1、第三章 3.2 3.2.2 复数代数形式的乘除运算 2 突破常考题型 题型一 1 理解教材新知 题型二 3 跨越高分障碍 4 应用落实体验 随堂即时演练 课时达标检测 知识点一 知识点二 题型三 复数的乘法导入新知1复数的乘法设 z1abi，z2cdi 是任意两个复数，那么它们的积(abi)(cdi)acbciadibdi2(a，b，c，dR)(acbd)(adbc)i2复数乘法的运算律对于任意 z1，z2，z3C，有交换律z1z2结合律(z1z2)z3_乘法对加法的分配律z1(z2z3)_z2z1z1(z2z3)z1z2z1z3化解疑难对复数乘法的理解(1)复数的乘法与多项式乘法是类似的，有
2、一点不同即必须在所得结果中把 i2 换成1，再把实部、虚部分别合并(2)两个复数的积仍然是一个复数，可推广到任意多个复数，任意多个复数的积仍然是一个复数.复数的除法提出问题问题 1：复数 z1abi 与 z2abi(a，bR)有什么关系？问题 2：试求 z1abi，z2abi(a，bR)的积提示：两复数实部相等，虚部互为相反数提示：z1z2a2b2，积为实数问题 3：如何规定两复数 z1abi，z2cdi(a，b，c，dR，cdi0)相除？提示：通常先把(abi)(cdi)写成abicdi的形式，再把分子和分母都乘 cdi，化简后可得结果即abicdiabicdicdicdiacbdbcadi
3、c2d2acbdc2d2 bcadc2d2 i(cdi0)导入新知1共轭复数的概念一般地，当两个复数的实部，虚部时，这两个复数叫做互为共轭复数通常记复数 z的共轭复数为 z，虚部不等于 0 的两个共轭复数也叫做共轭虚数2复数的除法法则设 z1abi，z2cdi(cdi0)，则z1z2abicdi_(cdi0)相等互为相反数acbdc2d2 bcadc2d2 i化解疑难辨析复数除法与实数除法的关系复数的除法和实数的除法有所不同，实数的除法可以直接约分、化简得出结果；而复数的除法是先将两复数的商写成分式，然后分母实数化(分子、分母同乘分母的共轭复数)复数的乘除运算例 1 计算：(1)(1i)(1i
4、)(1i)；(2)12 32 i32 12i(1i)；(3)(23i)(12i)；(4)32i23i32i23i.解(1)(1i)(1i)(1i)1i2(1i)21i1i.(2)12 32 i32 12i(1i)34 34 3414 i(1i)32 12i(1i)32 12 12 32 i1 321 32i.(3)(23i)(12i)23i12i 23i12i12i12i2634i12224575i.(4)法一：32i23i32i23i32i23i32i23i23i23i613i6613i64926i132i.法二：32i23i32i23ii23i23i i23i23iii2i.类题通法复数乘
5、除运算的常用技巧(1)按照复数的乘法法则，三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算和实数的运算顺序一致，在计算时，若符合乘法公式，则可直接运用公式计算(2)根据复数的除法法则，通过分子、分母都乘以分母的共轭复数，使“分母实数化”，这个过程与“分母有理化”类似活学活用(1)已知复数 z148i，z269i，求复数(z1z2)i 的实部与虚部；(2)已知 z 是纯虚数，z21i是实数，求 z.解：(1)由题意得 z1z2(48i)(69i)(46)(8i9i)2i，则(z1z2)i(2i)i2ii212i.于是复数(z1z2)i的实部是 1，虚部是2.(2)设纯虚数
6、 zbi(bR)，则z21ibi21i bi21i1i1i b2b2i2.由于z21i是实数，所以 b20，即 b2，所以 z2i.共轭复数例 2(1)若 z12ii，则复数 z()A2i B2iC2i D2i(2)(四川高考)如图，在复平面内，点 A 表示复数 z，则图中表示z 的共轭复数的点是()AABBCCDD(3)复数 z1i，z为 z 的共轭复数，则 z zz1()A2i BiCi D2i解析(1)z12ii12iii22i，则复数 z2i.(2)因为 xyi 的共轭复数为 xyi，故选 B.(3)依题意得 z zz1(1i)(1i)(1i)1i.答案(1)D(2)B(3)B类题通法
7、共轭复数的求解与应用(1)若复数 z 的代数形式已知，则根据共轭复数的定义可以写出 z，再进行复数的四则运算必要时，需通过复数的运算先确定出复数 z 的代数形式，再根据共轭复数的定义求 z.(2)共轭复数应用的另一种常见题型是：已知关于 z 和 z的方程，而复数 z 的代数形式未知，求 z，解此类题的常规思路为设 zabi(a，bR)，则 zabi，代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程(组)求解活学活用已知复数 z1i，复数 z 的共轭复数 z1i，求实数 a、b使 az2b z(a2z)2.解：z1i，z1i，az2b z(a2b)(a2b)i，(a2z)2(a2)244(a2)
8、i(a24a)4(a2)i.a、b 都是实数，由 az2b z(a2z)2，得a2ba24a，a2b4a2，解得a2，b1，或a4，b2.复数运算的综合应用例 3 已知 z1 是虚数，z2z1 1z1是实数，且1z21.(1)求|z1|的值以及 z1 的实部的取值范围；(2)若 1z11z1，求证：为纯虚数解 设 z1abi(a，bR，且 b0)(1)z2z11z1abi1abiaaa2b2 bba2b2 i.因为 z2 是实数，b0，于是有 a2b21，即|z1|1，所以 z22a.由1z21，得12a1，解得12a12，即 z1的实部的取值范围是12，12.(2)1z11z11abi1ab
9、i1a2b22bi1a2b2 ba1i.因为 a12，12，b0，所以 为纯虚数类题通法解决双复数问题的方法解决此类双复数问题的关键是设出已知条件较多的一个复数 zabi(a，bR)，注意题目对 a，b 取值的限制，然后用 a，b 表示出另外的复数，进而转化求解此类题目难度较大，除需正确进行复数的四则运算外，还需掌握复数的基本概念及复数模的定义活学活用已知 z，为复数，(13i)z 为实数，z2i，且|5 2，求.解：设 xyi(x，yR)，由 z2i，得 z(2i)(xyi)(2i)依题意，得(13i)z(13i)(xyi)(2i)(x7y)(7xy)i，7xy0.又|5 2，x2y250.
10、由得x1，y7，或x1，y7.17i 或 17i.5.误用判别式求解复数方程典例 已知关于 x 的方程 x2(k2i)x2ki0 有实数根，则实数 k 的值为_解析 设 x0 是方程的实数根，代入方程并整理得(x20kx02)(2x0k)i0.由 复 数 相 等 的 充 要 条 件 得x20kx020，2x0k0，解 得x0 2，k2 2，或x0 2，k2 2，所以 k 的值为2 2或 2 2.答案 2 2易错防范1求解本题易出现如下错误：因为方程有实数根，所以(k2i)24(2ki)0，解得 k2 3或 k2 3.需注意由于虚数单位的特殊性，不能用判别式判断复系数一元二次方程有无实数根2复数
11、范围内解方程的一般思路是：依据题意设出方程的根，代入方程，利用复数相等的充要条件求解对于一元二次方程，也可以利用求根公式求解，要注意在复数范围内负数是能开方的，此外，根与系数的关系也是成立的注意求方程中参数的取值时，不能利用判别式求解成功破障在复数范围内方程 x25|x|60 的解的个数为()A2 B4 C6 D8解析：设 xabi(a，bR)，那么原方程即为(abi)25 a2b260，即a2b25 a2b260，2ab0，解得a2，b0，或a3，b0，或a0，b1.答案：C 随堂即时演练1(浙江高考)已知 i 是虚数单位，则(1i)(2i)()A3i B13iC33i D1i解析：按照复数
12、乘法运算法则，直接运算即可(1i)(2i)13i.答案：B 2(湖北高考)在复平面内，复数 z 2i1i(i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解析：z 2i1i2i1i1i1i1i 的共轭复数为 1i，对应的点为(1，1)在第四象限答案：D 3若 21iabi(i 为虚数单位，a，bR)，则 ab_.解析：因为 21i21i1i1i1i，所以 1iabi，所以 a1，b1，所以 ab2.答案：24设 z1a2i，z234i，且z1z2为纯虚数，则实数 a 的值为_解析：设z1z2bi(bR 且 b0)，所以 z1biz2，即 a2ibi(34i)4b3bi.所以a4b，23b，所以 a83.答案：835计算：(1)(1i)12 32 i(1i)；(2)2 3i3 2i；(3)(2i)2.解：(1)法一：(1i)12 32 i(1i)12 32 i12i 32 i2(1i)312 312i(1i)312 312i 312i 312i21 3i.法二：原式(1i)(1i)12 32 i(1i2)12 32 i 212 32 i1 3i.(2)2 3i3 2i 2 3i 3 2i 3 2i 3 2i 2 3i 3 2i 32 22 62i3i 655i5i.(3)(2i)2(2i)(2i)44ii234i.课时达标检测
