1、高考资源网（） 您身边的高考专家第3讲圆锥曲线的综合应用JIE TI CE LUE MING FANG XIANG解题策略明方向考情分析1圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考必考的问题之一，主要以解答题形式考查，往往作为试卷的压轴题之一2以椭圆或抛物线为背景，尤其是与条件或结论相关存在性开放问题对考生的代数恒等变形能力、计算能力有较高的要求，并突出数学思想方法考查真题分布(理科)年份卷别题号考查角度分值2020卷20椭圆的简单性质及方程思想、定点问题12卷19椭圆离心率的求解，利用抛物线的定义求抛物线和椭圆的标准方程12卷20椭圆标准方程和求三角形面积问题122019卷19直线与抛物线
2、的性质的综合应用12卷21求曲线的方程、直线与椭圆的位置关系、最值问题12卷21直线过定点问题、直线与抛物线的相交弦问题、点到直线的距离及四边形的面积122018卷19直线的方程、直线与椭圆的位置关系、证明问题12卷20点的轨迹问题、椭圆的方程、向量的数量积12卷20直线与椭圆的位置关系、等差数列的证明12(文科)年份卷别题号考查角度分值2020卷21圆锥曲线的顶点问题12卷19椭圆和抛物线的标准方程及其应用12卷21椭圆标准方程和求三角形面积问题，椭圆的离心率定义和数形结合求三角形面积，122019卷21直线与圆的位置关系，定值问题12卷20椭圆的定义及其几何性质、参数的范围12卷21直线与
3、抛物线的位置关系、定点问题122018卷20直线的方程，直线与抛物线的位置关系、证明问题12卷20直线的方程，直线与抛物线的位置关系、圆的方程12卷20直线与椭圆的位置关系、证明问题12KAO DIAN FEN LEI XI ZHONG DIAN考点分类析重点考点一圆锥曲线中的最值、范围问题典例1(2020青海省玉树州高三联考)已知直线l：xy10与焦点为F的抛物线C：y22px(p0)相切(1)求抛物线C的方程；(2)过点F的直线m与抛物线C交于A，B两点，求A，B两点到直线l的距离之和的最小值【解析】(1)将l：xy10与抛物线C：y22px联立得：y22py2p0，l与C相切，4p28p
4、0，解得：p2，抛物线C的方程为：y24x.(2)由题意知，直线m斜率不为0，可设直线m方程为：xty1，联立得：y24ty40设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24t，x1x2ty11ty214t22，线段AB中点M(2t21,2t)设A，B，M到直线l距离分别为dA，dB，dM，则dAdB2dM222，(t)2，当t时，min，A，B两点到直线l的距离之和的最小值为：2.求解范围、最值问题的五种方法(1)利用判别式构造不等式，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的取值范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立相等关系；(3)利用隐含的不等关系，求出参数的取
5、值范围；(4)利用已知不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数值域的方法，确定参数的取值范围1(2020北京昌平区期末)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，点M(0，)在椭圆C上，焦点为F1，F2，圆O的直径为F1F2(1)求椭圆C及圆O的标准方程；(2)设直线l与圆O相切于第一象限内的点P，且直线l与椭圆C交于A，B两点记OAB的面积为S，证明：Sb0)可得，解得所以椭圆C的方程为1因为焦点在x轴上，所以椭圆C的焦点为F1(，0)，F2(，0)所以直径为F1F2的圆O的方程为x2y26(2)由题意知，直线l与圆O相切于第一象限内的点P，设直线l的斜截式方程为ykxm(k0
6、)因为直线l与圆O相切，所以点O到直线l的距离为d.即m26k26因为直线l与椭圆C相交于A，B两点，由，整理得(14k2)x28kmx4m280，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则.因为(8km)24(14k2)(4m28)16(8k2m22)又m26k26，所以32(k22)0所以k22又因为k0，所以k9，则SOAB4.令u，0u.则SOAB.设h(u)27u26u1272.因为h(u)在上单调递减，所以h(u)1所以SOABb0)的离心率为，直线xy0与圆x2y2b2相切(1)求椭圆C的方程；(2)设P，过点(1,0)的直线l交椭圆C于A，B两点，证明：为定值【解析】(1)椭圆C
7、的离心率为，ac，直线xy0与圆x2y2b2相切，b1，acb，椭圆C的方程为y21(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，当直线l与x轴不重合时，设l的方程：xmy1由得(m22)y22my10，x1x2，x1x21，x1x2(x1x2)y1y2.当直线l与x轴重合时，2.故为定值.考点三圆锥曲线中的存在性问题典例4(2020凉山州模拟)已知椭圆C：1(ab0)，右顶点A(2,0)，上顶点为B，左右焦点分别为F1，F2，且F1BF260，过点A作斜率为k(k0)的直线l交椭圆于点D，交y轴于点E.(1)求椭圆C的方程；(2)设P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的k(k0)都有
8、OPEQ？若存在，求出点Q；若不存在，请说明理由【解析】(1)由题意得：a2，F1BF260，在RtOBF2中，OBF230，|OB|b，|OF2|c，|BF2|a，cos 30，b，椭圆方程为1(2)法一：设直线AD：yk(x2)(k0)，*令x0，则y2k，E(0，2k)，将*代入1，整理得(34k2)x216k2x16k2120，设D(x0，y0)，则2xD，xD，yDk(2)，设P(xp，yp)，P为AD的中点，xp，yp，设存在Q(x0，y0)使得OPEQ，则(x0，y0 2k)，0，0，即0对任意的k0都成立，x0，存在Q使得OPEQ.法二：设A(x1，y1)，D(x2，y2)，P
9、(x0，y0)，1(1)，1(2)，由(1)(2)，得0，P为AD中点，0kADk(k0)，k0，kOP，kOP，设存在Q(x3，y3)使得OPEQ，则，即2k(2x33)3y30，对任意k0都成立，即x3，y30，存在Q使得OPEQ.探索性问题的解题策略探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在，若结论不正确，则不存在(1)当条件和结论不唯一时，要分类讨论(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径3(2019湛江二模)已知动圆P过定点F，且和直线x相切，动圆圆心P形成的轨迹是曲线
10、C，过点Q(4，2)的直线与曲线C交于A，B两个不同的点(1)求曲线C的方程；(2)在曲线C上是否存在定点N，使得以AB为直径的圆恒过点N？若存在，求出N点坐标；若不存在，说明理由【解析】(1)设动圆圆心P到直线x的距离为d，根据题意，d|PF|，动点P形成的轨迹是以F为焦点，以直线x为准线的抛物线，抛物线方程为y22x.(2)根据题意，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线lAB的方程为：xn(y2)4，代入抛物线方程，整理得y22ny4n80，4n216(n2)4(n24n8)0，y1y22n，y1y24n8，若假设抛物线上存在定点N，使得以AB为直径的圆恒过点N，设N(x0，y0)，
11、则y2x0，kNA，同理可得kNB，kNAkNB1，(2y04)ny40，解得y02，x02，在曲线C上存在定点N(2,2)，使得以AB为直径的圆恒过点N.YI CUO QING LING MIAN SHI WU易错清零免失误1忽视各变量间的制约条件致误典例1已知双曲线1(a0，b0)的离心率e，过点A(0，b)和B(a,0)的直线与原点的距离为，直线ykxm(k0，m0)与该双曲线交于不同两点C、D，且C、D两点都在以A为圆心的圆上，求m的取值范围【错解】由已知，得解之得a23，b21，所以双曲线方程为y21将直线ykxm代入双曲线方程，并整理得(13k2)x26kmx3m230，所以m21
12、3k20设CD中点为P(x0，y0)，则APCD，且易知：x0，y0.所以kAP3k24m1将式代入式，得m24m0，解得m4或m0设CD中点为P(x0，y0)，则APCD，且易知：x0，y0.所以kAP.3k24m1将式代入式，得m24m0，解得m4或m0，所以m.故所求m的范围应为m4或mb0)两焦点分别为F1、F2，且离心率e.(1)设E是直线yx2与椭圆的一个交点，求|EF1|EF2|取最小值时椭圆的方程；(2)已知N(0,1)，是否存在斜率为k的直线l与(1)中的椭圆交于不同的两点A、B，使得点N在线段AB的垂直平分线上，若存在，求出直线l在y轴上截距的范围；若不存在，说明理由【解析
13、】(1)e，椭圆方程可化为1，与yx2联立，消去y化简得4x212x123b20，又由14416(123b2)0，解得b21，此时|EF1|EF2|2b2，当且仅当b1时，取“”|EF1|EF2|取最小值2，所以椭圆方程为y21(2)设直线l的方程为ykxt，代入y21，消去y整理得：(13k2)x26ktx3t230，直线与椭圆交于不同的两点，(6kt)212(t21)(13k2)0，即t213k2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x2，x1x2，则AB中点Q所以当k0时，化简得13k22t，代入t213k2得2t1，所以t，故2t；当k0时，1t1综上，k0时，2t；k0时，1t
14、0这个条件来制约参数k，t之间的关系3求解圆锥曲线的综合问题时不会由目标去逆推条件典例3(2020广东惠州第一次调研)已知定点A(3,0)，B(3,0)，直线AM，BM，相交于点M，且它们的斜率之积为，记动点M的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程(2)过点T(1,0)的直线l与曲线C交于P，Q两点，是否存在定点S(s,0)，使得直线SP与SQ斜率之积为定值，若存在求出S坐标；若不存在请说明理由【解析】(1)设动点M(x，y)，则kMA，kMB(x3)，kMAkMB，即，化简得：y21(x3)，故曲线C的方程为y21(x3)(2)由已知直线l过点T(1,0)，设l的方程为xmy1，则联立方程组，消去x得(m29)y22my80设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则，直线SP与SQ斜率分别为kSP，kSQ，kSPkSQ，当s3时，kSPkSQ，当s3时，kSPkSQ，所以存在定点S(3,0)，使得直线SP与SQ斜率之积为定值【剖析】本题属于圆锥曲线综合问题，其中第(2)问探究“是否存在异于点T的顶点S(s,0)，使得直线SP与SQ的斜率之积为定值”，对于这类探索性问题，求解时很难把握求解方向，破解的关键是由目标去逆推条件，即假定目标“kSPkSQ的定值”，求出s的值，这种方法适用于解析几何中探索定点、定值问题的求解- 13 - 版权所有高考资源网
