1、1如图，四边形 ABCD 是边长为 a 的正方形，以 D 为圆心，DA 为半径的圆弧与以 BC 为直径的半圆 O 交于点 F，连接 CF 并延长交 AB 于点 E.(1)求证：点 E 是 AB 的中点；(2)求线段 BF 的长解：(1)证明：由题意知，AB 与圆 D 和圆 O 都相切，切点分别为点 A 和点 B，由切割线定理得 EA2EFECEB2，EAEB，即点 E 为 AB 的中点(2)由 BC 为圆 O 的直径，得 BFCE，SBEC12BFCE12CBBE，BFBECBCE，BF 5a5.2如图，点 E 是圆 O 内两弦 AB 和 CD 的交点，过 AD 延长线上一点 F 作圆 O 的
2、切线 FG，G 为切点，已知 EFFG.求证：(1)DEFEAF；(2)EFCB.证明：(1)由切割线定理得 FG2FAFD，又 EFFG，所以 EF2FAFD，即EFFAFDEF.因为EFADFE，所以DEFEAF.(2)由(1)得FEDFAE.因为FAEDCB，所以FEDBCD，所以 EFCB.3如图，点 P 是O 的直径 AB 延长线上的一点，割线 PCD交O 于 C，D 两点，弦 DF 与直径 AB 垂直，H 为垂足，CF 与AB 交于点 E.(1)求证：PAPBPOPE；(2)若 DECF，P15，O 的半径为 2，求弦 CF 的长解：(1)证明：连接 OD.AB 是O 的直径，弦
3、DF 与直径 AB 垂直，H 为垂足，C在O 上，DOADCF，PODPCE.又DPOEPC，PDOPEC，PDPEPOPC，即 PDPCPOPE.由割线定理得 PAPBPDPC，PAPBPOPE.(2)由已知，得直线 AB 是弦 DF 的垂直平分线，EDEF，DEHFEH.DECF，DEHFEH45.由PECFEH45，P15，得DCF60，DOADCF，DOA60.在 RtDHO 中，OD2，DHODsinDOH 3，DEEFDHsinDEH 6，CEDEtanDCE 2，CFCEEF 2 6.4如图，ABC 是直角三角形，ABC90，以 AB 为直径的圆 O 交 AC 于点 E，点 D
4、是 BC 边的中点，连接 OD 交圆 O于点 M.(1)求证：O，B，D，E 四点共圆；(2)若 AB4，AC5，求 DE 的长度解：(1)证明：连接 BE，OE，则 BEEC，又点 D 是 BC 的中点，所以 DEBD，又 OEOB，ODOD，所以ODEODB.所以OEDOBD90，所以 O，B，D，E 四点共圆(2)由题知 BC2AC2AB29，所以 BC3，又 BD12BC32，所以 DEBD32.5如图，已知圆 O1 与圆 O2 外切于点 P，直线 AB 是两圆的外公切线，分别与两圆相切于 A，B 两点，AC 是圆 O1 的直径，过 C 作圆 O2 的切线，切点为 D.(1)求证：C，
5、P，B 三点共线；(2)求证：CDCA.证明：(1)连接 PC，PA，PB，BO2，AC 是圆 O1 的直径，APC90.连接 O1O2，则 O1O2 必过点 P，设BAP，AB 是两圆的外公切线，A，B 为切点，BAPACP，AO1P2.O1AAB，O2BAB，BO2P1802，O2BP.又ABPO2BP90，ABPBAP90，APB90，又APC90，C，P，B 三点共线(2)CD 切圆 O2 于点 D，CD2CPCB.在ABC 中，CAB90，又APBC，CA2CPCB，故 CDCA.6已知O1 和O2 相交于 A，B 两点，过 A 点作O1 的切线交O2 于点 E，连接 EB 并延长交
6、O1 于点 C，直线 CA 交O2 于点 D.(1)当点 D 与点 A 不重合时，证明：EAED；(2)当点 D 与点 A 重合时，若 BC2，CE8，求O1 的直径解：(1)证明：连接 AB，在 EA 延长线上取点 F，如图，因为AE 是O1 的切线，切点为 A，所以FACABC.因为FACDAE，所以ABCDAE，而ABC 是O2 内接四边形ABED 的外角，所以ABCD，所以DAED，所以 EAED.(2)当点 D 与点 A 重合时，直线 CA 与O2 只有一个公共点，所以直线 CA 与O2 相切，连接 AB，如图，由弦切角定理知，13，24，而12，所以341218090，所以 AC 与 AE 分别为O1 和O2 的直径，所以由切割线定理知，AC2CBCE，而 BC2，CE8，所以 AC22816，AC4.故O1 的直径为 4.
