1、2abab3.4基本不等式:重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，我们有当且仅当a=b时，等号成立。222ababABCDE(FGH)abab22ba ADCBHFGE适用范围：a,bR0,0,ababa b如果我们用分别代替可得到什么结论？22()()2abab2abab 替换后得到：即：)0,0(ba2abab 即：2abab)0,0(ba证明不等式：2abab 证明：要证只要证_ab 要证，只要证_0ab 要证，只要证2(_)0显然,是成立的.当且仅当a=b时,中的等号成立.分析法22(0,0,(),()abaabb2abab)0,0(ba证明不等式：2 ab2 abba基本不等式：当
2、且仅当a=b时，等号成立.(0,0)2ababab适用范围：a0,b0我们把叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数；2abab代数意义：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.ABCDE如图,AB是圆的直径，C是AB上与A、B不重合的一点，AC=a,CB=b,过点C作垂直于AB的弦DE，连AD,BD,则OD=,CD=abab2ba=ACDCDCBC2DCBC ACabO探究几何意义几何意义：半径不小于弦长的一半RtACDRtDCB，2abab例1 若,求的最小值.10 xyxxmin0,12112xyxxxxyx解：当且仅当，即时，10.xyxx变式：若，求的最值变式 若,
3、求的最小值.10 xyxxmax0,0,1()1()22112xxyxxxyxxxyx 解：当且仅当，即时，例2 用篱笆围一个面积为100 的矩形菜园，问这 个矩形的长宽各为多少时，所用篱笆最短？最短的篱笆是多少？2m,x my m解：设矩形菜园的长为宽为2 10022()40 xyxyxyxy由可得：100,2()xyxy m则篱笆的长为xy当且仅当时等号成立，10 xy此时因此这个矩形的长、宽都为10m时，所用篱笆最短，最短篱笆是40m.例3用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长宽各为多少时，菜园面积最大？最大面积是多少？22,2()3618,18981229981.xx
4、my mxyxyxymxyxyxyxymmy 解：设矩形菜园的长为宽为则矩形菜园的面积为由，当且仅当可得：此时因此这个矩形的长、宽都为时，菜园面积最大，最时等号成立是，大面积已知 x,y 都是正数,P,S 是常数.(1)xy=P x+y2 P(当且仅当 x=y 时,取“=”号).(2)x+y=S xy S2(当且仅当 x=y 时,取“=”号).14利用基本不等式求函数的最值时需要同时满足以下三个条件：2abab(1),a babab均为；(2)与有一个为；(3)正数定值等号必须取到.简称为：一正、二定、三相等例4 若求的最小值120,3xyxxmin0,30,12312123212xxyxxx
5、xyx解：当且仅当，即时，=(x+1)+-11x+1 f(x)=x+1x+1=1,2 (x+1)-11x+1 当且仅当取“=”号.当 x=0 时,函数 f(x)的最小值是 1.x+1=,即 x=0 时,1x+1 解:1(1)5).1f xxxx 求函数的最小值例 x-1,x+10.构造积为定值，利用基本不等式求最值16.0,sinsinxyxx已知求函数的例最小值.min00sin111sin2 sin2sinsin1sin2sin2xxyxxxxxxyx 解：当且仅当，即时，40,sinsinxyxx 变式 已知求函数的最小值.x+(1-x)=1.解:0 x0.y=x(1-x)当且仅当x=1
6、-x,时,取“=”号.即 x=12当 x=时,函数 y=x(1-x)的最大值是.1214 01 7(1).xyx-x若，求函数的最大值例41)21(2 配凑系数分析:x+(1-2x)不是 常数.2=1为解:0 x0.12y=x(1-2x)=2x(1-2x)12 22x+(1-2x)21218=.当且仅当时,取“=”号.2x=(1-2x),即 x=14当 x=时,函数 y=x(1-2x)的最大值是.14181 0(1 2).28xyx-x若，求函数的最大值例构造和为定值，利用基本不等式求最值例9 求函数的最小值，及此时x的值。223()(0)xxf xxx解：，因为x0，3()1(2)f xxx
7、 3322 22 6xxxx()1 2 6f x 当且仅当，即时，式中等号成立。32xx232x 由于x0，所以，式中等号成立，62x 因此，此时min()1 2 6f x 62x 例10 判断下列命题是否正确12xRxx(1)若，则；10,0,2ababab(2)若则；(3)200yxxyxy不等式成立的条件是且；0,0,lglg2 lglgababab(4)若则课堂小结0,0,2ababab若那么1、本节课主要学习了基本不等式的证明与初步应用。2、注意公式的正向、逆向使用的条件以 及“=”成立的条件。（）若a,bR，那么a2+b22ab（当且仅当a=b时，取“=”号）（2）（当且仅当a=b时，取“=”号）3、会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题。
