1,2,3,4.P(Xk)Ck5C4k3C48(k1,2,3,4)随机变量 X 的分布列为X1234P1143737114E(X)1 1142373374 11452.【例2】某运动员投篮命中率为p0.6.(1)求投篮1次时命中次数X的数学期望；(2)求重复5次投篮时，命中次数Y的数学期望.【解题探究】(1)利用二点分布求解.(2)利用二项
6、分布的数学期望公式求解.二项分布与两点分布的均值【解析】(1)投篮 1 次，命中次数 X 的分布列如下表：则 E(X)0.6.(2)由题意，重复 5 次投篮，命中的次数 Y 服从二项分布，即 YB(5,0.6)，则 E(Y)np50.63.8(1)设p为一次试验中成功的概率，则两点分布E(X)p；二项分布E(X)np.熟练应用上述公式可大大减少运算量，提高解题速度.(2)两点分布与二项分布的相同点：一次试验中要么发生，要么不发生.不同点：随机变量的取值不同，两点分布随机变量的取值为0,1，二项分布中随机变量的取值x0,1,2，n；试验次数不同，两点分布一般只有一次试验；二项分布则进行n次试验.
7、2甲、乙两人各进行 3 次射击，甲每次击中目标的概率为12，乙每次击中目标的概率为23.记甲击中目标的次数为，乙击中目标的次数为.(1)求 的分布列；(2)求 和 的数学期望【解析】(1)P(0)C0312318，P(1)C1312338，P(2)C2312338，P(3)C3312318.的分布列为0123P18383818(2)由题意，可得 B3，12，B3，23.E()312321.5，E()3232.【例3】某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的分布列为商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为3
8、00元表示经销一件该商品的利润离散型随机变量均值的应用12345P0.40.20.20.10.1(1)求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P(A)；(2)求的分布列及数学期望E()【解题探究】(1)利用其对立事件求解(2)先列出的取值及其对应的概率，再求解即可【解析】(1)由题意，可知每一位顾客不采用 1 期付款的概率为 0.6.记 A 的对立事件“购买该商品的 3 位顾客中，都不采用 1 期付款”为 A，则P(A)0.630.216，P(A)1P(A)0.784.(2)由题意，可知 可以取 200,250,300，分布列如下200250300P0.40.40.2
9、E2000.42500.43000.2240.8(1)均值在实际生活中有着广泛的应用，如对体育比赛的成绩预测，消费预测，工程方案的预测，产品合格率的预测，投资收益的预测等方面，都可以通过随机变量的期望来进行估计.(2)概率模型的解答步骤：审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些.确定随机变量的分布列，计算随机变量的期望.对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论.3某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元现需决策在购买机器时应同时
10、购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概率，记 X 表示 2 台机器三年内共需要更换的易损零件数，n 表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数(1)求 X 的分布列；(2)若要求 P(Xn)0.5，确定 n 的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在 n19 与 n20 之中选其一，应选用哪个？【解析】由柱状图并以频率代替概率可得一台机器在三年内需更换的易损零件数为 8,9,10,11 的概率分别为 0.2,0.4,0.2,0.2.所以
11、P(X16)0.20.20.04，P(X17)20.20.40.16，P(X18)20.20.20.40.40.24，P(X19)20.20.220.40.20.24，P(X20)20.20.40.20.20.2，P(X21)20.20.20.08，P(X22)0.20.20.04.所以 X 的分布列为X16171819202122P0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04(2)由(1)知 P(X18)0.44，P(X19)0.68，所以 n 的最小值为 19.(3)记 Y 表示 2 台机器在购买易损零件上所需的费用当 n19 时，E(Y)192000.68(1920
12、0500)0.2(192002500)0.08(192003500)0.044 040(元)当 n20 时，E(Y)202000.88(20200500)0.08(202002500)0.044 080(元)因为 4 0404 080，所以应选 n19.未正确理解随机变量取值的意义致错【示例】某人进行一项试验，若试验成功，则停止试验，若试验失败，再重新试验一次，若试验 3 次均失败，则放弃试验若此人每次试验成功的概率为23，求此人试验次数 的期望错解：试验次数 的可能取值为 1,2,3，P(1)23，P(2)132329，P(3)131323 227，所以 的分布列为123P2329227所以
13、 E()43.错因分析：上述解答错误的主要原因是没有明确随机变量 取值的意义，1 表示第一次试验就成功，2 表示第一次失败，第二次成功，由于实验最多进行 3 次，所以 3 表示前两次失败，第三次可能成功也可能失败上述错误也可以利用分布列的性质：(1)pi0(i1,2,3，n)，(2)i1npi1 来检验P(1)P(2)P(3)26271.正解：试验次数 的可能取值为 1,2,3，P(1)23，P(2)132329，P(3)13132313 19.所以 的分布列为123P232919E()139.警示：在求随机变量取各值的概率时，务必理解各取值的实际意义，以免失误1对于离散型随机变量的均值，要理
14、解随机变量的均值E是一个数值，是随机变量本身所固有的一个数学特征，它不具有随机性，反映的是随机变量取值的平均水平2求随机变量的期望关键是写出分布列，一般分为四步：(1)确定的可能取值；(2)计算出P(k)；(3)写出分布列；(4)利用E的计算公式计算E.3求两点分布的均值方法：先确定p的值，再用公式EXp得均值4求二项分布的均值方法：先确定B(n，p)中的n的值和p的值，再利用公式EXnp求解5随机变量的线性函数ab(其中a，b是常数)的期望等于该随机变量的期望的线性函数，即EaEb.1设X是离散型随机变量，E(X)3，Y2X4，则E(Y)()A10B4C3D2【答案】A【解析】E(Y)2E(
15、X)410.2.(2020 年乌鲁木齐模拟)口袋中有编号分别为 1,2,3 的三个大小和形状完全相同的小球，从中任取 2 个，则取出的球的最大编号 X 的期望为()A.13B.23C.2D.83【答案】D【解析】因为口袋中有编号分别为 1,2,3 的三个大小和形状完全相同的小球，从中任取 2 个，所以取出的球的最大编号 X 的可能取值为 2,3，所以 P(X2)1C2313，P(X3)C12C11C23 23，所以E(X)21332383.3.(2019 年杭州模拟)4 月 23 日是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了 100 名
16、学生对其课外阅读时间进行调查根据调查结果估计知道，从该校学生中任意抽取 1 名学生恰为读书迷的概率是 p25.现在从该校大量学生中，用随机抽样的方法每次抽取 1 人，共抽取 3 次，记被抽取的 3 人中的“读书迷”的人数为 X.若每次抽取的结果是相互独立的，则期望 E(X)为()A.25B.45C.65D.85【答案】C【解析】由题意得 X 服从二项分布，即 XB(3,25)，则E(X)=325=65.故选 C.4（多空题）设随机变量 Z 的概率分布表为Z123P0.5xy若 E(Z)158，则 x_，y_.【答案】18 38【解析】由条件有xy0.5，0.52x3y158，解得x18，y38.
