1、导数学习需注意的几个关系导数是研究函数的有利工具，是高考的重要内容。在导数的学习中理解好下几个关系，将对导数概念的和本质的掌握有极其重要的作用。1、“过某点”和“在某点处“的关系例1过点（-1，0）作抛物线y=x2+x+1的切线，则其中一条切线为（ ）A 2x+y+2=0 B 3x-y+3=0 C x+y+1=0 D x-y+1=0错解：=2x+1 所以切线的斜率K=故切线方程为即x+y+1=0 点评“在某点处”的切线表明此点是切点，而“过某点”的切线不一定是切点。这里就忽视了二者的区别。正解：设切点坐标是，则切线斜率为k=2x0+1因为切线过点（-1，0）所以即所以所以切点坐标为（0，1）或
2、(-2,3)故切线方程为xy+1=0或3x+y12=0所以应选D2、的关系例2 已知f(x)=,求。错解：因为f(x)=所以f(2)=故=0点评：是导函数，是函数的一个函数值，所以要求应先求正解：因为f(x)=，所以故=3、（）与函数单调性的关系例3（05年湖北）已知向量a=(，x+1)，b= (1-x，t)若函数=ab在区间（-1，1）上是增函数，求t的取值范围错解：依定义，若在（-1，1）上是增函数，则在（-1，1）上可设0的图象是开口向下的抛物线，当且仅当，且时，在（-1，1）上满足0，即在（-1，1）上是增函数故t的取值范围是t5点评：若0，则在R上是增函数反之不成立。如在R上单调递增
3、，但0所以0是为增函数的充分不必要条件。若为增函数，则0，反之不成立。因为0，即0或=0。当函数在某区间内恒有=0时，为常数，函数不具有单调性。所以，0是为增函数的必要不充分条件。一般地，使=0的离散的点不影响函数在该区上的单调性。如=x+sinx.正解：依定义，若在（-1，1）上是增函数，则在（-1，1）上可设0的图象是开口向下的抛物线，当且仅当，且时，在（-1，1）上满足0，即在（-1，1）上是增函数故t的取值范围是t54、与极值点的关系例4 已知函数f(x)=x(xc)2在x=2处有极大值。求c的值。错解：由题意所以=因为函数f(x)=x(xc)2在x=2处有极大值，所以所以c=2或c=
4、6故c的值为2或6。点评：是为极值的必要但不充分条件。判断是不是极值点需要检查根两侧 的符号。如果左正右负，那么是函数的一个极大值；如果左负右正，那么是函数的一个极小值；如果符号相同，那么不是函数的极值。正解：由题意所以=当即或时函数f(x)=x(xc)2可能有极值。当x=2时函数f(x)=x(xc)2有极大值，所以c0.故所以时 0，当时0。所以当时，函数f(x)=x(xc)2有极大值，所以即c=6.5、极值与最值的关系例5 求函数f(x)=sin2xx在上的最大值和最小值。错解：=，令，得=0。解得或当时，0,所以f(x)在是减函数；当时0，所以f(x)是增函数；当时0，所以f(x)是减函数。所以当时，f(x)取最大值；当时，f(x)取最小值。点评：极值是比较极值点附近函数值得出的，并不意味着它在函数的某个区间上最大（小）。因此，同一函数在某一点的极大（小）值，可以比另一点的极小（大）值小（大）；而最值是指闭区间上所有函数值的比较，所以极大（小）值不一定是最大（小）值，最值也不一定是极值。对闭区间上的连续函数，如果在相应的开区间内可导求上最值可简化过程。即直接将极值点与端点的函数值比较，就可判定最大（或最小）的函数值就是最大（或最小）值。正解：=，令，得=0。解得或所以， 又，所以函数f(x) 在上的最大值和最小值分别为。
