1、习题课机械能守恒定律目标定位1.进一步理解机械能守恒的条件及其判定2能灵活应用机械能守恒定律的三种表达方式列方程3在多个物体组成的系统中，会应用机械能守恒定律解决相关问题4明确机械能守恒定律和动能定理的区别1机械能守恒定律的内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变2机械能守恒的条件：只有重力或系统内弹力做功3对机械能守恒条件的理解(1)只受重力(或弹力)作用，例如在不考虑空气阻力的情况下的各种抛体运动，物体的机械能守恒(2)存在其他力，但其他力不做功，只有重力或系统内的弹力做功(3)除重力、弹力外其他力做功，但做功的代数和为零4机械能守恒定律的表达式
2、(1)守恒观点：Ek1Ep1Ek2Ep2(2)转化观点：Ek增Ep减(3)转移观点：EA增EB减5动能定理：在一个过程中合力对物体做的功，等于物体在这个过程中动能的变化一、机械能是否守恒的判断1利用机械能的定义判断：分析动能和势能的和是否变化2用做功判断：分析物体受力情况(包括内力和外力)，明确各力做功的情况，若对物体或系统只有重力或弹力做功，没有其他力做功或其他力做功的代数和为零，则机械能守恒3用能量转化来判断：若系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则系统机械能守恒4对多个物体组成的系统，除考虑外力是否只有重力做功外，还要考虑系统内力做功，如有滑动摩擦力做功时，因有
3、摩擦热产生，系统机械能将有损失【例1】图1如图1所示，细绳跨过定滑轮悬挂两物体M和m，且Mm，不计摩擦，系统由静止开始运动的过程中()AM、m各自的机械能分别守恒BM减少的机械能等于m增加的机械能CM减少的重力势能等于m增加的重力势能DM和m组成的系统机械能守恒答案BD解析M下落过程，绳的拉力对M做负功，M的机械能减少；m上升过程，绳的拉力对m做正功，m的机械能增加，A错误；对M、m组成的系统，机械能守恒，易得B、D正确；M减少的重力势能并没有全部用于m重力势能的增加，还有一部分转变成M、m的动能，所以C错误二、多物体组成的系统的机械能守恒问题1多个物体组成的系统，就单个物体而言，机械能一般不
4、守恒，但就系统而言机械能往往是守恒的2对系统列守恒方程时常有两种表达形式：Ek1Ep1Ek2Ep2或Ek增Ep减，运用式需要选取合适的参考平面，运用式无需选取参考平面，只要判断系统内能的增加量和减少量即可所以处理多物体组成系统问题用第式较为方便3注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系【例2】图2如图2所示，质量为m的木块放在光滑的水平桌面上，用轻绳绕过桌边的光滑定滑轮与质量为M的砝码相连已知M2m，让绳拉直后使砝码从静止开始下降h的距离(未落地)时，木块仍没离开桌面，则砝码的速度为多少？答案解析解法一：用E初E末求解设砝码开始离桌面的距离为x，取桌面所在的水平面为参考面，则系统的初
5、始机械能E初Mgx，系统的末机械能E末Mg(xh)(Mm)v2.由E初E末得：MgxMg(xh)(Mm)v2，解得v.解法二：用Ek增Ep减求解在砝码下降h的过程中，系统增加的动能为Ek增(Mm)v2，系统减少的重力势能Ep减Mgh，由Ek增Ep减得：(Mm)v2Mgh，解得v.借题发挥利用Ek1Ep1Ek2Ep2解题必须选择参考平面，而用Ek增Ep减解题无需选参考平面，故多物体组成系统问题用Ek增Ep减列式较为方便针对训练图3如图3所示，在一长为2L不可伸长的轻杆两端各固定一质量为2m与m的小球A、B，系统可绕过轻杆的中点且垂直纸面的固定转轴O转动初始时轻杆处于水平状态，无初速度释放后轻杆转
6、动，当轻杆转至竖直位置时，求小球A的速率答案解析A球和B球组成的系统机械能守恒由机械能守恒定律，得：2mgLmgLmv(2m)v又vAvB由解得vA.三、机械能守恒定律和动能定理的应用比较1机械能守恒定律反映的是物体初、末状态的机械能间的关系，且守恒是有条件的，而动能定理揭示的是物体动能的变化跟引起这种变化的合外力功之间的关系，既关心初末状态的动能，也必须认真分析对应这两个状态间经历的过程中力做功的情况2动能定理与机械能守恒的选用思路(1)从研究对象看出，动能定理主要用于单个质点，而机械能守恒定律运用于系统(2)从做功角度看，除重力和系统内的弹力做功外，有其它力参与做功选用动能定理没有其它力参
7、与做功对系统可以选用机械能守恒定律，也可以选用动能定理【例3】图4如图4所示，在长为L的轻杆中点A和端点B各固定一质量为m的球，杆可绕无摩擦的轴O转动，使杆从水平位置无初速度释放求当杆转到竖直位置时，轻杆对A、B两球分别做了多少功？答案0.2mgL0.2mgL解析设当杆转到竖直位置时，A球和B球的速度分别为vA和vB.如果把轻杆、两球组成的系统作为研究对象，因为机械能没有转化为其它形式的能，故系统机械能守恒，可得：mgLmgLmvmv因A球与B球在各个时刻对应的角速度相同，故vB2vA由以上二式得：vA，vB.根据动能定理，可解出杆对A、B做的功对A有：WAmgmv0，所以WA0.2mgL.对
8、B有：WBmgLmv0，所以WB0.2mgL.机械能是否守恒的判断1关于机械能守恒定律的适用条件，以下说法中正确的是()A只有重力和弹力作用时，机械能才守恒B当有其他外力作用时，只要合外力为零，机械能就守恒C当有其他外力作用时，只要除重力以外的其他外力做功为零，机械能就守恒D炮弹在空中飞行时，不计空气阻力，仅受重力作用，所以炮弹爆炸前后机械能守恒答案C解析机械能守恒的条件是“物体系统内只有重力或弹力做功”，不是“只有重力和弹力作用”，应该知道作用和做功是两个完全不同的概念，有力不一定做功，故A项错误；合外力为零，物体的加速度为零，是物体处于静止或做匀速直线运动的另一种表达，不是机械能守恒的条件
9、，故B项错误；有其他外力作用，且重力、弹力外的其他力做功为零时，机械能守恒，故C项正确；炮弹爆炸时，化学能转化为炮弹的内能和动能，机械能是不守恒的，故D项错误故选C.多物体组成的系统的机械能守恒问题2.图5 如图5所示，一根很长的、不可伸长的柔软轻绳跨过光滑定滑轮，轻绳两端各系一小球a和b，a球质量为m，静置于地面；b球质量为3m，用手托住，离地面高度为h，此时轻绳刚好拉紧，从静止开始释放b后，a可能达到的最大高度为()Ah B1.5hC2h D2.5h答案B解析释放b后，在b到达地面之前，a向上加速运动，b向下加速运动，a、b系统的机械能守恒，若b落地瞬间速度为v，取地面所在平面为参考平面，
10、则3mghmghmv2(3m)v2，可得v.b落地后，a向上以速度v做竖直上抛运动，能够继续上升的高度h.所以a能达到的最大高度为1.5h，B正确机械能守恒定律和动能定理的比较应用图63. 如图6所示，某人以v04 m/s的速度斜向上(与水平方向成25角)抛出一个小球，小球落地时速度为v8 m/s，不计空气阻力，求小球抛出时的高度h.甲、乙两位同学看了本题的参考解法“mghmv2mv”后争论了起来甲说此解法依据的是动能定理，乙说此解法依据的是机械能守恒定律，你对甲、乙两位同学的争论持什么观点，请简单分析，并求出抛出时的高度h.(g取10 m/s2)答案见解析解析甲、乙两位同学的说法均正确从抛出
11、到落地，重力做功mgh，动能增加mv2mv，由动能定理可知mghmv2mv，所以甲说法对从抛出到落地，重力势能减少mgh，动能增加mv2mv，由机械能守恒定律mghmv2mv，乙说法也对h m2.4 m.4.图7 如图7所示是一个横截面为半圆、半径为R的光滑柱面，一根不可伸长的细线两端分别系着物体A、B，且mA2mB，由图示位置从静止开始释放A物体，当物体B达到圆柱顶点时，求绳的张力对物体B所做的功答案mBgR解析本题要求出绳的张力对物体B做的功，关键求出物体B到达圆柱顶点的动能由于柱面是光滑的，故系统的机械能守恒，系统重力势能的减少量等于系统动能的增加量系统重力势能的减少量为：EpmAgmB
12、gR，系统动能的增加量为Ek(mAmB)v2由EpEk得v2(1)gR绳的张力对B做的功：WmBv2mBgRmBgR.(时间：60分钟)题组一机械能是否守恒的判断1下列物体中，机械能守恒的是 ()A做平抛运动的物体B被匀速吊起的集装箱C光滑曲面上自由运动的物体D物体以g的加速度竖直向上做匀减速运动答案AC解析物体做平抛运动或沿光滑曲面自由运动时，不受摩擦力，在曲面上弹力不做功，只有重力做功，机械能守恒；匀速吊起的集装箱，动能不变，势能增加，机械能不守恒；物体以g的加速度向上做匀减速运动时，由牛顿第二定律mgFmg，有Fmg，则物体受到竖直向上的大小为mg的外力作用，该力对物体做了正功，机械能不
13、守恒，故选A、C.2在下面列举的各例中，若不考虑阻力作用，则物体的机械能发生变化的是()A用细杆拴着一个物体，以杆的另一端为固定轴，使物体在光滑水平面上做匀速圆周运动B细杆拴着一个物体，以杆的另一端为固定轴，使物体在竖直平面内做匀速圆周运动C物体沿光滑的曲面自由下滑D用一沿固定斜面向上、大小等于物体所受摩擦力的拉力作用在物体上，使物体以一定的初速度沿斜面向上运动答案B解析物体若在水平面内做匀速圆周运动，动能、势能均不变，物体的机械能不变；物体在竖直平面内做匀速圆周运动，动能不变，势能改变，故物体的机械能发生变化；物体沿光滑的曲面自由下滑，只有重力做功，机械能守恒；用一沿固定斜面向上、大小等于物
14、体所受摩擦力的拉力作用在物体上，使物体以一定的初速度沿斜面向上运动时，除重力以外的力做功之和为零，物体的机械能守恒，故选B.3.图8 木块静止挂在绳子下端，一子弹以水平速度射入木块并留在其中，再与木块一起共同摆到一定高度，如图8所示，从子弹开始入射到共同上摆到最大高度的过程中，下面说法正确的是()A子弹的机械能守恒B木块的机械能守恒C子弹和木块的总机械能守恒D以上说法都不对答案D解析子弹打入木块的过程中，子弹克服摩擦力做功产生热能，故系统机械能不守恒题组二多物体组成的系统的机械能守恒问题4.图9 如图9，物体从某一高度自由下落到竖直立于地面的轻质弹簧上在a点时物体开始与弹簧接触，到b点时物体速
15、度为零则从a到b的过程中，物体()A动能一直减小B重力势能一直减小C所受合外力先增大后减小D动能和重力势能之和一直减小答案BD解析物体刚接触弹簧一段时间内，物体受到竖直向下的重力和竖直向上的弹力，且弹力小于重力，所以物体的合外力向下，物体做加速运动，在向下运动的过程中弹簧的弹力越来越大，所以合力越来越小，即物体做加速度减小的加速运动，当弹力等于重力时，物体的速度最大，之后弹力大于重力，合力向上，物体做减速运动，因为物体速度仍旧向下，所以弹簧的弹力仍旧增大，所以合力在增大，故物体做加速度增大的减速运动，到b点时物体的速度减小为零，所以过程中物体的速度先增大再减小，即动能先增大后减小，A错误；从a
16、点到b点物体一直在下落，重力做正功，所以物体的重力势能在减小，B正确；所受合外力先减小后增大，C错误；过程中物体的机械能转化为弹簧的弹性势能，所以D正确5. 内壁光滑的环形凹槽半径为R，固定在竖直平面内，一根长度为R的轻杆，一端固定有质量m的小球甲，另一端固定有质量为2m的小球乙现将两小球放入凹槽内，小球乙位于凹槽的最低点如图10所示，由静止释放后 ()图10A下滑过程中甲球减少的机械能总是等于乙球增加的机械能B下滑过程中甲球减少的重力势能总是等于乙球增加的重力势能C甲球可沿凹槽下滑到槽的最低点D杆从右向左滑回时，乙球一定不能回到凹槽的最低点答案A解析环形槽光滑，甲、乙组成的系统在运动过程中只
17、有重力做功，故系统机械能守恒，下滑过程中甲减少的机械能总是等于乙增加的机械能，甲、乙系统减少的重力势能等于系统增加的动能；甲减少的重力势能等于乙增加的势能与甲、乙增加的动能之和；由于乙的质量较大，系统的重心偏向乙一端，由机械能守恒，知甲不可能滑到槽的最低点，杆从右向左滑回时乙一定会回到槽的最低点6.图11 如图11所示，mA2mB，不计摩擦阻力，物体A自H高处由静止开始下落，且B物体始终在水平台面上若以地面为零势能面，则当物体A的动能与其势能相等时，物体A距地面的高度是()A. B.C. D.答案B解析A、B组成的系统机械能守恒设物体A的动能与其势能相等时，物体A距地面的高度是h，A的速度为v
18、.则有mAghmAv2，即v22gh.从开始到A距地面的高度为h的过程中，A减少的重力势能为EpmAg(Hh)2mBg(Hh)系统增加的动能为Ek(mAmB)v23mB2gh3mBgh.由EpEk，得hH.7.图12 有一竖直放置的“T”形架，表面光滑，滑块A、B分别套在水平杆与竖直杆上，A、B用一不可伸长的轻细绳相连，A、B质量相等，且可看做质点，如图12所示，开始时细绳水平伸直，A、B静止由静止释放B后，已知当细绳与竖直方向的夹角为60时，滑块B沿着竖直杆下滑的速度为v，则连接A、B的绳长为()A. B.C. D.答案D解析由运动的合成与分解可知滑块A和B在绳长方向的速度大小相等，有vAs
19、in 60vBcos 60，解得vAv，将滑块AB看成一系统，系统的机械能守恒，设滑块B下滑的高度为h，有mghmvmv，解得h，由几何关系可知绳子的长度为L2h，故选项D正确题组三综合题组图138. 如图13所示，现有两个完全相同的可视为质点的物块都从静止开始运动，一个自由下落，一个沿光滑的固定斜面下滑，最终它们都到达同一水平面上，空气阻力忽略不计，则()A重力做的功相等，重力做功的平均功率相等B它们到达水平面上时的动能相等C重力做功的瞬时功率相等D它们的机械能都是守恒的答案BD解析两物体从同一高度下落，根据机械能守恒定律知，它们到达水平面上时的动能相等，自由下落的物体先着地，重力做功的平均
20、功率大，而着地时重力做功的瞬时功率等于重力与重力方向上的速度的乘积，故重力做功的瞬时功率不相等，选BD.9.图14 如图14所示，质量为m2 kg的小球系在轻弹簧的一端，另一端固定在悬点O处，将弹簧拉至水平位置A处由静止释放，小球到达距O点下方h0.5 m处的B点时速度为2 m/s.求小球从A运动到B的过程中弹簧弹力做的功(g取10 m/s2)答案6 J解析对小球和弹簧组成的系统，只有重力和弹簧的弹力做功，故机械能守恒，小球减少的重力势能转化为系统的动能和弹性势能，所以mghmv2E弹，E弹mghmv26 J，W弹6 J.即弹簧弹力对小球做功为6 J.10.图15 如图15所示，AB是竖直面内
21、的四分之一圆弧形光滑轨道，下端B点与水平直轨道相切一个小物块自A点由静止开始沿轨道下滑，已知轨道半径为R0.2 m，小物块的质量为m0.1 kg，小物块与水平面间的动摩擦因数0.5，g取10 m/s2.求：(1)小物块在B点时受到的圆弧轨道的支持力；(2)小物块在水平面上滑动的最大距离答案(1)3 N(2)0.4 m解析(1)由机械能守恒定律，得mgRmv，在B点FNmgm，联立以上两式得FN3mg30.110 N3 N.(2)设小物块在水平面上滑动的最大距离为l，对小物块运动的整个过程由动能定理得mgRmgl0，代入数据得l m0.4 m.11(2013福建)图16 如图16，一不可伸长的轻
22、绳上端悬挂于O点，下端系一质量m1.0 kg的小球现将小球拉到A点(保持绳绷直)由静止释放，当它经过B点时绳恰好被拉断，小球平抛后落在水平地面上的C点地面上的D点与OB在同一竖直线上，已知绳长L1.0 m，B点离地高度H1.0 m，A、B两点的高度差h0.5 m，重力加速度g取10 m/s2，不计空气影响，求：(1)地面上DC两点间的距离s；(2)轻绳所受的最大拉力大小答案(1)1.41 m(2)20 N解析(1)小球从A到B的过程中机械能守恒，有：mghmv，小球从B到C做平抛运动，在竖直方向上有：Hgt2，在水平方向上有：svBt，联立解得：s1.41 m(2)小球下摆到达B点时，绳的拉力
23、和重力的合力提供向心力，有：Fmgm联立解得：F20 N根据牛顿第三定律，FF，轻绳所受的最大拉力大小为20 N.12如图17所示，半径为R的光滑半圆弧轨道与高为10R的光滑斜轨道放在同一竖直平面内，两轨道之间由一条光滑水平轨道CD相连，水平轨道与斜轨道间有一段圆弧过渡在水平轨道上，轻质弹簧被a、b两小球挤压，处于静止状态同时释放两个小球，a球恰好能通过圆弧轨道的最高点A，b球恰好能到达斜轨道的最高点B.已知a球质量为m1，b球质量为m2，重力加速度为g.求：图17(1)a球离开弹簧时的速度大小va；(2)b球离开弹簧时的速度大小vb；(3)释放小球前弹簧的弹性势能Ep.答案(1)(2)(3)gR解析(1)由a球恰好能到达A点知m1gm1由机械能守恒定律得m1vm1vm1g2R得va.(2)对于b球由机械能守恒定律得：m2vm2g10R得vb.(3)由机械能守恒定律得Epm1vm2v得EpgR.
