1、第三讲 柯西不等式与排序不等式32 一般形式的柯西不等式学习目标预习导学典例精析栏目链接学习目标预习导学典例精析栏目链接不等式证明 已知 a，b，cR，求证：abbcca bacbac 9.分析：对应三维形式的柯西不等式，a1ab，a2bc，a3ca，b1ba，b2cb，b3ac，而 a1b1a2b2a3b31，因而学习目标预习导学典例精析栏目链接证明：由柯西不等式知：左边ab2bc2ca2 ba2cb2ac2 abbabccbcaac2(111)29.学习目标预习导学典例精析栏目链接原不等式成立 已知 a1，a2，an 都是实数求证：(a1a2an)2n(a21a22a2n)分析：与柯西不等
2、式的结构相比较，发现它符合柯西不等式的结构，因此可用柯西不等式来证明 证明：根据柯西不等式，有(121212)(a21a22a2n)(1a1 学习目标预习导学典例精析栏目链接 n 个 12 1a21an)2，所以 n(a21a22a2n)(a1a2an)2.点评：准确把握柯西不等式的结构特征，通过恰当变形，构造两组柯西数组是运用柯西不等式的关键所在学习目标预习导学典例精析栏目链接变式训练1已知 a，b，c，d 为不全相等的正数，求证：1a2 1b21c2 1d2 1ab 1bc 1cd 1da.证明：由柯西不等式知：1a2 1b21c2 1d2 1b21c2 1d2 1a2 1ab 1bc 1
3、cd 1da2，于是 1a2 1b21c2 1d2 1ab 1bc 1cd 1da.学习目标预习导学典例精析栏目链接等号成立1a1b1b1c1c1d1d1abacbdcadabcd，由题设 a，b，c，d 不全相等，于是中有严格等号不成立，即 1a2 1b21c2 1d2 1ab 1bc 1cd 1da.学习目标预习导学典例精析栏目链接最值问题 设 2x3y5z29，求函数 u 2x1 3y45z6的最大值分析：将已知等式变形，直接应用柯西不等式 解析：由柯西不等式有：1203(2x1)(3y4)(5z6)(12x113y41 5z6)2.学习目标预习导学典例精析栏目链接故 2x1 3y4 5z62 30.当且仅当 2x13y45z6，即 x376，y289，z2215时等号成立，此时 umax2 30.点评：根据所求最值的目标函数的形式对已知条件进行配凑学习目标预习导学典例精析栏目链接变式训练2n 个正数的和与这 n 个正数的倒数和的乘积的最小值是_n2
