1、考点突破夯基释疑考点一考点三考点二例 1训练1例 2训练2例 3训练3第 8 讲 曲线与方程 概要课堂小结结束放映返回目录第2页 夯基释疑判断正误(在括号内打“”或“”)(1)f(x0，y0)0 是点 P(x0，y0)在曲线 f(x，y)0 上的充要条件()(2)方程 x2xyx 的曲线是一个点和一条直线()(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是 x2y2.()(4)方程 y x与 xy2 表示同一曲线()结束放映返回目录第3页 考点突破考点一 直接法求轨迹方程|O1M|x242，又|O1A|（x4）2y2，（x4）2y2 x242，解 如图，设动圆圆心为O1(x，y)，由题意，|
2、O1A|O1M|，当O1不在y轴上时，过O1作O1HMN交MN于H，则H是MN的中点【例1】(2013陕西卷选编)已知动圆过定点A(4，0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.试求动圆圆心的轨迹C的方程 利用直接法求轨迹化简得y28x(x0)当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标(0，0)也满足方程y28x，动圆圆心的轨迹C的方程为y28x.H结束放映返回目录第4页 考点突破规律方法 直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略，如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步，求出
3、曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性 考点一 直接法求轨迹方程结束放映返回目录第5页 考点突破【训练 1】在平面直角坐标系 xOy 中，点 P(a，b)(ab0)为动点，F1，F2 分别为椭圆x2a2y2b21 的左，右焦点已知F1PF2为等腰三角形(1)求椭圆的离心率 e；(2)设直线 PF2 与椭圆相交于 A，B 两点，M 是直线 PF2 上的点，满足AM BM 2，求点 M 的轨迹方程即（ac）2b22c，整理得 2 ca2ca10，解(1)设F1(c，0)，F2(c，0)(c0)由题意，可得|PF2|F1F2|，考点一 直接法求轨迹方程得ca1(舍去)或ca12.所以 e12.
4、结束放映返回目录第6页 考点突破【训练 1】在平面直角坐标系 xOy 中，点 P(a，b)(ab0)为动点，F1，F2 分别为椭圆x2a2y2b21 的左，右焦点已知F1PF2为等腰三角形(1)求椭圆的离心率 e；(2)设直线 PF2 与椭圆相交于 A，B 两点，M 是直线 PF2 上的点，满足AM BM 2，求点 M 的轨迹方程直线 PF2 的方程为 y 3(xc)(2)由(1)知 a2c，b 3c，可得椭圆方程为 3x24y212c2，消去y并整理，得5x28cx0.考点一 直接法求轨迹方程A，B 两点的坐标满足方程组3x24y212c2，y 3（xc）.解得 x10，x285c，得方程组
5、的解x10，y1 3c，x285c，y23 35 c.结束放映返回目录第7页 考点突破【训练 1】在平面直角坐标系 xOy 中，点 P(a，b)(ab0)为动点，F1，F2 分别为椭圆x2a2y2b21 的左，右焦点已知F1PF2为等腰三角形(1)求椭圆的离心率 e；(2)设直线 PF2 与椭圆相交于 A，B 两点，M 是直线 PF2 上的点，满足AM BM 2，求点 M 的轨迹方程则AM x85c，y3 35 c，BM(x，y 3c)不妨设 A85c，3 35 c，B(0，3c)设点M的坐标为(x，y)，考点一 直接法求轨迹方程由 y 3(xc)，得 cx 33 y.于是AM 8 315 y
6、35x，85y3 35 x，BM(x，3x)，结束放映返回目录第8页 考点突破【训练 1】在平面直角坐标系 xOy 中，点 P(a，b)(ab0)为动点，F1，F2 分别为椭圆x2a2y2b21 的左，右焦点已知F1PF2为等腰三角形(1)求椭圆的离心率 e；(2)设直线 PF2 与椭圆相交于 A，B 两点，M 是直线 PF2 上的点，满足AM BM 2，求点 M 的轨迹方程化简得 18x216 3xy150.由AM BM 2，即8 315 y35x x85y3 35 x 3x2，所以x0.考点一 直接法求轨迹方程将 y18x21516 3x 代入 cx 33 y，得 c10 x2516x0.
7、因此，点 M 的轨迹方程是 18x216 3xy150(x0)结束放映返回目录第9页 考点突破考点二 定义法求轨迹方程【例 2】(2013新课标全国卷改编)已知圆 M：(x1)2y21，圆 N：(x1)2y29，动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，圆心 P 的轨迹为曲线 C.求 C 的方程短半轴长为 3的椭圆(左顶点除外)，其方程为 x24 y231(x2)解 由已知得圆M的圆心为M(1，0)，半径r11；圆N的圆心为N(1，0)，半径r23.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|PN|(Rr1)(r2R)r1r24.由椭圆的定义可知，曲线
8、C是以M，N为左，右焦点，长半轴长为2，结束放映返回目录第10页 考点突破规律方法(1)求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可直接根据定义先确定轨迹类型，再写出其方程(2)关键：理解解析几何中有关曲线的定义是解题关键(3)利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制考点二 定义法求轨迹方程结束放映返回目录第11页 考点突破解 以BC的中点为原点，中垂线为y轴建立如图所示的坐标系，E、F分别为两个切点 则|BE|BD|，|CD|CF|，|AE|AF|.【训练 2】(20
9、15临汾调研)在ABC 中，|BC|4，ABC 的内切圆切 BC 于 D 点，且|BD|CD|2 2，求顶点 A 的轨迹方程|AB|AC|2 2，考点二 定义法求轨迹方程且 a 2，c2，点A的轨迹为以B，C的焦点的双曲线的右支(y0)b 2，轨迹方程为x22 y221(x 2)结束放映返回目录第12页 考点突破考点三 相关点法求轨迹方程【例 3】如图，动圆 C1：x2y2t2，1t3，与椭圆 C2：x29 y21 相交于 A，B，C，D 四点点 A1，A2 分别为 C2 的左，右顶点求直线 AA1 与直线 A2B 交点 M 的轨迹方程解 由椭圆 C2：x29 y21，知 A1(3，0)，A2
10、(3，0)直线 AA1 的方程为 y y0 x03(x3)直线 A2B 的方程为 y y0 x03(x3)设点A的坐标为(x0，y0)；由曲线的对称性，得B(x0，y0)，设点M的坐标为(x，y)，由得 y2 y20 x209(x29)又点 A(x0，y0)在椭圆 C 上，故 y201x209.将代入得x29 y21(x3，y0)因此点 M 的轨迹方程为x29 y21(x3，y0)结束放映返回目录第13页 考点突破规律方法(1)一是本题的轨迹方程中，要求x3，y0，所以求解时要结合几何性质和几何图形直观细心发掘二是求解中充分运用椭圆与圆的对称性，以及方程的整体代入，避免繁琐运算，优化解题过程(
11、2)相关点法求轨迹方程：形成轨迹的动点P(x，y)随另一动点Q(x，y)的运动而有规律地运动，而且动点Q的轨迹方程为给定的或容易求得的，则可先将x，y表示成关于x，y的式子，再代入Q的轨迹方程，求出动点P的轨迹方程 考点三 相关点法求轨迹方程结束放映返回目录第14页 考点突破解析 依题意知F1(1，0)，F2(1，0)，设P(x0，y0)，G(x，y)，由三角形重心坐标关系【训练 3】(2015大连、沈阳联考)已知 F1，F2 分别为椭圆 C：x24 y231 的左、右焦点，点 P 为椭圆 C 上的动点，则PF1F2 的重心 G的轨迹方程为()A.x236y2271(y0)B.4x29 y21
12、(y0)C.9x24 3y21(y0)Dx24y23 1(y0)可得xx0113，yy03即 x03x，y03y，代入x204 y2031，得重心 G 的轨迹方程为9x24 3y21(y0)考点三 相关点法求轨迹方程答案 C结束放映返回目录第15页 求轨迹方程的常用方法 1直接法：根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式(两点距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等)进行整理、化简，即把这种关系“翻译”成含x，y的等式就得到曲线的轨迹方程了 2定义法：若动点轨迹满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量，求出动点的轨迹方程 3相关点法：有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的，如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法 思想方法课堂小结结束放映返回目录第16页 1求轨迹方程时，要注意曲线上的点与方程的解是一一对应关系检验可从以下两个方面进行：一是方程的化简是否是同解变形；二是是否符合题目的实际意义 2求点的轨迹与轨迹方程是不同的要求，求轨迹时，应先求轨迹方程，然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等 易错防范课堂小结结束放映返回目录第17页（见教辅）
