1、1.2.1 排 列 第二课时理解并掌握排列的概念；学会有限制条件排列问题的几种解法教学目标：重点：有限制条件的排列问题解题思路难点：定元素与定位置分析的方法复习引入：【排列】从n个不同元素中选出m(mn)个元素,并按一定的顺序排成一列.【关键点】1、互异性(被选、所选元素互不相同)2、有序性(所选元素有先后位置等顺序之分)【排列数】所有排列总数 121mnAn nnnm()().()mnn!A=(n-m)!特殊元素的“优先安排法”；特殊位置的“优先安排法”例 1 用 0，1，2，3，4，5 这六个数字可以组成多少个无重复的满足下列条件的数字？(1)六位奇数；(2)个位数字不是 5 的六位数；(
2、3)不大于 4 310 的四位偶数分析：奇、偶数问题是选特殊位置：对个位进行限制，又因为“0”的存在，首位也是特殊位置，因此“0”、首位和末位要同时考虑正面情况较复杂时，可用间接法求解 解析：(1)法一从特殊位置入手(直接法)分三步完成第一步：先填个位，有 A13种填法；第二步：再填十万位，有 A14种填法；第三步：填其他位，有 A44种填法 故共有 A13A14A44288 个六位奇数 法二从特殊元素入手(直接法)0 不在两端有 A14种排法，从 1，3，5 中任选一个排在个位有 A13种排法，其他各位上用剩下的元素作全排列有 A44种排法，故共有 A14A13A44288 个六位奇数 变式
3、训练：6个人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？(1)甲不站右端，也不站左端；(2)甲、乙站在两端；解析：(1)方法一(位置分析法)：因左右两端不站甲，故第一步先从甲以外的 5 个人中任选两人站在左右两端，有 A25种；第二步再让剩下的 4 个人站在中间的四个位置上，有 A44种，由分步乘法计数原理共有 A25A44480 种站法方法二(元素分析法)：因甲不能站左右两端，故第一步先让甲排在左右两端之间的任一位置上，有 A14种；第二步再让余下的 5 个人站在其他 5 个位置上，有 A55种，故共有 A14A55480种站法解析：(1)方法一(位置分析法)：因左右两端不站甲，故第一步先从
4、甲以外的 5 个人中任选两人站在左右两端，有 A25种；第二步再让剩下的 4 个人站在中间的四个位置上，有 A44种，由分步乘法计数原理共有 A25A44480 种站法方法二(元素分析法)：因甲不能站左右两端，故第一步先让甲排在左右两端之间的任一位置上，有 A14种；第二步再让余下的 5 个人站在其他 5 个位置上，有 A55种，故共有 A14A55480种站法(2)方法一(特殊元素法)：首先考虑特殊元素，让甲、乙先站两端，有 A22种；再让其他 4 个人在中间 4 个位置作全排列，有 A44种，根据分步乘法计数原理，共有 A22A4448 种站法方法二(特殊位置法)：首先考虑两端两个位置，由
5、甲、乙去站，有 A22种站法；再考虑中间 4 个位置，由剩下的 4 个人去站，有 A44种站法，根据分步乘法计数原理，共有 A22A4448 种站法不相邻问题的“插空法”对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素在已排好的元素之间及两端的空隙插入即可例 2 某次文艺晚会上共演出 8 个节目，其中 2 个唱歌、3 个舞蹈、3 个曲艺节目，求分别满足下列条件的节目编排方法有多少种？(1)一个唱歌节目开头，另一个放在最后压台；(2)2 个唱歌节目互不相邻；(3)2 个唱歌节目相邻且 3 个舞蹈节目不相邻解析：(1)先排唱歌节目有 A22种排法，再排其他节目有 A66种排
6、法，所以共有 A22A661440(种)排法(2)先排 3 个舞蹈节目和 3 个曲艺节目有 A66种排法，再从其中 7 个空(包括两端)中选 2个排唱歌节目，有 A27种插入方法，所以共有 A66A2730 240(种)排法(3)把 2 个相邻的唱歌节目看作一个元素，与 3 个 曲艺节目排列共 A44种排法，再将 3个舞蹈节目插入，共有 A35种插入方法，最后将 2 个唱歌节目互换位置，有 A22种排法，故所求排法共有 A44A35A222 880(种)排法 相邻问题的“捆绑法”对于某几个元素要求相邻的排列问题，可先将要求相邻的元素“捆绑”在一起作为一个“整体”的元素，与其他元素排列，然后在对
7、相邻的元素的内部进行排列。例 2 某次文艺晚会上共演出 8 个节目，其中 2 个唱歌、3 个舞蹈、3 个曲艺节目，求分别满足下列条件的节目编排方法有多少种？(1)一个唱歌节目开头，另一个放在最后压台；(2)2 个唱歌节目互不相邻；(3)2 个唱歌节目相邻且 3 个舞蹈节目不相邻例 2 某次文艺晚会上共演出 8 个节目，其中 2 个唱歌、3 个舞蹈、3 个曲艺节目，求分别满足下列条件的节目编排方法有多少种？(1)一个唱歌节目开头，另一个放在最后压台；(2)2 个唱歌节目互不相邻；(3)2 个唱歌节目相邻且 3 个舞蹈节目不相邻解析：(1)先排唱歌节目有 A22种排法，再排其他节目有 A66种排法
8、，所以共有 A22A661440(种)排法(2)先排 3 个舞蹈节目和 3 个曲艺节目有 A66种排法，再从其中 7 个空(包括两端)中选 2个排唱歌节目，有 A27种插入方法，所以共有 A66A2730 240(种)排法(3)把 2 个相邻的唱歌节目看作一个元素，与 3 个 曲艺节目排列共 A44种排法，再将 3个舞蹈节目插入，共有 A35种插入方法，最后将 2 个唱歌节目互换位置，有 A22种排法，故所求排法共有 A44A35A222 880(种)排法 解：规律方法：(1)某些元素要求不相邻时，可以先安排其他元素，再将这些不相邻元素插入空位，这种方法称为“插空法”，即“不相邻元素插空法”(
9、2)对于某些元素“相邻”的排列问题，一般采用“捆绑法”，即先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列 变式训练 2某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目如果将这两个新节目插入原节目单中，若：两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为_；两个新节目可以相邻，也可以不相邻，那么不同插法的种数为_解析：因为两个新节目不相邻，且 5 个节目已排成节目单，所以，新增加的两个新节目只需插入到原 5 个节目之间的空隙(包括两端的两个空位)共 6 个位置上，所以，不同的插法有 A2630 种 分两类：第一类是两个新节目不相邻，有
10、A2630 种方法；第二类是两个新节目相邻，有 6A2212 种，所以，共有不同插法有 301242 种 答案：30 种 42 种3喜羊羊家族的四位成员与灰太狼，红太狼进行谈判，通过谈判他们握手言和，准备一起照合影像(排成一排)(1)要求喜羊羊家族的四位成员必须相邻，有多少种排法？(2)要求灰太狼、红太狼不相邻，有多少种排法？解析：(1)把喜羊羊家族的四位成员看成一个元素，排法为 A33.又因为四位成员交换顺序产生不同排列，所以共有 A33A44144 种排法(2)分两步：第 1 步，将喜羊羊家族的四位成员排好，有A44种排法；第 2 步，让灰太狼、红太狼插四人形成的空(包括两端)，有 A25
11、种排法，共有 A44A25480 种排法.“相邻”与“不相邻”问题 变式训练：7人站成一排，(1)甲、乙两人相邻的排法有多少种？(2)甲、乙两人不相邻的排法有多少种？(3)甲、乙、丙三人必相邻的排法有多少种？(4)甲、乙、丙三人两两不相邻的排法有多少种？(1)(捆绑法)将甲、乙两人“捆绑”为一个元素，与其余 5 人全排列，共有 A66种排法甲、乙两人可交换位置，有 A22种排法，故共有 A66A221 440 种排法.3 分(2)方法一(间接法)：7 人任意排列，有 A77种排法，甲、乙两人相邻的排法有 A22A66(种)，故甲、乙不相邻的排法有 A77A22A663 600(种).6 分方法
12、二(插空法)：将其余 5 人全排列，有 A55种排法，5 人之间及两端共有 6 个位置，任选 2 个排甲、乙两人，有 A26种排法故共有 A55A263 600 种方法.6 分(3)(捆绑法)将甲、乙、丙三人捆绑在一起与其余 4 人全排列，有 A55种排法，甲、乙、丙三人有 A33种排法，共有 A55A33720 种排法.9 分(4)(插空法)将其余 4 人排好，有 A44种排法将甲、乙、丙插入 5 个空中，有 A35种排法故共有 A44A351 440 种排法.12 分（2）方法二(插空法)：将其余 5 人全排列，有 A55种排法，5 人之间及两端共有 6 个位置，任选 2 个排甲、乙两人，
13、有 A26种排法故共有 A55A263 600 种方法.6 分(3)(捆绑法)将甲、乙、丙三人捆绑在一起与其余 4 人全排列，有 A55种排法，甲、乙、丙三人有 A33种排法，共有 A55A33720 种排法.9 分(4)(插空法)将其余 4 人排好，有 A44种排法将甲、乙、丙插入 5 个空中，有 A35种排法故共有 A44A351 440 种排法.12 分 间接法 理解题中的要求，把不符合要求的出去，此时应注意既不能多减也不能少减。例 1 用 0，1，2，3，4，5 这六个数字可以组成多少个无重复的满足下列条件的数字？(1)六位奇数；(2)个位数字不是 5 的六位数；(3)不大于 4 31
14、0 的四位偶数法三(间接法)6 个数字的全排列有 A66个，0，2，4 在个位上的排列数为 3A55个，1，3，5 在个位上，0在十万位上的排列数有 3A44个，故对应的六位奇数的排列数为 A663A553A44288(个)(2)法一(间接法)0 在十万位和 5 在个位的排列都是不符合题意的六位数，这两类排列中都含有 0 在十万位和 5 在个位的情况 故符合题意的六位数共有 A662A55A44504(个)（1）变式训练：6个人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？(3)甲不站左端，乙不站右端(3)方法一(间接法)：甲在左端的站法有 A55种，乙在右端的站法有 A55种，而甲在左端且乙在
15、右端的站法有 A44种，故共有A662A55A44504 种站法方法二(直接法)：以元素甲的位置进行考虑，可分两类：第 1 类，甲站右端有 A55种；第 2 类，甲在中间 4 个位置之一，而乙不在右端，可先排甲后排乙，再排其余 4 个，有 A14A14A44种，故共有 A55A14A14A44504 种站法 合理的分类与准确的分步 解含有约束条件的排列问题，应按元素性质进行分类，事情发生的连续性分步，做到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。例 1 用 0，1，2，3，4，5 这六个数字可以组成多少个无重复的满足下列条件的数字？(1)六位奇数；(2)个位数字不是 5 的六位数；(3)不大于 4
16、 310 的四位偶数例 1 用 0，1，2，3，4，5 这六个数字可以组成多少个无重复的满足下列条件的数字？(1)六位奇数；(2)个位数字不是 5 的六位数；(3)不大于 4 310 的四位偶数法二直接法(个位不排 5 时，排 0 不排 0 分类计算)个位不排 5，有 A15种排法，但十万位数字的排法因个位上排 0 与不排 0 而有所不同，因此需分两类 第一类：当个位排 0 时，有 A55个 第二类：当个位不排 0 时，有 A14A14A44个 故符合题意的六位数共有 A55A14A14A44504(个)（2）(3)直接法 当千位上排 1，3 时，有 A12A13A24个 当千位上排 2 时，
17、有 A12A24个 当千位上排 4 时，形如 40，42的各有 A13个，形如 41的有 A12A13个，形如 43的只有 4 310 和 4 302 这两个数，故共有 A12A13A24A12A242A13A12A132110(个)规律方法：(1)第一问中第一步若先填十万位，则个位上数字的填法与十万位上所填数字是奇数还是偶数有关，故需分类，因此最好先填个位(2)第二问中易忽视 0 不能排首位而得 A15A55600 个的错误结论变式训练：从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则选派方案共有多少种？【正解】甲、乙二人都不能从事翻
18、译工作，所以首先考虑特殊位置翻译，翻译人员从甲、乙以外的 4 个人中选择，有 A14种方法，再从余下的 5 个人中选出 3 人进行导游、导购、保洁三种工作的排列共 A35个，所以共有 A14A35240(种)不同选派方案 顺序固定问题有“除法”对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先将这几个元素与其他元素一起进行排列，然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数。5.有 5 个人并排站成一排,如果甲必须在乙的右边,则不同的排法有多少种?解:总的排法数为A55=120 种,甲在乙的右边的排法有12A55=60 种.5.有 5 个人并排站成一排,如果甲必须在乙的右边,则不同的排法有多少种?解:总的排法数
19、为A55=120 种,甲在乙的右边的排法有12A55=60 种.例 3 3 名男生、4 名女生按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数(1)选 5 名同学排成一行；(2)全体站成一排，其中甲只能在中间或两端；(3)全体站成一排，其中甲、乙必须在两端；(4)全体站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端；(5)全体站成一排，男、女各站在一起；(6)全体站成一排，男生必须排在一起；(7)全体站成一排，男生不能排在一起；(8)全体站成一排，男、女生各不相邻；(9)全体站成一排，甲、乙中间必须有 2 人；(10)全体站成一排，甲必须在乙的右边；(11)全体站成一排，甲、乙、丙三人自左向右顺序不变；
20、(12)排成前后两排，前排 3 人，后排 4 人例 3 3 名男生、4 名女生按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数(1)选 5 名同学排成一行；(2)全体站成一排，其中甲只能在中间或两端；(3)全体站成一排，其中甲、乙必须在两端；(4)全体站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端；(5)全体站成一排，男、女各站在一起；(6)全体站成一排，男生必须排在一起；(7)全体站成一排，男生不能排在一起；(8)全体站成一排，男、女生各不相邻；(9)全体站成一排，甲、乙中间必须有 2 人；(10)全体站成一排，甲必须在乙的右边；(11)全体站成一排，甲、乙、丙三人自左向右顺序不变；(12)排成前后
21、两排，前排 3 人，后排 4 人变式训练分析：先分析清楚是无限制条件的排列问题，还是有限制条件的排列问题若是无限制条件的排列问题，直接利用排列数公式计算；若是有限制条件的排列问题，则要搞清楚限制条件是对元素还是对位置要求的，再选择是用直接法还是间接法计算解析：(1)无限制条件的排列问题，只要从 7 名同学中任选 5 名排列，即可得共有 NA57765432 520(种)(2)(直接分步法)先考虑甲，有 A13种方案，再考虑其余 6 人全排，故 NA13A662 160(种)(3)(直接分步法)先安排甲、乙，有 A22种方案，再安排其余 5 人全排，故 NA22A55240(种)(4)法一(直接
22、分类法)按甲是否在最右端分两类 第一类：甲在最右端时，有 N1A66，第二类：甲不在最右端时，甲有 A15个位置可选，而乙只有 A15个位置，而其余全排 A55，N2A15A15A55，故 NN1N2A66A15A15A553 720(种)例 3 3 名男生、4 名女生按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数(1)选 5 名同学排成一行；(2)全体站成一排，其中甲只能在中间或两端；(3)全体站成一排，其中甲、乙必须在两端；(4)全体站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端；(5)全体站成一排，男、女各站在一起；(6)全体站成一排，男生必须排在一起；(7)全体站成一排，男生不能排在一起；(
23、8)全体站成一排，男、女生各不相邻；(9)全体站成一排，甲、乙中间必须有 2 人；(10)全体站成一排，甲必须在乙的右边；(11)全体站成一排，甲、乙、丙三人自左向右顺序不变；(12)排成前后两排，前排 3 人，后排 4 人法二(间接法)无限制条件的排列数共有 A77，而甲(或乙)在左端(或右端)的排法有 A66，且甲在左端同时乙在右端的排法有 A55，故 NA772A66A553 720(种)(5)(相邻问题用捆绑法)男生必须站在一起，是男生的全排列，有 A33种排法；女生必须站在一起，是女生的全排列，有 A44种排法；全体男生、女生各视为一个元素，有 A22种排法由分步计数原理知，共有 A
24、33A44A22288(种)(6)(捆绑法)把所有男生视为一个元素，与 4 名女生组成 5 个元素全排，故 NA33A55720(种)(7)(不相邻问题用插空法)先排女生共 A44种排法，男生在 4 个女生隔成的五个空隙中安排，有 A35种排法，故 NA44A351 440(种)(8)对比(7)，让女生插空：NA33A44144(种)(9)(捆绑法)任取 2 人与甲、乙组成一个整体，与余下 3 个元素全排，故 N(A25A22)A44960(种)例 3 3 名男生、4 名女生按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数(1)选 5 名同学排成一行；(2)全体站成一排，其中甲只能在中间或两端；
25、(3)全体站成一排，其中甲、乙必须在两端；(4)全体站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端；(5)全体站成一排，男、女各站在一起；(6)全体站成一排，男生必须排在一起；(7)全体站成一排，男生不能排在一起；(8)全体站成一排，男、女生各不相邻；(9)全体站成一排，甲、乙中间必须有 2 人；(10)全体站成一排，甲必须在乙的右边；(11)全体站成一排，甲、乙、丙三人自左向右顺序不变；(12)排成前后两排，前排 3 人，后排 4 人(10)甲与乙之间的左右关系各占一半，故 NA77A222 520(种)(11)甲、乙、丙自左向右顺序保持不变，即为所有甲、乙、丙排列的 1A33，NA77A3384
26、0(种)(12)直接分步完成，共有 A37A445 040(种)规律方法：(1)对于有限制条件的排列问题，先考虑安排好特殊元素(或位置)，再安排一般的元素(或位置)，即先特殊后一般，此方法一般是直接分步法；或按特殊元素当选情况(或特殊位置由哪个元素占)分类，再安排一般的元素(或位置)，即先分类后分步，此方法一般是直接分类法；也可以先不考虑特殊元素(或位置)，而列出所有元素的全排列数，从中再减去不满足特殊元素(或位置)要求的排列数，即先全体后排除，此方法一般是间接法(排除法)(2)特别地，关于某些元素“相邻”、“不相邻”或“定序”的问题，应遵循“先整体，后局部”的原则元素相邻问题，一般用“捆绑法
27、”；不相邻问题，一般用“插空法”；“定序”问题，一般用排除法：NAnnAmm.例 3 3 名男生、4 名女生按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数(1)选 5 名同学排成一行；(2)全体站成一排，其中甲只能在中间或两端；(3)全体站成一排，其中甲、乙必须在两端；(4)全体站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端；(5)全体站成一排，男、女各站在一起；(6)全体站成一排，男生必须排在一起；(7)全体站成一排，男生不能排在一起；(8)全体站成一排，男、女生各不相邻；(9)全体站成一排，甲、乙中间必须有 2 人；(10)全体站成一排，甲必须在乙的右边；(11)全体站成一排，甲、乙、丙三人自左
28、向右顺序不变；(12)排成前后两排，前排 3 人，后排 4 人“住店法”解决“允许重复排列问题”要注意区分两类，一类元素是可以重复，另一类元素是不可以重复的，把不能重复的元素看成“客”，把可以重复的元素看作“店”，再用乘法原理求解的方法称为“住店法”例：7名学生争夺5项冠军，获得冠军的可能性有多少种？种种住法，共有个“客”都有个冠军看作“客”，每名学生看作“店”，把生可重复排列，时获得几项冠军，故学解：因为同一学生可同57757 分排问题直排法 探究四 易错辨析易错点 重复排列【典型例题 4】6 个人站成前后三排,每排 2 人,有多少种不同的排法?错解一:分步完成,先安排第一排的 2 人,有6
29、2种排法;再安排中间一排的 2 人,有42种排法;余下的 2 人排在最后一排.由分步乘法计数原理,共有6242=360 种不同排法.错解二:分步完成,先安排第一排的 2 人,有62种排法;再安排中间一排的 2 人,有42种排法;最后安排余下的 2 人,有22种排法.因为排在第一排,中间一排和最后一排不同,所以三排再排列,有33种排法.由分步乘法计数原理,有62422233=4 320 种不同排法.错因分析:错解一的解答错在第 3 步,余下的 2 人还要去排最后一排的 2个不同位置.错解二的解答错在前三步已经分清了三排,不需要再排列了.正解一:6 个人站成前后三排,每排 2 人,分 3 步完成,
30、不同的排法共有624222=720(种).正解二:此问题可看作将排成的三排“拉直”,实际上就是将 6 人排成一排的问题.故共有66=720 种不同排法.变式训练：7个同学坐在两排座位上，第一排坐3个，第二排坐4个则有种做法！或777A 要求左右有空位的“插空法”3个人坐在8个位置上，要求每个人左右都有空凳子，共有种做法34A解析：先拿5个凳子放好，然后拉开正好在中间有4个空位，再将三个人拿着凳子坐在那4个空位置就行了，共有种做法。34A小结：1直接法：以元素为考察对象，先满足_元素的要求，再考虑_元素(又称为元素分析法)，或以位置为考察对象，先满足_位置的要求，再考虑_位置(又称位置分析法)2
31、间接法：先不考虑附加条件，计算出总排列数，再减去_的排列数3相邻元素_法，相离问题_法，定元、定位_法，至多、至少_法，定序元素_法特殊一般特殊一般不合要求捆绑插空优先排间接最后排作业：【典型例题 3】用 0,1,2,3,4 这五个数字,组成五位数:(1)可组成多少个五位数?(2)可组成多少个无重复数字的五位数?(3)可组成多少个无重复数字的五位奇数?(4)若 1 和 3 相邻,则可组成多少个无重复数字的五位数?(5)若 1 和 3 不相邻,则可组成多少个无重复数字的五位数?(6)若 1 不在万位,2 不在个位,则可组成多少个无重复数字的五位数?思路分析:该题目中的特殊元素为 0,它不能放在首
32、位.(1)首位不为 0,数字可以重复;(2)只需限制首位不为 0;(3)限制末位是奇数,首位不是 0;(4)把1,3 看成整体进行排列;(5)可间接求,也可直接求,用插空法;(6)可从特殊位置或元素入手分析.【典型例题 3】用 0,1,2,3,4 这五个数字,组成五位数:(1)可组成多少个五位数?(2)可组成多少个无重复数字的五位数?(3)可组成多少个无重复数字的五位奇数?(4)若 1 和 3 相邻,则可组成多少个无重复数字的五位数?(5)若 1 和 3 不相邻,则可组成多少个无重复数字的五位数?(6)若 1 不在万位,2 不在个位,则可组成多少个无重复数字的五位数?思路分析:该题目中的特殊元
33、素为 0,它不能放在首位.(1)首位不为 0,数字可以重复;(2)只需限制首位不为 0;(3)限制末位是奇数,首位不是 0;(4)把1,3 看成整体进行排列;(5)可间接求,也可直接求,用插空法;(6)可从特殊位置或元素入手分析.1、解:(1)各个数位上的数字允许重复,由分步计数原理得,共可组成45555=2 500 个五位数.(2)方法一:(优先考虑特殊位置)先排万位,从 1,2,3,4 中任取一个有41种方法,其余四个位置排四个数字共有44种方法,所以组成的无重复数字的五位数共有41 44=96(个).方法二:(优先考虑特殊元素)先排 0,除首位之外的其他四个数位均可,有41种方法,其余四
34、个数字全排,有44种方法.故组成的无重复数字的五位数共有4144=96(个).(3)(优先考虑特殊位置)先排个位,1 和 3 均可,有21种方法.然后从剩下的 3 个非 0 数中选一个排在万位,有31种方法,最后将剩下的 3 个数排在其他三个数位上,有33种方法.故组成的无重复数字的五位奇数共有2131 33=36(个).(4)(捆绑法)若 1 和 3 相邻,则把 1 和 3“捆绑”,看成一个整体与 0,2,4 进行排列.则共可组成无重复数字的五位数共有223133=36(个).(5)方法一:(间接法)由(2),(4)两问可得,1 和 3 不相邻时,共可组成无重复数字的五位数有 96-36=6
35、0(个).方法二:(插空法)先将 0,2,4 排好,再将 1 和 3 分别插入产生的 4 个空当中有3342=72 种排法,而当 0 在万位时,1,3 分别插入 2,4 产生的 3 个空当中有2232=12 种排法.所以 1 和 3 不相邻的无重复数字的五位数共有 72-12=60(个).(6)方法一:(间接法)无重复数字的所有五位数有 96 个,当 1 在万位时,有44种排法,当 2 在个位时,0 又不能在万位,先把 0 排在中间三个位上,再排其余的 3 个数,有31 33种排法,但这两种排法中都包括 1 在万位,2 在个位的排法,这种排法有33种,所以符合条件的五位数共有 96-44 31
36、33+33=60(个).方法二:(优先考虑特殊元素或位置)1 排在个位时,0 不能在万位,有3133=18 种排法.1 不在个位且不在万位时,先排 1,有31种方法,再排剩下的数分两类.一类是当 2 在万位时,有33种方法,另一类是 2 不在万位,有2121 22种排法,所以 1 不在个位且不在万位时,有31(33+21 2222)=42 种排法,所以 1 不在万位,2 不在个位时,共可组成无重复数字的五位数18+42=60(个).24个男同学和3个女同学站成一排(1)3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？(2)任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？(3)其中甲、乙两同学之间必须
37、恰有3人，有多少种不同的排法？(4)男生与女生相间排列的方法有多少种？解析：(1)3 个女同学是特殊元素，优先安排，共有 A33种排法；由于 3 个女同学必须排在一起，我们可视排好的女同学为一整体，再与男同学排队，这时是 5 个元素的全排列，应有A55种排法由分步乘法计数原理，共有 A33A55720 种不同的排法(2)先将男生排好，共有 A44种排法，再在这 4 个男生的中间及两头的 5 个空当中插入 3 个女生，有 A35种方案，故符合条件的排法共有 A44A351 440 种(3)甲、乙两人先排好，有 A22种排法；再从余下的 5 人中选3 人排在甲、乙两人中间，有 A35种排法；这时把已排好的 5 人视为一个整体，与最后剩下的 2 人再排，又有 A33种排法；这样总共有 A22A35A33720 种不同排法(4)不妨先排男生，有 A44种排法，在 4 名男生间 3 个间隔共有 3 个位置安排 3 名女生，有 A33种，因此共有 A44A33种排法符合要求，故 4 名男生 3 名女生相间排列的排法共有 A44A33144种
