1、20202021学年高三年级模拟考试卷数学(满分150分，考试时间120分钟)202102一、 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设复数z(其中i为虚数单位)，则复数z在复平面内对应的点在()A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限 D. 第四象限2. 已知全集UR，集合Ax|lg(x2)1，集合Bx|x22x30，则A(UB)()A. (2，12) B. (1，3)C. (1，12) D. (2，3)3. 已知直线m平面，则直线l平面是直线lm的()A. 充要条件 B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件 D. 既不充
2、分也不必要条件4. 已知(0，)，2sin 2cos 21，则cos 的值为()A. B. C. D. 5. 如图，在梯形ABCD中，已知ABCD，ABBD，点M为AD的中点，MBBC，AD2BD2，则()A. 1 B. C. 3 D. 6. 埃及金字塔之谜是人类史上最大的谜，它的神奇远远超过了人类的想象在埃及金字塔内有一组神秘的数字142857，因为142 8572285 714，142 8573428 571，142 8574571 428，所以这组数字又叫“走马灯数”该组数字还有如下发现：142857999，428571999，285714999，若从这组神秘数字中任选3个数字构成一个三
3、位数x，剩下的三个数字构成另一个三位数y.若xy999，则所有可能的有序实数组(x，y)的个数为()A. 48 B. 60 C. 96 D. 1207. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(x1)2y24，若直线l：xym0上有且只有一个点P满足：过点P作圆C的两条切线PM，PN，切点分别为M，N，且使得四边形PMCN为正方形，则正实数m的值为()A. 1 B. 2 C. 3 D. 78. 已知f(x)是定义在R上的奇函数，对任意两个不相等的正数x1，x2，都有0，记a，b，c，则a，b，c的大小关系为()A. abc B. bacC. cab D. cba二、 多项选择题：本大题共4小题，
4、每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有错选的得0分9. 已知(2x)n的二项展开式中二项式系数之和为64，则下列结论正确的是()A. 二项展开式中各项系数之和为36B. 二项展开式中二项式系数最大的项为160xC. 二项展开式中无常数项D. 二项展开式中系数最大的项为90x310. 如图，已知函数f(x)Asin(x)(A0，0，|)的图象与x轴交于点A，B.若OB7OA，图象的一个最高点D(，)，则下列说法正确的是()A. B. f(x)的最小正周期为4C. f(x)一个单调增区间为(，)D. f(x)图象的一个对称中心为(，
5、0)11. 设函数yf(x)定义域为D，若存在x，yD，且xy，使得2f()f(x)f(y)，则称函数yf(x)是D上的“S函数”，下列函数是“S函数”的是()A. y2x B. yxsin x1C. yln x D. y12. 如图，在边长为2的正方形ABCD中，点M是边CD的中点，将ADM沿AM翻折到PAM，连接PB，PC，在ADM翻折到PAM的过程中，下列说法正确的是()A. 四棱锥PABCM的体积最大值为B. 当平面PAM平面ABCM时，二面角PABC的正切值为C. 存在某一翻折位置，使得AMPBD. 棱PB的中点为N，则CN的长为定值三、 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
6、13. 设f(x)axx，若f(3)6，则不等式f(2x1)f(x)的解集为_14. 已知m，n均为正数，a(1，m)，b(2，1n)，且ab，则的最小值为_15. 在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：1(a0，b0)的右焦点F，过点F且与x轴垂直的直线与双曲线的一条渐近线交于第一象限内的点A，过点F且平行于OA的直线交另一条渐近线于点B.若ABOB，则双曲线C的离心率为_16. “双十一”是指每年的11月11日，以一些电子商务为代表，在全国范围内兴起的大型购物促销狂欢日某商家在去年的“双十一”中开展促销活动：凡购物满5 888元的顾客会随机获得A，B，C三种赠品中的一件，现恰有3名顾客的购物
7、金额满5 888元设随机变量X表示获得赠品完全相同的顾客人数，则P(X0)_，E(X)_四、 解答题：本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17. (本小题满分10分)从 ABC的面积S2； ADCD这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中进行求解如图，在平面四边形ABCD中，ABCD2，B，对角线AC平分BAD，且_，求线段AD的长注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分18. (本小题满分12分)已知数列an的前n项和为Sn，首项a11，Sn12Sn1.(1) 求数列an的通项公式；(2) 设bnnan，记数列bn的前n项和为Tn，是否存在正整数n，使
8、得Tn2 021？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由(本小题满分12分) 如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，AC，BD相交于点N，DN2NB.已知PAACAD3，BD3，ADB30.(1) 求证：AC平面PAD；(2) 设棱PD的中点为M，求平面PAB与平面MAC所成二面角的正弦值20. (本小题满分12分) 习近平总书记在党的十九大工作报告中提出，永远把人民美好生活的向往作为奋斗目标在这一号召下，全国人民积极工作，健康生活当前，“日行万步”正式成为健康生活的代名词某地一研究团队统计了该地区1 000位居民的日行步数，得到如下表格：日行步数(单位：千步)0，2(2，4(4，6
9、(6，8(8，10(10，12(12，14人数206017020030020050(1) 为研究日行步数与居民年龄的关系，以日行步数是否超过8千步为标准进行分层抽样，从上述1 000位居民中抽取200人，得到如下列联表，请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为日行步数与居民年龄超过40岁有关；日行步数8千步日行步数8千步总计40岁以上10040岁以下(含40岁)50总计200(2) 以这1 000位居民日行步数超过8千步的频率，代替该地区1位居民日行步数超过8千的概念，每位居民日行步数是否超过8千相互独立为了深入研究，该研究团队随机调查了20位居民，其中日行步数超过8千的最有
10、可能(即概率最大)是多少位居民？参考公式和数据：K2，其中nabcd.P(K2k0)0.050.0250.010k03.8415.0246.63521. (本小题满分12分) 已知椭圆C：1(ab0)经过点A(2，1)，且椭圆C在点A处的切线方程为yx3.(1) 求椭圆C的方程；(2) 设过点B(3，0)且与x轴不重合的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，直线AM，AN分别与直线x3交于点P，Q，记点P，Q的纵坐标分别为p，q，求pq的值(本小题满分12分) 已知函数f(x)exx1，x0.(1) 若关于x的不等式xf(x)kexx22x2对任意的x0恒成立，求实数k的取值范围；(2) 设g(
11、x)，x0. 求证：g(x)1； 若数列an满足0a1ln ，an1ln g(an)，求证： ean1.20202021学年高三年级模拟考试卷(如皋)数学参考答案及评分标准1. A2. C3. B4. D5. B6. A7. C8. D9. AB10. BCD11. BD12. ABD13. (1，)14. 415. 16. 17. 解：选.因为ABC的面积为2，所以ABBCsin B2，即2BC2，解得BC2.在ABC中，根据余弦定理得AC2AB2CB22ABCBcos B，所以22(2)2222cos 20，故AC2，且cosBAC.(5分)因为AC是BAD的平分线，所以cosCADcos
12、BAC.在ACD中，根据余弦定理可得CD2AD2AC22ADACcosDAC，即22AD2(2)22AD2，解得AD4，所以AD4.(10分)选.因为AC平分BAD，设BACDAC，在RtADC中，D，DAC，CD2，所以AC.在ABC中，根据正弦定理 ，得，(5分)整理得sin()sin ，即cos sin sin ，得tan .所以在RtADC中，tan ，即，所以AD4.(10分)18. 解：(1) 依题意，Sn12Sn1，a11.当n1时，S22S11，故a2a112，所以a22a1；当n2，nN*时，Sn2Sn11，所以当n2，nN*时，an12an, 所以an12an对nN*都成立
13、因为a110，所以an0，所以2为定值，所以数列an是a11，公比为2的等比数列，所以an2n1.(5分)(2) 依题意，bnnann2n1 ，Tn120221322n2n1，2Tn121222323(n1)2n1n2n，所以Tn12012112212n1n2nn2n，整理得Tn(n1)2n1.(9分)因为bnn2n10，故数列Tn是单调递增数列又T872811 7932 021，故不存在正整数n，使得Tn2 021.(12分)19. (1) 证明：因为BD3，DN2NB，故DNBD2.在AND中，AD3，ADN30，DN2，根据余弦定理可得AN2AD2ND22ADNDcosADN32(2)2
14、2323，故AN，所以NA2AD2ND2，NAD90，所以ACAD.又PA平面ABCD，AC平面ABCD，所以ACPA.因为PAADA，PA，AD平面PAD，所以AC平面PAD.(6分)(2) 解：以A为坐标原点，以AC，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.在BAD中，AD3，BD3，ADB30，根据余弦定理可得AB2AD2BD22ADBDcosADB32(3)22339，故AB3，所以ABD30，BAD120.所以A(0，0，0)，B(，0)，C(3，0，0)，D(0，3，0)，P(0，0，3)因为点M是PD的中点，故M(0，)设n1(x，y，z)是
15、平面PAB的法向量，则即所以取x1，得n1(1，0)，所以平面PAB的一个法向量为n1(1，0)同理，平面MAC的一个法向量为n2(0，1，1)所以cosn1，n2.设平面PAB与平面MAC所成的二面角为，故|cos |cosn1，n2|.因为0，所以sin ，所以平面PAB与平面MAC所成二面角的正弦值为.(12分)20. 解：(1) 表格如下：日行步数8千步日行步数8千步总计40岁以上406010040岁以下(含40岁)5050100总计90110200则K22.020.因为2.0203.841，所以没有95%的把握认为日行步数与居民年龄是否超过40岁有关(5分)(2) 依题意，该地区1位
16、居民日行步数超过8千步的概率为.设调查的20位居民中日行步数超过8千步的人数为X，则XB(20，)，P(Xk)C()k()20k，k0，1，2，20.令 即化简得 解得k.又kN，故k11.所以这20位居民中的日行步数超过8千步的最有可能的是11位居民(12分)21. 解：(1) 因为椭圆C经过点A(2，1)，所以1，即a2b2a24b2.又直线yx3与椭圆C相切，联立方程组整理得(a2b2)x26a2x9a2a2b20，据0，得36a44(a2b2)(9a2a2b2)0，即a2b29.联立，解得a26，b23，所以椭圆C的方程为1.(5分)(2) 依题意，直线l经过点B(3，0)，且不与x轴
17、重合，设l的方程为xty3，M(ty13，y1)，N(ty23，y2)联立方程组整理得(t22)y26ty30，故即其中t1.又直线AM：y1(x2)，令x3，得p.同理，q.故pq12.(12分)22. (1) 解：依题意，x(exx1)kexx22x2对x0恒成立，即kx对x0恒成立令h(x)x，x0，h(x)，而f(x)ex10，故f(x)在(0，)上是单调增函数，故f(x)f(0)0，从而h(x)0，所以h(x)在(0，)上是单调增函数，所以，当x0时，h(x)h(0)2.所以k2.(3分)(2) 证明：依题意，g(x)，x0. 要证g(x)1，即证1，只需证exx1x2，即证exx2
18、x10.令t(x)exx2x1，x0，t(x)exx1f(x)0，所以t(x)在(0，)上是单调增函数，故t(x)t(0)0，即exx2x10，所以当x0时，g(x)1.(6分) 由可知，当x0时， g(x)1，因为a1(0，ln )，故g(a1)1，所以a2ln g(a1)0，g(a2)1，a3ln g(a2)0，an0.要证ean1，只需证ean11(ean1)，即证g(an)1(ean1)，即证g(an)ean0，只需证g(x)ex0，即证ex0，即证(x2)(x2)exx20.因为xan0，故x20.据(1)可得，当k2时，x2对x0恒成立，即当x0时，(x2)exx20，所以(x2)(x2)exx20对x0恒成立所以ean11(ean1)因为a1(0，ln )，故ea11，所以ean1(ean21)(ean31)(ea11).(12分)
