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2020-2021学年人教A版(2019)高中数学必修第一册课件:2-2基本不等式(共19张PPT) .ppt

1、2abab3.4基本不等式:重要不等式:一般地,对于任意实数a、b,我们有当且仅当a=b时,等号成立。222ababABCDE(FGH)abab22ba ADCBHFGE适用范围:a,bR0,0,ababa b如果我们用分别代替可得到什么结论?22()()2abab2abab 替换后得到:即:)0,0(ba2abab 即:2abab)0,0(ba证明不等式:2abab 证明:要证只要证_ab 要证,只要证_0ab 要证,只要证2(_)0显然,是成立的.当且仅当a=b时,中的等号成立.分析法22(0,0,(),()abaabb2abab)0,0(ba证明不等式:2 ab2 abba基本不等式:当

2、且仅当a=b时,等号成立.(0,0)2ababab适用范围:a0,b0我们把叫做正数a,b的算术平均数,叫做正数a,b的几何平均数;2abab代数意义:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.ABCDE如图,AB是圆的直径,C是AB上与A、B不重合的一点,AC=a,CB=b,过点C作垂直于AB的弦DE,连AD,BD,则OD=,CD=abab2ba=ACDCDCBC2DCBC ACabO探究几何意义几何意义:半径不小于弦长的一半RtACDRtDCB,2abab例1 若,求的最小值.10 xyxxmin0,12112xyxxxxyx解:当且仅当,即时,10.xyxx变式:若,求的最值变式 若,

3、求的最小值.10 xyxxmax0,0,1()1()22112xxyxxxyxxxyx 解:当且仅当,即时,例2 用篱笆围一个面积为100 的矩形菜园,问这 个矩形的长宽各为多少时,所用篱笆最短?最短的篱笆是多少?2m,x my m解:设矩形菜园的长为宽为2 10022()40 xyxyxyxy由可得:100,2()xyxy m则篱笆的长为xy当且仅当时等号成立,10 xy此时因此这个矩形的长、宽都为10m时,所用篱笆最短,最短篱笆是40m.例3用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园,问这个矩形的长宽各为多少时,菜园面积最大?最大面积是多少?22,2()3618,18981229981.xx

4、my mxyxyxymxyxyxyxymmy 解:设矩形菜园的长为宽为则矩形菜园的面积为由,当且仅当可得:此时因此这个矩形的长、宽都为时,菜园面积最大,最时等号成立是,大面积已知 x,y 都是正数,P,S 是常数.(1)xy=P x+y2 P(当且仅当 x=y 时,取“=”号).(2)x+y=S xy S2(当且仅当 x=y 时,取“=”号).14利用基本不等式求函数的最值时需要同时满足以下三个条件:2abab(1),a babab均为;(2)与有一个为;(3)正数定值等号必须取到.简称为:一正、二定、三相等例4 若求的最小值120,3xyxxmin0,30,12312123212xxyxxx

5、xyx解:当且仅当,即时,=(x+1)+-11x+1 f(x)=x+1x+1=1,2 (x+1)-11x+1 当且仅当取“=”号.当 x=0 时,函数 f(x)的最小值是 1.x+1=,即 x=0 时,1x+1 解:1(1)5).1f xxxx 求函数的最小值例 x-1,x+10.构造积为定值,利用基本不等式求最值16.0,sinsinxyxx已知求函数的例最小值.min00sin111sin2 sin2sinsin1sin2sin2xxyxxxxxxyx 解:当且仅当,即时,40,sinsinxyxx 变式 已知求函数的最小值.x+(1-x)=1.解:0 x0.y=x(1-x)当且仅当x=1

6、-x,时,取“=”号.即 x=12当 x=时,函数 y=x(1-x)的最大值是.1214 01 7(1).xyx-x若,求函数的最大值例41)21(2 配凑系数分析:x+(1-2x)不是 常数.2=1为解:0 x0.12y=x(1-2x)=2x(1-2x)12 22x+(1-2x)21218=.当且仅当时,取“=”号.2x=(1-2x),即 x=14当 x=时,函数 y=x(1-2x)的最大值是.14181 0(1 2).28xyx-x若,求函数的最大值例构造和为定值,利用基本不等式求最值例9 求函数的最小值,及此时x的值。223()(0)xxf xxx解:,因为x0,3()1(2)f xxx

7、 3322 22 6xxxx()1 2 6f x 当且仅当,即时,式中等号成立。32xx232x 由于x0,所以,式中等号成立,62x 因此,此时min()1 2 6f x 62x 例10 判断下列命题是否正确12xRxx(1)若,则;10,0,2ababab(2)若则;(3)200yxxyxy不等式成立的条件是且;0,0,lglg2 lglgababab(4)若则课堂小结0,0,2ababab若那么1、本节课主要学习了基本不等式的证明与初步应用。2、注意公式的正向、逆向使用的条件以 及“=”成立的条件。()若a,bR,那么a2+b22ab(当且仅当a=b时,取“=”号)(2)(当且仅当a=b时,取“=”号)3、会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题。

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