1、数学2.4 等比数列 第一课时 等比数列的概念与通项公式 数学自主预习课堂探究数学自主预习1.通过实例,理解等比数列和等比中项的概念,深化认识并能运用.2.探索并掌握等比数列的通项公式,能运用通项公式解决简单的问题.3.体会等比数列的通项公式与指数函数的关系.课标要求 数学知识梳理 1.等比数列的定义 一般地,如果一个数列从第 项起,每一项与它的前一项的比等于 ,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的 ,通常用字母q表示(q0).2.等比中项 如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成 ,那么G叫做a与b的等比中项,这三个数满足关系式G2=ab.3.等比数列的递推公式与通项公式 已
2、知等比数列an的首项为a1,公比为q(q0),填表:递推公式 通项公式 1nnaa=q(n2)an=2 同一常数 公比 等比数列 a1qn-1 数学自我检测 1.(等比数列的定义)下面有四个结论:由第1项起乘相同常数得后一项,这样所得到的数列一定为等比数列;常数列b,b一定为等比数列;等比数列an中,若公比q=1,则此数列各项相等;等比数列中,各项与公比都不能为零.其中正确的结论的个数是()(A)0(B)1(C)2(D)3 C 解析:错误,当乘以的常数为零时,不是等比数列;错误,b=0时,不是等比数列;正确,故选C.数学C 解析:设其等比中项为 G,则 G2=(2+3)(2-3)=1.所以 G
3、=1.故选 C.2.(等比中项)2+3 和 2-3 的等比中项是()(A)1 (B)-1 (C)1 (D)2 数学D 解析:an=a1qn-1=43n-1.故选D.3.(等比数列的通项)在等比数列an中,a1=4,公比q=3,则通项公式an等于()(A)3n (B)4n(C)34n-1(D)43n-1 4.(等比数列的公比)在等比数列an中,a1=2,a5=162,则数列an的公比q=.解析:因为a5=a1q4,所以162=2q4,所以q4=81,所以q=3.答案:3 数学解析:由条件知52aa=q3=8,所以 q=2,所以 a1=2aq=3,所以 a8=a1q7=327=384.答案:384
4、 5.(等比数列通项公式的应用)在等比数列an中,a2=6,a5=48,则a8=.数学课堂探究等比数列的判断与证明 题型一 证明:(1)因为 an+1=Sn+1-Sn,an+1=2nnSn,所以(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn).整理,得 nSn+1=2(n+1)Sn,所以11nSn=2nSn.故nSn是以 2 为公比的等比数列.【例 1】数列an的前 n 项和记为 Sn,已知 a1=1,an+1=2nnSn(n=1,2,3,).证明:(1)数列nSn是等比数列;(2)Sn+1=4an.数学(2)由(1)知11nSn=411nSn(n2),于是 Sn+1=4(n+1)11nSn=4an(n2
5、).又因为 a2=3S1=3,故 S2=a1+a2=4=4a1.因此对于任意正整数 n 都有 Sn+1=4an.数学题后反思 判定数列是等比数列的常用方法(1)定义法:1nnaa=q(q 是常数)或1nnaa=q(q 是常数,n2)an为等比数列.(2)等比中项法:21na =anan+2(an0,nN*)an为等比数列.(3)通项公式法:an=a1qn-1(其中 a1、q 为非零常数,nN*)an为等比数列.数学即时训练 1 1:已知 a1=1,an+1=2Sn+1.试判断数列an是否为等比数列?并证明.解:数列an是等比数列.证明:因为an+1=2Sn+1,所以an=2Sn-1+1(n2)
6、.两式相减,得an+1-an=2an,即an+1=3an(n2),又a2=2S1+1=3,a1=1,所以a2=3a1.所以an是首项为1,公比为3的等比数列.数学等比数列的通项公式及其应用 题型二【教师备用】1.等比数列与指数函数有什么关系?提示:等比数列的通项公式可整理为 an=1aq qn.当 q0,且 q1 时,y=1aq qx是一个不为零的常数1aq 与指数函数 qx的乘积,表示数列 an=1aq qn的点(n,1aq qn)是函数 y=1aq qx图象上的孤立的点.如图,表示(n,1aq qn)的各点都在函数y=2x-1的图象上.数学2.能不能利用等比数列的通项公式判断其单调性?提示
7、:10,1aq或10,01aq an递增;10,01aq 或10,1aqan递减;q=1an为常数列;q0,且41618,2,a qa q解得1128,1,2aq 所以 an=128(12)n-1=28-n.答案:(1)B(2)28-n 数学【思维激活】(2014高考江苏卷)在各项均为正数的等比数列an中,若a2=1,a8=a6+2a4,则a6的值是 .解析:设等比数列an的公比为q,q0.则a8=a6+2a4,即为a4q4=a4q2+2a4,解得q2=2(负值舍去),又a2=1,所以a6=a2q4=4.答案:4 数学解:由题 a1q2=12,a1q3=18,得 q=32,将 q=32代入,得
8、 a1=163.因此,a2=a1q=163 32=8.综上,这个数列的第 1 项与第 2 项分别是163 与 8.【备用例1】一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18,求它的第1项与第2项.数学等比中项的应用 题型三 提示:a 与 b 一定有等差中项 A,且 A=2ab,但不一定有等比中项.当 ab0时,a 与 b 没有等比中项.当 ab0 时,a 与 b 有等比中项,且 G=ab.【教师备用】若a,b是任意两个实数,则a与b一定有等差中项和等比中项吗?数学解:设等比数列an的首项为 a1,公比为 q,因为 a2-a5=42,所以 q1,由已知得2111411168,42,aa qa qa
9、 qa q所以21311168,142.aqqa qq 因为 1-q3=(1-q)(1+q+q2),所以由除以,得 q(1-q)=14.所以 q=12.所以 a1=4421122=96.若 G 是 a5,a7 的等比中项,则应有 G2=a5a7=a1q4a1q6=21a q10=962(12)10=9.所以 a5,a7 的等比中项是3.【例3】等比数列an的前三项之和为168,a2-a5=42,求a5与a7的等比中项.数学题后反思 (1)本题采用方程的思想.(2)首项 a1和 q 是构成等比数列的基本量,从基本量入手解决相关问题是研究等比数列的基本方法.同号的两数才有等比中项,且等比中项有两个
10、,它们互为相反数,在等比数列an中,an-1,an,an+1(n2)成等比数列,则2na=an-1an+1.数学即时训练 3 1:已知等差数列an中,a1=9,d=1.若 ak是 a1与 a2k的等比中项,则 k 等于()(A)2(B)4(C)6(D)8 解析:依题意2ka=a1a2k,即9+(k-1)2=99+(2k-1),整理得 k2-2k-8=0,解得 k=4(k=-2 舍去).故选 B.数学【备用例 2】已知等比数列an中,a2a3a4=64,a3+a6=36,求 a1与 a5的等比中项.解:因为an是等比数列,所以 a3是 a2与 a4的等比中项,因此23a=a2a4.可得33a=64,于是 a3=4.又 a3+a6=36,所以 a6=32.设公比为 q,则21514,32,a qa q解得11,2.aq 于是 a5=a1q4=16.设 a1与 a5的等比中项为 G,则 G2=16,故 G=4.即 a1与 a5的等比中项为4.数学点击进入课时作业数学 谢谢观赏Thanks!
