1、第一讲等差数列、等比数列研热点（聚焦突破）类型一 等差、等比数列的基本运算例1(2012年高考山东卷)在等差数列an中，a3a4a584，a973.(1)求数列an的通项公式；(2)对任意mN*，将数列an中落入区间(9m，92m)内的项的个数记为bm，求数列bm的前m项和Sm.解析(1)因为an是一个等差数列，所以a3a4a53a484，所以a428.设数列an的公差为d，则5da9a4732845，故d9.由a4a13d得28a139，即a11，所以ana1(n1)d19(n1)9n8(nN*)(2)对mN*，若9man92m，则9m89n92m8，因此9m11n92m1，故得bm92m1
2、9m1.于是Smb1b2b3bm(99392m1)(199m1).跟踪训练1(2012年皖北四市联考)已知数列an为等比数列，且a14，公比为q，前n项和为Sn，若数列Sn2也是等比数列，则q()A2B2C3 D3解析：因为数列Sn2是等比数列，所以(S12)(S32)(S22)2，即6(64q4q2)(64q)2，即q(q3)0，q0，q3.答案：C2(2012年高考广东卷)已知递增的等差数列an满足a11，a3a4，则an_解析：利用等差数列的通项公式求解设等差数列的公差为d，则由a3a4，得12d(1d)24，d24，d2.由于该数列为递增数列，d2.an1(n1)22n1.答案：2n1
3、类型二 等差、等比数列的判定与证明数列an是等差或等比数列的证明方法(1)证明数列an是等差数列的两种基本方法：利用定义证明an1an(nN*)为常数；利用中项性质，即证明2anan1an1(n2)(2)证明an是等比数列的两种基本方法：利用定义证明(nN*)为一常数；利用等比中项，即证明aan1an1(n2)例2(2012年高考陕西卷)设an是公比不为1的等比数列，其前n项和为Sn，且a5，a3，a4成等差数列(1)求数列an的公比；(2)证明：对任意kN，Sk2，Sk，Sk1成等差数列解析(1)设数列an的公比为q(q0，q1)，由a5，a3，a4成等差数列，得2a3a5a4，即2a1q2
4、a1q4a1q3.由a10，q0得q2q20，解得q12，q21(舍去)，所以q2.(2)证明：证法一对任意kN，Sk2Sk12Sk(Sk2Sk)(Sk1Sk)ak1ak2ak12ak1ak1(2)0，所以对任意kN，Sk2，Sk，Sk1成等差数列证法二对任意kN，2Sk，Sk2Sk1，2Sk(Sk2Sk1)2(1qk)(2qk2qk1)(q2q2)0，因此，对任意kN，Sk2，Sk，Sk1成等差数列跟踪训练已知数列an和bn满足a1m，an1ann，bnan.(1)当m1时，求证：对于任意的实数，数列an一定不是等差数列；(2)当时，试判断数列bn是否为等比数列解析：(1)证明：当m1时，a
5、11，a21，a3(1)222.假设数列an是等差数列，由a1a32a2，得232(1)，即210，30，方程无实根故对于任意的实数，数列an一定不是等差数列(2)当时，an1ann，bnan.bn1an1(ann)an(an)bn，b1a1m.当m时，数列bn是以m为首项，为公比的等比数列；当m时，数列bn不是等比数列类型三 等差等比数列的性质例3(1)(2012年高考福建卷)等差数列an中，a1a510，a47，则数列an的公差为()A1 B2 C3 D4(2)(2012年高考广东卷)若等比数列an满足a2a4，则a1aa5_解析(1)解法一利用基本量法求解设等差数列an的公差为d，由题意
6、得解得 d2.解法二利用等差数列的性质求解在等差数列an中，a1a52a310，a35.又a47，公差d752.(2)利用等比数列的性质求解数列an为等比数列，a2a4a，a1a5a.a1aa5a.答案(1)B(2)跟踪训练(2012年高考安徽卷)公比为2的等比数列an的各项都是正数，且a3a1116，则log2a10()A4 B5C6 D7解析：利用等比数列的性质和通项公式求解a3a1116，a16.又等比数列an的各项都是正数，a74.又a10a7q342325，log2a105.故选B.答案：B析典题（预测高考）高考真题【真题】(2012年高考天津卷)已知an是等差数列，其前n项和为Sn
7、，bn是等比数列，且a1b12，a4b427，S4b410.(1)求数列an与bn的通项公式；(2)记Tna1b1a2b2anbn，nN*，证明：Tn8an1bn1(nN*，n2)【解析】(1)设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q，由a1b12，得a423d，b42q3，S486d.由条件，得方程组解得所以an3n1，bn2n，nN*.(2)证明：由(1)得Tn22522823(3n1)2n，2Tn222523(3n4)2n(3n1)2n1.由，得Tn2232232332n(3n1)2n1(3n1)2n12(3n4)2n18，即Tn8(3n4)2n1.而当n2时，an1bn1(3n
8、4)2n1，所以Tn8an1bn1，nN*，n2.【名师点睛】本题主要考查等差、等比数列的概念、通项公式、前n项和公式、数列求和等知识，本题(2)中，解题的关键是利用错位相减求和法准确求出Tn，否则不会得出结论考情展望高考对等差、等比数列基本运算的考查一是在选择、填空中考查，二是在解答题中求通项时进行考查，难度较低，注意方程思想与整体思想的运用名师押题【押题】已知等差数列an的前n项和为Sn，且a35，S15225.(1)求数列an的通项an；(2)设bn2an2n，求数列bn的前n项和Tn.【解析】(1)设等差数列an首项为a1，公差为d，由题意，得解得an2n1.(2)bn2an2n4n2n，Tnb1b2bn(4424n)2(12n)n2n4nn2n.