1、学业分层测评(四)学业达标1.求出ABC在矩阵作用下得到的图形，并画出示意图，其中A(0，0)，B(1，)，C(0，2).【解】因为，所以ABC在矩阵作用下变换得到的图形为ABC，其中A(0，0)，B(1，)，C(，1)，这是一个旋转变换，示意图如图所示.2.(1)直线xy3在矩阵作用下变成什么图形？(2)正方形ABCD在矩阵M作用下变成什么图形？这里A(1，1)，B(1，1)，C(1，1)，D(1，1).【解】(1)直线xy3在矩阵作用下变成直线x3.(2)在矩阵M对应变换下，AA(2，1)，BB(0，1)，CC(2，1)，DD(0，1)，则变换所成图形为平行四边形ABCD，如图.3.椭圆y
2、21在矩阵对应的变换作用下得到什么图形？【解】设(x，y)为椭圆y21上的任意一点，则有x29.因为，所以矩阵使得椭圆上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为0，所以椭圆y21在矩阵对应的变换作用下得到的图形是线段y0(3x3)，即椭圆长轴.4.在平面直角坐标系xOy内有一点P(2，3)，将该点沿平行于直线x2y0的方向投影到x轴上，求P(2，3)在此投影变换下得到的点P的坐标.【解】设P(2，3)在此投影变换下得到的点为P(x，y)，则由题意知即，从而可知此投影变换对应的矩阵为，由，可知点P的坐标为(8，0).5.如图224所示，已知ABC在变换T的作用下变成ABC，试求变换T对应的矩阵M. 【导
3、学号：30650020】图224【解】从ABC到ABC对应的是x轴方向上的切变变换，因为A、B在x轴上，原地不变，注意到C(1，1)C(1，1)，由此可知这个变换对应的矩阵为.6.如图225所示，已知矩形ABCD在变换T的作用下变成图形ABCD，试求变换T对应的矩阵M.图225【解】从图可以看出，T是一个切变变换，且T：.故T对应的变换矩阵为M.我们可以进行如下验证：，.所以矩形ABCD在矩阵的作用下变成了平行四边形ABCD.7.试分析平面上的变换将平面上的点沿垂直于直线yx的方向投影到直线yx上的矩阵表示.【解】不妨设P(x，y)是平面上的任意一点，则它关于直线yx对称的点P的坐标为P(y，
4、x)，PP的连线一定垂直于直线yx，且交点为Q，如图所示.根据题意，该变换即为.因此，将平面上的点沿垂直于直线yx的方向投影到直线yx上的变换的矩阵表示为. 能力提升8.运用旋转矩阵对应变换，求解下列问题：(1)求曲线xy2逆时针方向绕原点旋转90所成的曲线方程.(2)求圆x2y21绕原点逆时针旋转后得到的曲线方程. 【导学号：30650021】【解】(1)旋转变换矩阵为：，设xy2上任意一点(x0，y0)旋转变换后为(x0，y0)，则，所以故y0(x0)2，即旋转所成的曲线方程为yx2.(2)设x2y21上的动点P(x，y)经过变换后得新曲线上的点为P(x，y).则有，故从而代入x2y21得(xcos ysin )2(xsin ycos )21，即x2y21.故所求曲线方程为x2y21.
