1、成都树德中学高2011级第三学期期中数学试题（文科）命题人：杨世卿 审题人：陈杰一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。每小题仅有一个正确答案。1以下角：异面直线所成角；直线和平面所成角；二面角的平面角；可能为钝角的有 （ ）A0个 B1个 C2个D3个2. 一种冰激凌机的模型上半部分是半球，下半部分是圆锥，其三视图 如图所示，则该型号蛋糕的表面积是（ ）A B C D3. 一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45，腰和 上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是（ ）A. B1 C1 D24.已知两不同直线与三不同平面，下列条件能推出的是（ ）A且 B ，C 且
2、D, 5.下面四个说法中，正确的个数为（ ） 三点确定一个平面； 在平面外，其三边延长线分别和交于,则一定共线； 一个角的两边所在直线分别平行于另一个角的两边所在直线，则这两角相等；在三维空间中，三个平面最多把空间分成八部分。A1 B2C3D46. 在正三棱柱(底面是正三角形，侧棱和底面垂直)中，,则异面直线与成角的大小为（ ）A60B90 C105D757. 如图，空间四边形的对角线相等，顺次连接各边中点 ,则四边形一定是（ ）A矩形 B正方形 C菱形 D空间四边形8是从点引出的三条射线，两两夹角为，则直线和平面 所成角的余弦值为 （ ）A B C D9异面直线所成角为，直线，且也与异面，则
3、直线与所成的角的范围为 （ ）A B CD10. 有一个长方体容器,装的水占恰好占其容积的一半；表示水平的桌面,容器一边紧贴桌面， 沿将其翻转使之略微倾斜，最后水面(阴影部分)与其各侧棱的交点分别是（如图），则下列对翻转后水形成 的几何体形状说法正确的是 （ ）A棱台 B棱柱 C棱锥 D和容器尺寸有关，不能确定11. 如图，矩形的长，宽，若平面，矩形的边上至少有一个点,使得，则的范围是（ ）A B CD 12.我们知道，在平面直角坐标系中，方程表示的图形是一条直线，具有特定性质：“在轴，轴上的截距分别为”；类比到空间直角坐标系中，方程表示的点集对应的图形也具有某特定性质，设此图形为，则坐标原点
4、到的距离是（ ） A B C D 二、填空题：本大题共四小题，每小题4分，共16分。请将最简结果填在横线上。13.所在平面外一点满足, 则在平面上的射影必为的_心14如图，平面直角坐标系中，,将其所在纸面沿轴折成直二面角，则折起后的两点的距离是 15球放在墙角（两墙面，地面分别两两垂直），紧靠墙面和底面，球心到墙角顶点的距离是，则球的体积是 （半径为的球体积公式：）16.关于图中的正方体，下列说法正确的有：_点在线段上运动，棱锥体积不变；一个平面截此正方体，如果截面是三角形，则必为锐角三角形；一个平面截此正方体，如果截面是四边形，则此四边形必有一边平行；平面截正方体得到一个六边形（如图），则截
5、面在平面 与平面间平行移动时此六边形周长先增大，后减小。班级： 姓名： 考号： 座位号： 密封线树德中学高2011级第三学期期中数学试题（文科）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。请将最简结果填在横线上。13 14 15 16三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明或演算步骤。17. 长方体，其左视图沿方向投影，左视图如图（1）证明：；（2）当长为时，求多面体的体积 18. (12分)两个边长均为的正方形和所在平面垂直相交于，,且.（1）证明：平面；（2）当 时，求的长度 19(12分)如图，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于的一动点 （1）证明：是直角三
6、角形；（2）若，且当直线与平面所成角正切值 为时，直线与平面所成角的正弦值20(12分)点是边长为的正方形的中心，点，分别是，的中点沿对角线把正方形折成直二面角（1）求的大小；（2）求二面角的余弦值21. (12分)随着环保理念的深入，用建筑钢材余料创作城市雕塑逐渐流行。下图是其中一个抽象派雕塑的设计图。图中表示水平地面。线段表示的钢管固定在上；为了美感，需在焊接时保证：线段表示的钢管垂直于, ，且保持与异面。若收集到的余料长度如下：（单位长度），按现在手中的材料和设计要求，求与应成的角22. (14分)一块边长为的正方形纸片，按如图所示将阴影部分裁下，然后将余下的四个全等的等腰三角形作为侧面
7、制作一个正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面的射影是底面中心的四棱锥）。（1）过此棱锥的高以及一底边中点作棱锥的截面（如图），设截面三角形面积为，将表为的函数；（2）求的最大值及此时的值；（3）在第（2）问的条件下，设是的中点，问是否存在这样的动点，它在此棱锥的表面（包含底面）运动，且?如果存在，在图中画出其轨迹并计算轨迹的长度，如果不存在，说明理由 树德中学高2011级第三学期期中数学试题（文科）参考答案一、选择题。1-5 B A D C B 6-10 B C C A B 11-12 A D二、填空题。13外 14 15. 16. 小题部分可参考课本（如下表）：题号57101213141516
8、必2P46定理P53 习题2,P46例2及探究P463思路类似P137探究P672模型来自选2-1P106，例2，P107，练习2）（改简单）必第2章各节都出现的构造长（正）方体模思想。综合P57 例2，P78 第4题，P79 第2题，三、解答题：17.（1）证明：由长方体性质知，又由左视图知, ,而,.6分(直接用三垂线定理也给分)（2）由，矩形的面积，又上问已证，到的距离即,要求的体积是。.12分（用切割前后体积比求亦给分）（此题综合必修2第2章各节都出现的长方体模型）18. （1）证明:法一：如图一，作MPBC，NQBE，P、Q为垂 足，连接PQ，则MPAB，NQAB.所以MPNQ，又A
9、MNF，ACBF，所以MCNB.又MCPNBQ45，所以RtMCPRtNBQ，所以MPNQ.故四边形MPQN为平行四边形. 所以MNPQ. .4分因为PQ平面BCE，MN平面BCE，所以MN平面BCE.6分法二：如图二，过M作MHAB于H，则MHBC.所以.连接NH，由BFAC，FNAM得，所以NHAFBE. .2分.4分因为MN平面MNH，所以MN平面BCE. .6分（2）如上问图二，由比例关系易得：在中，。.12分 （此题模型来自选修2-1P113，B组第2题） 19. （2）如图，过作,则即是要求的角。.8分即是与平面所成角，.9分，又.10分在中，,.11分在中，即与平面所成角正弦值为
10、。.12分(建直角坐标系或向量法亦给分)（此题模型来自必修2P69，例3及探究）20.解法一：（1）如图，过点E作EGAC，垂足为G，过点F作FHAC，垂足为H，则，GHMABCDEFOMHGOFABECD因为二面角DACB为直二面角， 又在中， .6分 （2）过点G作GM垂直于FO的延长线于点M，连EM二面角DACB为直二面角，平面DAC平面BAC，交线为AC，又EGAC，EG平面BACGMOF，由三垂线定理，得EMOF就是二面角的平面角.9分在RtEGM中，xyzABCDEFO,所以，二面角的余弦值为。.12分解法二：（1）建立如图所示的直角坐标系Oxyz， 则，.6分（2）设平面OEF的
11、法向量为由得解得所以，.9分又因为平面AOF的法向量为，.10分.11分且根据方向判断，二面角的大小为余弦为。.12分（此题改编自选修2-1P118，12）21.解：(1) 解法一：设在上的射影为 ,共面，过作于,则为矩形，.4分设，则,.6分由三垂线定理易知.8分将代入，得：，解得，.10分于是,即与所成的角是。.12分解法二：按教师教学用书P102的建坐标系方法（如图）。得到，设由：，.8分，,且是的一个法向量，根据图中方向可知，与应成角为。.12分解法三：向量法（理科）（此题模型来自选修2-1P113，例9，P111，练习1）22. (1)由题意，进一步化为：（注：两个形式的结果都给分）.4分(2) 。当且仅当，即时取得最大值。.9分（3）存在这样的点的轨迹，下面说明：取的中点，中点，连接,易证明平面。（可由且也可证，等，均给分）,此时，只要在平面与棱锥的表面的交线上运动，均有。此时，由中位线性质可知，的周长在（1）的条件下，。. .14分（注一：找出来，并作图，给2分，说明2分，周长1分）（注二：作图顺序和方式可能不同，但目标只要是找过点和直线垂直的平面，与棱锥的表面的交线，即给分，例如上面找平面的过程亦可先连接与交于,过作于，这样找到的过程已经证明了平面是的垂面） （此题改编自必修2P37，4）
