1、数学第二课时 等差数列的性质及简单应用 数学自主预习课堂探究数学自主预习1.能根据等差数列的定义与通项公式,推导出等差数列的重要性质.2.能够运用等差数列的通项公式和性质解决等差数列中的计算问题.3.能够运用学过的等差数列知识解决一些实际应用问题.课标要求 数学知识梳理 等差数列的常见性质(1)对称性:a1+an=a2+an-1=a3+an-2=am+(nm);(2)an=a1+(n-1)d=a2+(n-2)d=am+;(3)若m,n,p,q均为正整数,则m+n=p+q=2k ;(4)若m,p,n均为正整数且m,p,n成等差数列,则am,ap,an也成等差数列;an-m+1(n-m)d am+
2、an=ap+aq=2ak 数学(5)若an、bn分别是公差为d,d的等差数列,则有 数列 结论 c+an 公差为 的等差数列(c为任一常数)can 公差为 的等差数列(c为任一常数)an+an+k 公差为 的等差数列(k为常数,kN*)pan+qbn 公差为 的等差数列(p,q为常数)(6)单调性:an的公差为d,则d 0an为递增数列;d 0an为递减数列;d=0an为常数列.d cd 2d pd+qd 0,即 d=2.所以这三个数依次为 4,6,8.答案:4,6,8 数学课堂探究等差数列性质的应用 题型一 解析:(1)因为 7+21=14+14,所以 a7+a21=2a14,所以 a21=
3、2a14-a7=2n-m.【例 1】等差数列an中:(1)若 a7=m,a14=n,则 a21=;(2)若 a1+a3+a5=-1,则 a1+a2+a3+a4+a5=;(3)若 a2+a3+a4+a5=34,a2a5=52,且 a4a2,则 a5=.(2)因为 a1+a3+a5=(a1+a5)+a3=2a3+a3=3a3=-1,所以 a3=-13,所以 a1+a2+a3+a4+a5=5a3=5（-13）=-53.数学(3)因为 a2+a3+a4+a5=34 且 a3+a4=a2+a5,所以 2(a2+a5)=34,所以 a2+a5=17,又 a2a5=52,所以25413aa或2513,4.a
4、a 又因为 a4a2,所以 a4-a2=2d0,所以 d0,所以 a5a2,所以 a5=13.答案:(1)2n-m(2)-53(3)13 数学题后反思 求解等差数列有关计算问题的常用方法:一是基本量方法,即建立关于a1和d的方程组求出a1和d再解决问题;二是运用等差数列的性质,若m+n=p+q=2k,且m,n,p,q,kN*,则am+an=ap+aq=2ak.数学即时训练 1 1:(1)如果等差数列an中,a3+a4+a5=12,那么 a1+a2+a7等于()(A)14(B)21(C)28(D)35(2)已知an、bn是两个等差数列,其中 a1=3,b1=-3,且 a20-b20=6,那么 a
5、10-b10的值为()(A)-6(B)6 (C)0 (D)10 解析:(1)因为a3+a4+a5=12,所以3a4=12,则a4=4,又a1+a7=a2+a6=a3+a5=2a4,故a1+a2+a7=7a4=28.故选C.(2)由于an、bn都是等差数列,所以an-bn也是等差数列,而a1-b1=6,a20-b20=6,所以an-bn是常数列,故a10-b10=6.故选B.数学【思维激活】(2013 高考上海卷)在等差数列an中,若 a1+a2+a3+a4=30,则a2+a3=.解析:由等差数列的性质得a1+a4=a2+a3,又a1+a2+a3+a4=30,所以2(a2+a3)=30,即a2+
6、a3=15.答案:15 数学巧用“对称”解等差数列问题 题型二【例2】已知四个数成递减等差数列,它们的和为26,中间两项的积为40,求这四个数.解:法一 设此等差数列的首项为 a1,公差为 d,根据题意得 1111112326,240,aadadadadad 化简,得122114626,3240,adaa dd解得12,3ad(舍去)或111,3.ad 所以这四个数分别为 11,8,5,2.数学法二 设这四个数分别为 a-3d,a-d,a+d,a+3d,根据题意得 3326,40,adadadadadad 化简,得22426,40,aad解得13,232ad(舍去)或13,23.2ad 所以这
7、四个数分别为 11,8,5,2.数学题后反思 利用等差数列的定义巧设未知量,从而简化计算.一般有如下规律:当等差数列an的项数n为奇数时,可设中间一项为a,再以公差为d向两边分别设项:a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,;当项数为偶数时,可设中间两项为a-d,a+d,再以公差为2d向两边分别设项:a-3d,a-d,a+d,a+3d,这样可减少计算量.数学解:设第三个数为 a,公差为 d,则这 5 个数分别为 a-2d,a-d,a,a+d,a+2d.由已知有 22222225,8522,9adadaadadadadaadad 所以2255,85510.9aad所以 a=1,d=23.d=23
8、 时,这 5 个数分别是-13,13,1,53,73;d=-23 时,这 5 个数分别是 73,53,1,13,-13.综上,5 个数分别为-13,13,1,53,73 或 73,53,1,13,-13 即时训练 2 1:已知五个数成等差数列,它们的和为 5,平方和为 859,求这5 个数.数学等差数列的实际应用 题型三【例3】有一批影碟机原销售价为每台800元,在甲、乙两家商场均有销售.甲商场用如下方法促销:买一台单价为780元,买两台单价为760元,依此类推,每多买一台单价均减少20元,但每台最少不低于440元;乙商场一律都按原价的75%销售.某单位需购买一批此类影碟机,问去哪一家商场购买
9、花费较少?解:设该单位需购买影碟机n台,在甲商场购买单价不低于440元时,单价依台数成等差数列an,则an=780+(n-1)(-20)=800-20n,解不等式an440,800-20n440,得n18.当购买台数小于18时,单价为(800-20n)元,当台数大于或等于18时,单价为440元.到乙商场购买,单价为80075%=600(元).又(800-20n)n-600n=20n(10-n),所以,当n10时,600n(800-20n)n;当n=10时,600n=(800-20n)n;当10n18时,(800-20n)n600n;当n18时,440n600n.所以当购买台数少于10台时,到乙
10、商场购买花费较少;当购买10台时,到两商场购买花费相同;当购买多于10台时,到甲商场购买花费较少.数学题后反思 (1)在实际问题中,若涉及一组与顺序有关的数的问题,可考虑利用数列方法解决,若这组数依次成直线上升或下降,则可考虑利用等差数列方法解决.(2)在利用数列方法解决实际问题时,一定要分清首项、项数等关键量.数学即时训练3-1:某产品按质量分10个档次,生产最低档次的产品的利润是8元/件,每提高一个档次,利润每件增加2元,同时每提高一个档次,产量减少3件,在相同的时间内,最低档次的产品可生产60件.试问:在相同的时间内,应选择生产第几档次的产品可获得最大利润?(设最低档次为第一档次).解:
11、设在相同的时间内,从低到高每档产品的产量分别为a1,a2,a10,利润分别为b1,b2,b10,则an,bn均为等差数列,且a1=60,d1=-3,b1=8,d2=2,所以an=60-3(n-1)=-3n+63,bn=8+2(n-1)=2n+6,所以利润f(n)=anbn=(-3n+63)(2n+6)=-6n2+108n+378=-6(n-9)2+864.显然,当n=9时,f(n)max=f(9)=864.答:在相同的时间内生产第9档次的产品可以获得最大利润.数学【备用例题】甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查,提供两个不同的信息图如图所示.甲调查表明:从第1年每个养鸡场出产1万只鸡
12、上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡.乙调查表明:由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个.请根据提供的信息说明,求:(1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数;(2)到第6年这个县的养鸡业比第1年是扩大了还是缩小了?请说明理由;(3)哪一年的规模最大?请说明理由.数学解:由题干图可知,从第 1 年到第 6 年平均每个鸡场出产的鸡数成等差数列,记为an,公差为 d1,且 a1=1,a6=2;从第 1 年到第 6 年的养鸡场个数也成等差数列,记为bn,公差为 d2,且 b1=30,b6=10;从第 1 年到第 6 年全县出产鸡的总只数记为数列cn.则 cn=anbn.(1)由 a1=1,a
13、 6=2,得1111,52,aad 所以111,0.2ad a2=1.2;由 b1=30,b6=10,得11230,510,bbd 所以1230,4bd b2=26.即 c2=a2b2=1.226=31.2.数学(2)c6=a6b6=210=20c1=a1b1=30,所以到第6年这个县的养鸡业比第1年缩小了.(3)因为 an=1+(n-1)0.2=0.2n+0.8,bn=30+(n-1)(-4)=-4n+34(1n6),所以 cn=anbn=(0.2n+0.8)(-4n+34)=-0.8n2+3.6n+27.2(1n6).因为对称轴为 n=94,所以当 n=2 时,cn 最大.答:(1)第 2 年养鸡场的个数为 26 个,全县出产鸡的总数是 31.2 万只;(2)到第6 年这个县的养鸡业比第 1 年缩小了;(3)第 2 年的规模最大.数学点击进入课时作业数学 谢谢观赏Thanks!
