1、第一讲等差数列、等比数列研热点(聚焦突破)类型一 等差、等比数列的基本运算例1(2012年高考山东卷)在等差数列an中,a3a4a584,a973.(1)求数列an的通项公式;(2)对任意mN*,将数列an中落入区间(9m,92m)内的项的个数记为bm,求数列bm的前m项和Sm.解析(1)因为an是一个等差数列,所以a3a4a53a484,所以a428.设数列an的公差为d,则5da9a4732845,故d9.由a4a13d得28a139,即a11,所以ana1(n1)d19(n1)9n8(nN*)(2)对mN*,若9man92m,则9m89n92m8,因此9m11n92m1,故得bm92m1
2、9m1.于是Smb1b2b3bm(99392m1)(199m1).跟踪训练1(2012年皖北四市联考)已知数列an为等比数列,且a14,公比为q,前n项和为Sn,若数列Sn2也是等比数列,则q()A2B2C3 D3解析:因为数列Sn2是等比数列,所以(S12)(S32)(S22)2,即6(64q4q2)(64q)2,即q(q3)0,q0,q3.答案:C2(2012年高考广东卷)已知递增的等差数列an满足a11,a3a4,则an_解析:利用等差数列的通项公式求解设等差数列的公差为d,则由a3a4,得12d(1d)24,d24,d2.由于该数列为递增数列,d2.an1(n1)22n1.答案:2n1
3、类型二 等差、等比数列的判定与证明数列an是等差或等比数列的证明方法(1)证明数列an是等差数列的两种基本方法:利用定义证明an1an(nN*)为常数;利用中项性质,即证明2anan1an1(n2)(2)证明an是等比数列的两种基本方法:利用定义证明(nN*)为一常数;利用等比中项,即证明aan1an1(n2)例2(2012年高考陕西卷)设an是公比不为1的等比数列,其前n项和为Sn,且a5,a3,a4成等差数列(1)求数列an的公比;(2)证明:对任意kN,Sk2,Sk,Sk1成等差数列解析(1)设数列an的公比为q(q0,q1),由a5,a3,a4成等差数列,得2a3a5a4,即2a1q2
4、a1q4a1q3.由a10,q0得q2q20,解得q12,q21(舍去),所以q2.(2)证明:证法一对任意kN,Sk2Sk12Sk(Sk2Sk)(Sk1Sk)ak1ak2ak12ak1ak1(2)0,所以对任意kN,Sk2,Sk,Sk1成等差数列证法二对任意kN,2Sk,Sk2Sk1,2Sk(Sk2Sk1)2(1qk)(2qk2qk1)(q2q2)0,因此,对任意kN,Sk2,Sk,Sk1成等差数列跟踪训练已知数列an和bn满足a1m,an1ann,bnan.(1)当m1时,求证:对于任意的实数,数列an一定不是等差数列;(2)当时,试判断数列bn是否为等比数列解析:(1)证明:当m1时,a
5、11,a21,a3(1)222.假设数列an是等差数列,由a1a32a2,得232(1),即210,30,方程无实根故对于任意的实数,数列an一定不是等差数列(2)当时,an1ann,bnan.bn1an1(ann)an(an)bn,b1a1m.当m时,数列bn是以m为首项,为公比的等比数列;当m时,数列bn不是等比数列类型三 等差等比数列的性质例3(1)(2012年高考福建卷)等差数列an中,a1a510,a47,则数列an的公差为()A1 B2 C3 D4(2)(2012年高考广东卷)若等比数列an满足a2a4,则a1aa5_解析(1)解法一利用基本量法求解设等差数列an的公差为d,由题意
6、得解得 d2.解法二利用等差数列的性质求解在等差数列an中,a1a52a310,a35.又a47,公差d752.(2)利用等比数列的性质求解数列an为等比数列,a2a4a,a1a5a.a1aa5a.答案(1)B(2)跟踪训练(2012年高考安徽卷)公比为2的等比数列an的各项都是正数,且a3a1116,则log2a10()A4 B5C6 D7解析:利用等比数列的性质和通项公式求解a3a1116,a16.又等比数列an的各项都是正数,a74.又a10a7q342325,log2a105.故选B.答案:B析典题(预测高考)高考真题【真题】(2012年高考天津卷)已知an是等差数列,其前n项和为Sn
7、,bn是等比数列,且a1b12,a4b427,S4b410.(1)求数列an与bn的通项公式;(2)记Tna1b1a2b2anbn,nN*,证明:Tn8an1bn1(nN*,n2)【解析】(1)设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为q,由a1b12,得a423d,b42q3,S486d.由条件,得方程组解得所以an3n1,bn2n,nN*.(2)证明:由(1)得Tn22522823(3n1)2n,2Tn222523(3n4)2n(3n1)2n1.由,得Tn2232232332n(3n1)2n1(3n1)2n12(3n4)2n18,即Tn8(3n4)2n1.而当n2时,an1bn1(3n
8、4)2n1,所以Tn8an1bn1,nN*,n2.【名师点睛】本题主要考查等差、等比数列的概念、通项公式、前n项和公式、数列求和等知识,本题(2)中,解题的关键是利用错位相减求和法准确求出Tn,否则不会得出结论考情展望高考对等差、等比数列基本运算的考查一是在选择、填空中考查,二是在解答题中求通项时进行考查,难度较低,注意方程思想与整体思想的运用名师押题【押题】已知等差数列an的前n项和为Sn,且a35,S15225.(1)求数列an的通项an;(2)设bn2an2n,求数列bn的前n项和Tn.【解析】(1)设等差数列an首项为a1,公差为d,由题意,得解得an2n1.(2)bn2an2n4n2n,Tnb1b2bn(4424n)2(12n)n2n4nn2n.