1、2.3.2等比数列的前n项和第1课时等比数列的前n项和1.掌握等比数列的前n项和公式及其应用.(重点)2.会用错位相减法求数列的和.(难点)3.能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题.基础初探教材整理等比数列的前n项和阅读教材P48P50，完成下列问题.等比数列的前n项和公式1.设an是公比为正数的等比数列，若a11，a516，则数列an前7项的和为_.【解析】a5a1q4，q2.q0，q2，S7127.【答案】1272.在等比数列an中，a12，S326，则公比q_.【解析】S326，q2q120，q3或4.【答案】3或43.等比数列an中，公比q2，S544，则a1_.【解析】
2、由S544，得a14.【答案】44.设Sn为等比数列an的前n项和，8a2a50，则_.【解析】由8a2a50，得8，即q38，所以q2.11.【答案】11小组合作型等比数列的前n项和公式的基本运算在等比数列an中，(1)若Sn189，q2，an96，求a1和n；(2)若a3，S3，求a1和公比q.【精彩点拨】利用等比数列的前n项和公式及通项公式，列出方程组求相应各个量.【自主解答】(1)法一：由Sn，ana1qn1以及已知条件得a12n192，2n.189a1(2n1)a1，a13.又2n132，n6.法二：由公式Sn及条件得189，解得a13，又由ana1qn1，得9632n1，解得n6.
3、(2)当q1时，S3，又a3a1q2，a1(1qq2)，即(1qq2)，解得q(q1舍去)，a16.当q1时，S33a1，a1.综上得或1.在等比数列 an的五个量a1，q，an，n，Sn中，已知其中的三个量，通过列方程组求解，就能求出另外两个量，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用.2.在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q1或q1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论.再练一题1.在等比数列an中，(1)若q2，S41，求S8; 【导学号：18082035】(2)若a1a310，a4a6，求a4和S5.【解】(1)法一：设首项为a1，q2，S41，1，即a1，S817.法二：
4、S41，且q2，S8(1q4)S4(1q4)1(124)17.(2)设公比为q，由通项公式及已知条件得即a10,1q20，得，q3，即q，a18.a4a1q381，S5.等比数列前n项和公式的实际应用借贷10 000元，以月利率为1%，每月以复利计息借贷，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元？(1.0161.061,1.0151.051)【精彩点拨】解决等额还贷问题关键要明白以下两点(1)所谓复利计息，即把上期的本利和作为下一期本金，在计算时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式为SP(1r)n，其中P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本利和.(2)从
5、还贷之月起，每月还贷金额是构成等比数列还是等差数列，首项是什么，公比或公差是多少.【自主解答】法一：设每个月还贷a元，第1个月后欠款为a0元，以后第n个月还贷a元后，还剩下欠款an元(1n6)，则a010 000，a11.01a0a，a21.01a1a1.012a0(11.01)a，a61.01a5a1.016a011.011.015a.由题意，可知a60，即1.016a011.011.015a0，a.1.0161.061，a1 739.故每月应支付1 739元.法二：一方面，借款10 000元，将此借款以相同的条件存储6个月，则它的本利和为S1104(10.01)6104(1.01)6(元)
6、.另一方面，设每个月还贷a元，分6个月还清，到贷款还清时，其本利和为S2a(10.01)5a(10.01)4aa1.0161102(元).由S1S2，得a.以下解法同法一，得a1 739，故每月应支付1 739元.解数列应用题的具体方法步骤：(1)认真审题，准确理解题意，达到如下要求,明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列问题还是等比数列问题，还是含有递推关系的数列问题？是求an，还是求Sn？特别要注意准确弄清项数是多少.,弄清题目中主要的已知事项.(2)抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达(3)将实际问题抽象为数学问题
7、，将已知与所求联系起来，列出满足题意的数学关系式.再练一题2.为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2014年开始出口，当年出口a吨，以后每年出口量均比上一年减少10%.(1)以2014年为第一年，设第n年出口量为an吨，试求an的表达式；(2)因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区的出口，问2014年最多出口多少吨？(保留一位小数.参考数据：0.9100.35.)【解】(1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项a1a，公比q110%0.9，ana0.9n1(n1).(2)10年的出口总量S1010a(10.910).S1080，10a(10.9
8、10)80，即a ，a12.3，故2014年最多出口12.3吨.探究共研型错位相减法求和探究1由项数相等的等差数列n与等比数列2n相应项的积构成新的数列n2n是等比数列吗？是等差数列吗？该数列的前n项和Sn的表达式是什么？【提示】由等差数列及等比数列的定义可知数列n2n既不是等差数列，也不是等比数列.该数列的前n项和Sn的表达式为Sn121222323n2n.探究2在等式 Sn121222323n2n两边同乘以数列2n的公比后，该等式的变形形式是什么？认真观察两式的结构特征，你能将求Sn的问题转化为等比数列的前n项和问题吗？【提示】在等式Sn121222323n2n两边同乘以2n的公比可变形为
9、2Sn122223324(n1)2nn2n1得：Sn1212223242nn2n1(2122232n)n2n1.此时可把求Sn的问题转化为求等比数列2n的前n项和问题.我们把这种求由一个等差数列an和一个等比数列bn相应项的积构成的数列anbn前n项和的方法叫错位相减法.已知数列an的前n项和Sn3n28n，bn是等差数列，且anbnbn1.(1)求数列bn的通项公式；(2)令cn，求数列cn的前n项和Tn.【精彩点拨】(1)利用Sn与an的关系求出an，再利用待定系数法求出bn.(2)先化简cn，再利用错位相减法求和.【自主解答】(1)由题意知，当n2时，anSnSn16n5，当n1时，a1
10、S111，满足上式，所以an6n5.设数列bn的公差为d.由即可解得所以bn3n1.(2)由(1)知cn3(n1)2n1，又Tnc1c2cn，得Tn3222323(n1)2n1，2Tn3223324(n1)2n2，两式作差，得Tn322223242n1(n1)2n233n2n2，所以Tn3n2n2.错位相减法的适用范围及注意事项：(1)适用范围：它主要适用于an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和.(2)注意事项：利用“错位相减法”时，在写出Sn与qSn的表达式时，应注意使两式错对齐，以便于作差，正确写出(1q)Sn的表达式.利用此法时要注意讨论公比q是否等于1的情况.再练一题
11、3._.【解析】令Sn，则Sn，由得，Sn，得Sn2.【答案】1.数列 2n1的前99项和为()A.21001B.12100C.2991D.1299【解析】数列2n1为等比数列，首项为1，公比为2，故其前99项和为S992991.【答案】C2.等比数列an中，a33S22，a43S32，则公比q等于() 【导学号：18082036】A.2B.C.4D.【解析】a33S22，a43S32，等式两边分别相减得，a4a33a3即a44a3，q4.【答案】C 3.已知等比数列an中，q2，n5，Sn62，则a1_.【解析】q2，n5，Sn62，62，即62，a12.【答案】24.设等比数列an的前n项和为Sn，若S33a3，则公比q_.【解析】S3a1a2a33a3，a1a22a3，a10，1q2q2，即2q2q10，q或1.【答案】或15.已知an是公差为3的等差数列，数列bn满足b11，b2，anbn1bn1nbn.(1)求an的通项公式；(2)求bn的前n项和.【解】(1)由已知，a1b2b2b1，b11，b2，得a12.所以数列an是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为an3n1.(2)由(1)知anbn1bn1nbn，得bn1，因此bn是首项为1，公比为的等比数列.记bn的前n项和为Sn，则Sn.
