1、第4节直线与圆、圆与圆的位置关系考试要求1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系；2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.知 识 梳 理1.直线与圆的位置关系设圆C：(xa)2(yb)2r2，直线l：AxByC0，圆心C(a，b)到直线l的距离为d，由消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为.位置关系相离相切相交图形量化方程观点0几何观点drdrdr2.圆与圆的位置关系设两圆的半径分别为R，r(Rr)，两圆圆心间的距离为d，则两圆的位置关系可用下表表示：位置关系外离外切相交内切内
2、含图形量的关系dRrdRrRrdRrdRrdRr公切线条数43210常用结论与微点提醒1.圆的切线方程常用结论(1)过圆x2y2r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0xy0yr2.(2)过圆(xa)2(yb)2r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2.(3)过圆x2y2r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0xy0yr2.2.直线被圆截得的弦长的求法(1)几何法：运用弦心距d、半径r和弦长的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|2.(2)代数法：设直线ykxm与圆x2y2DxEyF0相交于点M，N，将直线方程代入圆的
3、方程中，消去y，得关于x的一元二次方程，求出xMxN和xMxN，则|MN|.诊 断 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)“k1”是“直线xyk0与圆x2y21相交”的必要不充分条件.()(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.()(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.()(4)过圆O：x2y2r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0xy0yr2.()解析(1)“k1”是“直线xyk0与圆x2y21相交”的充分不必要条件；(2)除外切外，还有可能内切；(3)两圆还可能内切或
4、内含.答案(1)(2)(3)(4)2.(老教材必修2P132A5改编)直线l：3xy60与圆x2y22x4y0相交于A，B两点，则|AB|_.解析由x2y22x4y0得(x1)2(y2)25，所以该圆的圆心坐标为(1，2)，半径r.又圆心(1，2)到直线3xy60的距离为d，由r2d2，得|AB|210，即|AB|.答案3.(老教材必修2P133A9改编)圆x2y240与圆x2y24x4y120的公共弦长为_.解析由得两圆公共弦所在直线方程xy20.又圆x2y24的圆心到直线xy20的距离为.由勾股定理得弦长的一半为，所以，所求弦长为2.答案24.(2019太原模拟)若圆C1：x2y21与圆C
5、2：x2y26x8ym0外切，则m()A.21 B.19 C.9 D.11解析圆C1的圆心为C1(0，0)，半径r11，因为圆C2的方程可化为(x3)2(y4)225m，所以圆C2的圆心为C2(3，4)，半径r2(m25).从而|C1C2|5.由两圆外切得|C1C2|r1r2，即15，解得m9.答案C5.(2020合肥质检)已知直线l：xya0与圆C：(x3)2(y)24交于点M，N，点P在圆C上，且MPN，则a的值为()A.2或10 B.4或8C.62 D.62解析因为圆的半径是r2，圆心坐标是C(3，)，MPN，且P在圆C上，所以MCN，则|MN|2.又点C到直线l的距离d，d2r2，所以
6、()24，则a62，即a4或8.答案B6.(多填题)(2019浙江卷)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2xy30与圆C相切于点A(2，1)，则m_，r_.解析根据题意画出图形，可知A(2，1)，C(0，m)，B(0，3)，则|AB|2，|AC|，|BC|m3|.直线2xy30与圆C相切于点A，BAC90，|AB|2|AC|2|BC|2.即204(m1)2(m3)2，解得m2.因此r|AC|.答案2考点一直线与圆的位置关系多维探究角度1位置关系的判断【例11】 在ABC中，若asin Absin Bcsin C0，则圆C：x2y21与直线l：axbyc0的位置关系是()A.相切
7、 B.相交 C.相离 D.不确定解析因为asin Absin Bcsin C0，所以由正弦定理得a2b2c20.故圆心C(0，0)到直线l：axbyc0的距离d1r，故圆C：x2y21与直线l：axbyc0相切，故选A.答案A规律方法判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系.(2)代数法：联立方程之后利用判断.(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题.角度2弦长问题【例12】 (2020中原名校联盟联考)设圆x2y22x2y20的圆心为C，直线l过(0，3)，且与圆C交于A，B
8、两点，若|AB|2，则直线l的方程为()A.3x4y120或4x3y90B.3x4y120或4x3y90C.4x3y90或x0D.3x4y120或x0解析当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x0，由得或|AB|2，符合题意.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为ykx3，由已知可得圆的标准方程为(x1)2(y1)24，其圆心为C(1，1)，半径r2，圆心C(1，1)到直线kxy30的距离d，d2r2，4，即(k2)2k21，解得k，直线l的方程为yx3，即3x4y120.综上，满足题意的直线l的方程为x0或3x4y120，故选D.答案D规律方法弦长的两种求法(1)代数方法：将直线和圆的方程联
9、立方程组，消元后得到一个一元二次方程.在判别式0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长.(2)几何方法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l2.【训练1】 (1)(角度1)(2019西安八校联考)若过点A(3，0)的直线l与曲线(x1)2y21有公共点，则直线l斜率的取值范围为()A.(，) B.，C.(，) D.(2)(角度2)(2018全国卷)直线yx1与圆x2y22y30交于A，B两点，则|AB|_.解析(1)数形结合可知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为yk(x3)，则圆心(1，0)到直线yk(x3)的距离应小于等于半径1，即1，解得k.(2)由题意知圆的方程为x2(y1
10、)24，所以圆心坐标为(0，1)，半径为2，则圆心到直线yx1的距离d，所以|AB|22.答案(1)D(2)2考点二圆的切线问题典例迁移【例2】 (经典母题)过点P(2，4)引圆C：(x1)2(y1)21的切线，则切线方程为_.解析当直线的斜率不存在时，直线方程为x2，此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为y4k(x2)，即kxy42k0，直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，即d1，解得k，所求切线方程为xy420，即4x3y40.综上，切线方程为x2或4x3y40.答案x2或4x3y40【迁移1】 在例2中，若点P坐标变为，其他条件不变，
11、求切线方程.解易知点P在圆C：(x1)2(y1)21上，则kPC1，所求切线方程的斜率为1，则切线方程为y，即xy20.【迁移2】 在例2中，已知条件不变，设两个切点为A，B，求切点弦AB所在的直线方程.解由题意得，点P，A，C，B在以PC为直径的圆上，此圆的方程为(x2)(x1)(y4)(y1)0，整理得x2y23x5y60，圆C：(x1)2(y1)21展开得x2y22x2y10，由得x3y50，即为直线AB的方程.【迁移3】 (多填题)在例2中，已知条件不变，则切线PA的长度为_，弦AB的长度为_.解析如图，在RtPAC中，|PA|3.又|PA|AC|PC|，解之得|AB|.答案3规律方法
12、求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求直线方程.若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时注意斜率不存在的切线.【训练2】 过直线y2x3上的点作圆C：x2y24x6y120的切线，则切线长的最小值为()A. B.2 C. D.解析圆的方程可化为(x2)2(y3)21，要使切线长最小，只需直线y2x3上的点和圆心之间的距离最短，此最小值即为圆心(2，3)到直线y2x3的距离d，d2，故切线长的最小值为.答案A考点三圆与圆的位置关系【例3】 (2020贵阳调研)已知两圆x2y22x6y10，x2y210x12ym0.(1)m取何值时
13、两圆外切？(2)m取何值时两圆内切？(3)当m45时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.解因为两圆的标准方程分别为(x1)2(y3)211，(x5)2(y6)261m，所以两圆的圆心分别为(1，3)，(5，6)，半径分别为，(1)当两圆外切时，由，得m2510.(2)当两圆内切时，因为定圆半径小于两圆圆心之间的距离5，所以5，解得m2510.(3)由(x2y22x6y1)(x2y210x12y45)0，得两圆的公共弦所在直线的方程为4x3y230.故两圆的公共弦的长为22.规律方法1.判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法.2.若
14、两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到.【训练3】 已知圆M：x2y22ay0(a0)截直线xy0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x1)2(y1)21的位置关系是()A.内切 B.相交 C.外切 D.相离解析由题意得圆M的标准方程为x2(ya)2a2，圆心(0，a)到直线xy0的距离d，所以22，解得a2，圆M，圆N的圆心距|MN|小于两圆半径之和12，大于两圆半径之差1，故两圆相交.答案BA级基础巩固一、选择题1.若直线l：xym0与圆C：x2y24x2y10恒有公共点，则m的取值范围是()A.， B.2，2C.1，1 D.21，21解析圆C的标准方程
15、为(x2)2(y1)24，圆心为(2，1)，半径为2，圆心到直线的距离d，若直线与圆恒有公共点，则2，解得21m21，故选D.答案D2.(2020沈阳质检)“k”是“直线l：yk(x2)与圆x2y21相切”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析若直线l与圆相切，则有1，解得k，所以“k”是“直线l：yk(x2)与圆x2y21相切”的充分不必要条件，故选A.答案A3.(2020广州调研)已知圆x2y22x2ya0截直线xy20所得的弦的长度为4，则实数a的值是()A.2 B.4 C.6 D.8解析将圆的方程化为标准方程为(x1)2(y1)22a，所
16、以圆心为(1，1)，半径r，圆心到直线xy20的距离d，故r2d24，即2a24，所以a4.故选B.答案B4.圆x22xy24y30上到直线xy10的距离为的点共有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个解析圆的方程可化为(x1)2(y2)28，圆心(1，2)到直线的距离d，半径是2，结合图形(图略)可知有3个符合条件的点.答案C5.过点P(1，2)作圆C：(x1)2y21的两条切线，切点分别为A，B，则AB所在直线的方程为()A.y B.yC.y D.y解析由题意知，点P，A，C，B在以PC为直径的圆上，易求得这个圆为(x1)2(y1)21，此圆的方程与圆C的方程作差可得AB所在直线的方程
17、为y.答案B二、填空题6.过点(3，1)作圆(x2)2(y2)24的弦，其中最短弦的长为_.解析设P(3，1)，圆心C(2，2)，则|PC|，半径r2.由题意知最短的弦过P(3，1)且与PC垂直，所以最短弦长为22.答案27.若A为圆C1：x2y21上的动点，B为圆C2：(x3)2(y4)24上的动点，则线段AB长度的最大值是_.解析圆C1：x2y21的圆心为C1(0，0)，半径r11，圆C2：(x3)2(y4)24的圆心为C2(3，4)，半径r22，|C1C2|5.又A为圆C1上的动点，B为圆C2上的动点，线段AB长度的最大值是|C1C2|r1r25128.答案88.(2020石家庄质检)已
18、知直线x2ya0与圆O：x2y22相交于A，B两点(O为坐标原点)，且AOB为等腰直角三角形，则实数a的值为_.解析因为直线x2ya0与圆O：x2y22相交于A，B两点(O为坐标原点)，且AOB为等腰直角三角形，所以O到直线AB的距离为1，由点到直线的距离公式可得1，所以a.答案或三、解答题9.已知圆C：(x1)2(y2)210，求满足下列条件的圆的切线方程；(1)与直线l1：xy40平行；(2)与直线l2：x2y40垂直；(3)过切点A(4，1).解(1)设切线方程为xyb0，则，b12，切线方程为xy120.(2)设切线方程为2xym0，则，m5，切线方程为2xy50.(3)kAC，过切点
19、A(4，1)的切线斜率为3，过切点A(4，1)的切线方程为y13(x4)，即3xy110.10.已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x2)2(y3)21交于M，N两点.(1)求k的取值范围；(2)若12，其中O为坐标原点，求|MN|.解(1)易知圆心坐标为(2，3)，半径r1，由题设，可知直线l的方程为ykx1，因为l与C交于两点，所以1.解得k0)所得的弦长为，点M，N在圆上，且直线l：(12m)x(m1)y3m0过定点P，若PMPN，则|MN|的取值范围为()A.2，2 B.2，2C.， D.，解析由题意：2，解得r2，因为直线l：(12m)x(m1)y3m0过定点P，故P(1
20、，1)；设MN的中点为Q(x，y)，则|OM|2|OQ|2|MQ|2|OQ|2|PQ|2，即4x2y2(x1)2(y1)2，化简可得，所以点Q的轨迹是以为圆心，为半径的圆，所以|PQ|的取值范围为，|MN|的取值范围为，.故选D.答案D13.(2020长沙调研)在平面直角坐标系xOy中，若圆C1：x2(y1)2r2(r0)上存在点P，且点P关于直线xy0的对称点Q在圆C2：(x2)2(y1)21上，则r的取值范围是_.解析圆C1关于直线xy0对称的圆C3的方程为(x1)2y2r2，则圆C3与圆C2存在公共点，所以|r1|r1，所以r1，1.答案1，114.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以
21、M为圆心的圆M：x2y212x14y600及其上一点A(2，4).(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x6上，求圆N的标准方程；(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且|BC|OA|，求直线l的方程；(3)设点T(t，0)满足：存在圆M上的两点P和Q，使得，求实数t的取值范围.解(1)圆M的方程化为标准形式为(x6)2(y7)225，圆心M(6，7)，半径r5，由题意，设圆N的方程为(x6)2(yb)2b2(b0).且b5.解得b1，圆N的标准方程为(x6)2(y1)21.(2)kOA2，可设l的方程为y2xm，即2xym0.又|BC|OA|2.由题意，圆M的圆心M(6，7)到直线l的距离为d2.即2，解得m5或m15.直线l的方程为y2x5或y2x15.(3)由，则四边形AQPT为平行四边形，又P，Q为圆M上的两点，|PQ|2r10.|TA|PQ|10，即10，解得22t22.故所求t的取值范围为22，22.C级创新猜想15.(多选题)已知圆O1的方程为x2y21，圆O2的方程为(xa)2y24，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么a的取值可以是()A.1 B.3 C.1 D.3解析由题意得两圆的圆心距d|a|213或d|a|211，解得a3或a3或a1或a1，所以a的所有取值构成的集合是1，1，3，3.答案ABCD
