1、第二章 平面向量 2.2 平面向量的线性运算 2.2.2 向量减法运算及其几何意义 学 习 目 标1.理解相反向量的含义，能用相反向量说出向量减法的意义(难点)2.掌握向量减法的运算及其几何意义，能熟练地进行向量的加减运算(重点)3.能将向量的减法运算转化为向量的加法运算(易混点)核 心 素 养 1.类比数的运算给出向量减法的三角形法则，培养了学生的数学抽象素养.2.通过加法进行向量的减法的学习，提升学生的数学运算和逻辑推理能力.自 主 预 习 探 新 知 1相反向量(1)定义：如果两个向量长度，而方向，那么称这两个向量是相反向量(2)性质：对于相反向量有：a(a).若 a，b 互为相反向量，
2、则 a_，ab.零向量的相反向量仍是相等相反00零向量b2向量的减法(1)定义：aba(b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的(2)作法：在平面内任取一点O，作OA a，OB b，则向量ab ，如图所示相反向量BA3|a|、|ab|与|b|三者之间的关系|a|b|ab|a|b|；|a|b|ab|a|b|.思考：在什么条件下，|ab|a|b|?提示 当a，b至少有一者为0或a，b非零且反向时成立 1非零向量m与n是相反向量，下列不正确的是()Amn BmnC|m|n|D方向相反A 由条件可知，当m0且n0时B，C，D项都成立，故选A.2在菱形ABCD中，下列等式中不成立的是()A.ACABBC
3、B.AD BD ABC.BD ACBCD.BD CD BCC 如图，根据向量减法的三角形法则知A、B、D均正确，C中，BD ACAD AB(ABAD)2ABBC，故选C.3化简OP QP PSSP的结果等于()A.QP B.OQC.SPD.SQB 原式(OP PQ)(PSSP)OQ 0=OQ.4如图，在ABCD中，ABa，AD b，用a，b表示向量AC，BD，则AC_，BD _.ab ba 由向量加法的平行四边形法则，及向量减法的运算法则可知ACab，BD ba.合 作 探 究 释 疑 难 向量减法的几何意义【例1】(1)如图所示，四边形ABCD中，若 AB a，AD b，BCc，则DC()A
4、abcBb(ac)CabcDbac(2)如图所示，已知向量a，b，c不共线，求作向量abc.思路点拨：(1)利用向量减法和加法的几何意义，将 DC 向 AB，BC，AD 转化；(2)利用几何意义法与定义法求出abc的值(1)A DC ACAD(ABBC)AD acb.(2)解 法一：(几何意义法)如图所示，在平面内任取一点O，作OA a，ABb，则OB ab，再作OC c，则CBabc.法二：(定义法)如图所示，在平面内任取一点O，作 OA a，ABb，则OB ab，再作BCc，连接OC，则OC abc.图 图求作两个向量的差向量的两种思路(1)可以转化为向量的加法来进行，如ab，可以先作b，
5、然后作a(b)即可(2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量跟进训练 1如图，已知向量a，b，c，求作向量abc.解 法一：先作ab，再作abc即可 如图所示，以A为起点分别作向量AB 和AC，使AB a，AC b.连接CB，得向量CB ab，再以C为起点作向量CD，使CD c，连接DB，得向量DB.则向量DB 即为所求作的向量abc.图 图法二：先作b，c，再作a(b)(c)，如图.(1)作ABb和BCc；(2)作OA a，则OC abc.向量减法的运算及简单应用【例2】(1)如图所示，用a，b表示DB；用b，c表示EC
6、.(2)化简下列各向量的表达式：ABBCAD；(ABCD)(ACBD)；(ACBO OA)(DC DO OB)思路点拨：按照向量加法和减法的运算法则进行化简，进行减法运算时，必须保证两个向量的起点相同解(1)BCa，CD b，DE c.DB CBCD BCCD ab.ECCE(CD DE)bc.(2)ABBCAD ACAD DC.(ABCD)(ACBD)(ABBD)(ACCD)AD AD 0.(ACBO OA)(DC DO OB)(ACBA)(OC OB)BCBC0.一题多解(2)法一：(加法法则)原式ABCD ACBD (ABBD)(ACCD)AD AD 0；法二：减法法则(利用相反向量)原
7、式ABCD ACBD (ABAC)(DC DB)CBBC0；法三：减法法则(创造同一起点)原式ABCD ACBD (OB OA)(OD OC)(OC OA)(OD OB)OB OA OD OC OC OA OD OB 0.1向量减法运算的常用方法2向量加减法化简的两种形式(1)首尾相连且为和(2)起点相同且为差 解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用 3与图形相关的向量运算化简 首先要利用向量加减的运算法则、运算律，其次要分析图形的性质，通过图形中向量的相等、平行等关系辅助化简运算跟进训练 2化简下列向量表达式：(1)OM ON MP NA；(2)(AD BM)(BCMC)解(1)
8、OM ON MP NANM MP NANPNAAP.(2)(AD BM)(BC MC)AD MB BC CM AD(MB BCCM)AD 0AD.向量减法几何意义的应用 探究问题1以向量加法的平行四边形法则为基础，能否构造一个图形将ab和ab放在这个图形中？提示：如图所示平行四边形ABCD中，AB a，AD b，则abAC，abDB.2已知向量a，b，那么|a|b|与|ab|及|a|b|三者具有什么样的大小关系？提示：它们之间的关系为|a|b|ab|a|b|.(1)当a，b有一个为零向量时，不等式显然成立(2)当a，b不共线时，作OA a，AB b，则abOB，如图所示，根据三角形的性质，有|
9、a|b|ab|a|b|.同理可证|a|b|ab|b|，作法同上，如图所示，此时|ab|a|b|.综上所述，得不等式|a|b|ab|a|b|.【例3】(1)在四边形ABCD中，ABDC，若|AD AB|BC BA|，则四边形ABCD是()A菱形 B矩形C正方形D不确定(2)已知|AB|6，|AD|9，求|ABAD|的取值范围思路点拨：(1)先由AB DC 判断四边形ABCD是平行四边形，再由向量减法的几何意义将|AD AB|BC BA|变形，进一步判断此四边形的形状(2)由|AB|AD|ABAD|AB|AD|求范围(1)B ABDC，四边形ABCD为平行四边形，又|AD AB|BCBA|，|BD
10、|AC|.四边形ABCD为矩形(2)解|AB|AD|ABAD|AB|AD|，且|AD|9，|AB|6，3|ABAD|15.当AD 与AB同向时，|ABAD|3；当AD 与AB反向时，|ABAD|15.|ABAD|的取值范围为3,151将本例(2)的条件改为“|AB|8，|AD|5”，求|BD|的取值范围解 因为BD AD AB，|AB|8，|AD|5，|AD|AB|AD AB|AD|AB|，所以3|BD|13，当AB与AD 同向时，|BD|3；当AB与AD 反向时，|BD|13.所以|BD|的取值范围是3,132在本例(2)条件不变的条件下，求|ABAD|的取值范围解 由|AB|AD|AB A
11、D|AB|AD|，|AB|6，|AD|9，3|ABAD|15.当AB与AD 同向时，|ABAD|15；当AB与AD 反向时，|ABAD|3.3本例(2)中条件“|AD|9”改为“|BD|9”，求|AD|的取值范围解 AD BD BA，又|BA|AB|，由|BD|BA|BD BA|BD|BA|，3|AD|15.1用向量法解决平面几何问题的步骤(1)将平面几何问题中的量抽象成向量(2)化归为向量问题，进行向量运算(3)将向量问题还原为平面几何问题2用向量法证明四边形为平行四边形的方法和解题关键(1)利用向量证明线段平行且相等，从而证明四边形为平行四边形，只需证明对应有向线段所表示的向量相等即可(2
12、)根据图形灵活应用向量的运算法则，找到向量之间的关系是解决此类问题的关键课 堂 小 结 提 素 养 1向量减法的实质是向量加法的逆运算利用相反向量的定义，ABBA就可以把减法转化为加法即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量如aba(b)2在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减向量”解题时要结合图形，准确判断，防止混淆3以平行四边形ABCD的两邻边AB，AD分别表示向量AB a，AD b，则两条对角线表示的向量为AC ab，BD ba，DB ab，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并掌握1下列等式：0aa；(a)a；a(a)0；a0a；aba(b)；a(
13、a)0.正确的个数是()A3 B4 C5 D6C 由向量减法、相反向量的定义可知都正确，错误2化简BACADB DC _.0 BACADB DC (BAAC)(DB DC)BCCB 0.3若a，b为相反向量，且|a|1，|b|1，则|ab|_，|ab|_.0 2 因为a，b为相反向量，ab0，即|ab|0，又ab，|ab|2a|2.4如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且AB a，AC b，AE c，试用a，b，c表示向量BD，BC，BE，CD 及CE.解 四边形ACDE是平行四边形，CD AEc，BCACABba，BEAEABca，CEAEACcb，BD BCCD bac.点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!
