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《创新设计》2015高考数学(苏教文)一轮配套文档:第11篇 第2讲 古典概型.doc

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资源描述

1、第2讲古典概型知 识 梳 理1古典概型(1)我们把具有:试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;每个基本事件出现的可能性相等,以上两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典模型(2)古典概率模型的概率求法如果一次试验中基本事件共有n个,那么每一个基本事件发生的概率都是,如果某个事件A包含了其中的m个基本事件,那么事件A发生的概率为P(A).2古典概型的概率公式P(A).辨 析 感 悟1古典概型的意义(1)“在适宜条件下,种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型,其基本事件是“发芽与不发芽”()(2)掷一枚硬币两次,出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”,这三个结果是等可能事件()(3)(教

2、材习题改编)有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为.()2古典概型的计算(4)在古典概型中,如果事件A中基本事件构成集合A,所有的基本事件构成集合I,则事件A的概率为.()(5)(教材习题改编)任意投掷两枚骰子,出现点数和为奇数的概率为.()(6)(2013重庆卷改编)若甲、乙、丙三人随机地站成一排,则甲、乙两人相邻而站的概率为.()感悟提升1一点提醒一个试验是否为古典概型,在于这个试验是否具有古典概型的两个特点有限性和等可能性,只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型,如(1)、(2)2一种思想从集合的角度

3、去看待概率,在一次试验中,等可能出现的全部结果组成一个集合I,基本事件的个数n就是集合I的元素个数,事件A是集合I的一个包含m个元素的子集,故P(A),如(4);根据古典概型概率公式计算,如(5)、(6)考点一简单古典概型的概率【例1】 (2013新课标全国卷改编)从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是_解析从1,2,3,4中任取2个不同的数,有1,2,1,3,1,4,2,3,2,4,3,4共有6种取法构成“取出的2个数之差的绝对值为2”这个事件的基本事件的个数为2.所以,所求概率P.答案规律方法 列举法列出所有基本事件的个数n和所求事件包含的基本事件的个数

4、m,利用公式P可求【训练1】 (2013浙江卷)从3男3女共6名同学中任选2名(每名同学被选中的机会均等),这2名都是女同学的概率等于_解析设3名男同学分别为a1,a2,a3,3名女同学分别为b1,b2,b3,则从6名同学中任选2名的结果有a1a2,a1a3,a2a3,a1b1,a1b2,a1b3,a2b1,a2b2,a2b3,a3b1,a3b2,a3b3,b1b2, b1b3,b2b3,共15种,其中都是女同学的有3种,所以概率P.答案考点二复杂古典概型的概率【例2】 (2013辽宁卷)现有6道题,其中4道甲类题,2道乙类题,张同学从中任取2道题解答试求:(1)所取的2道题都是甲类题的概率;

5、(2)所取的2道题不是同一类题的概率解(1)将4道甲类题依次编号为1,2,3,4;2道乙类题依次编号为5,6.任取2道题,基本事件为:1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,2,6,3,4,3,5,3,6,4,5,4,6,5,6,共15个,而且这些基本事件的出现是等可能的用A表示“都是甲类题”这一事件,则A包含的基本事件有1,2,1,3,1,4,2,3,2,4,3,4,共6个,所以P(A).(2)基本事件同(1),用B表示“不是同一类题”这一事件,则B包含的基本事件有1,5,1,6,2,5,2,6,3,5,3,6,4,5,4,6,共8个,所以P(B).规律方法 求古典概

6、型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数,这就需要正确列出基本事件,基本事件的表示方法有列举法、列表法和树形图法,具体应用时可根据需要灵活选择.【训练2】 (2014滨州一模)甲、乙两名考生在填报志愿时都选中了A,B,C,D四所需要面试的院校,这四所院校的面试安排在同一时间因此甲、乙都只能在这四所院校中选择一所做志愿,假设每位同学选择各个院校是等可能的,试求:(1)甲、乙选择同一所院校的概率;(2)院校A,B至少有一所被选择的概率解由题意可得,甲、乙都只能在这四所院校中选择一个做志愿的所有可能结果为:(甲A,乙A),(甲A,乙B),(甲A,乙C),(甲A,乙D),(甲

7、B,乙A),(甲B,乙B),(甲B,乙C),(甲B,乙D),(甲C,乙A),(甲C,乙B),(甲C,乙C),(甲C,乙D),(甲D,乙A),(甲D,乙B),(甲D,乙C),(甲D,乙D),共16种(1)设“甲、乙选择同一所院校”为事件E,则事件E包含4个基本事件,故概率P(E).(2)设“院校A,B至少有一所被选择”为事件F,则事件F包含12个基本事件,故概率P(F).1古典概型计算三步曲第一,本试验是否是等可能的;第二,本试验的基本事件有多少个;第三,事件A是什么,它包含的基本事物有多少个2确定基本事件的方法列举法、列表法、树形图法答题模板12古典概型的概率求解【典例】 (12分)(2013

8、山东卷)某小组共有A,B,C,D,E五位同学,他们的身高(单位:米)及体重指标(单位:千克/米2)如下表所示:ABCDE身高1.691.731.751.791.82体重指标19.225.118.523.320.9(1)从该小组身高低于1.80的同学中任选2人,求选到的2人身高都在1.78以下的概率;(2)从该小组同学中任选2人,求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在18.5,23.9)中的概率规范解答(1)从身高低于1.80的同学中任选2人,其一切可能的结果组成的基本事件有:(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D)共6个(3分)由于每个人被选到的机会均等

9、,因此这些基本事件的出现是等可能的选到的2人身高都在1.78以下的事件有(A,B),(A,C),(B,C),共3个因此选到的2人身高都在1.78以下的概率为P.(6分)(2)从该小组同学中任选2人,其一切可能的结果组成的基本事件有:(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E),共10个(9分)由于每个人被选到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的选到的2人身高都在1.70以上且体重指标都在18.5,23.9)中的事件有(C,D),(C,E),(D,E),共3个因此选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在18.

10、5,23.9)中的概率为P1.(12分)反思感悟 (1)列举基本事件时要分清两个问题:是否有顺序,有序的和无序的是有区别的;是否允许重复,如在取球问题中无放回地取球就是元素不允许重复,有放回地取球就是元素允许重复(2)本题易错点就是列举事件的个数易出错【自主体验】(2014枣庄一模)有编号为A1,A2,A3,A4,A5,A6的6位同学,进行100米赛跑,得到下面的成绩:编号A1A2A3A4A5A6成绩(秒)12.212.411.812.611.813.3其中成绩在13秒内的同学记为优秀(1)从上述6名同学中,随机抽取一名,求这名同学成绩优秀的概率;(2)从成绩优秀的同学中,随机抽取2名,用同学

11、的编号列出所有可能的抽取结果,并求这2名同学的成绩都在12.3秒内的概率解(1)由所给成绩可知,优秀同学共有5名设“从6名同学中,随机抽取一名为优秀”为事件A,则P(A).(2)成绩优秀同学的编号为A1,A2,A3,A4,A5,从这5名同学中随机抽取2名,所有可能的结果为:A1,A2,A1,A3,A1,A4,A1,A5,A2,A3,A2,A4,A2,A5,A3,A4,A3,A5,A4,A5,共有10种设“这2名同学的成绩都在12.3秒内”为事件B,则B中所有可能结果为A1,A3,A1,A5,A3,A5,共有3种所以P(B).基础巩固题组(建议用时:40分钟)一、填空题1一枚硬币连掷2次,恰有一

12、次正面朝上的概率为_解析一枚硬币连掷2次,基本事件有(正,正),(正,反),(反,正),(反,反),而只有一次出现正面的基本事件有(正,反),(反,正),故其概率为.答案2(2013新课标全国卷)从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数,其和为5的概率是_解析任取两个不同的数的情况有:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10种,其中和为5的有2种,所以所求概率为.答案3(2014金华模拟)从1,2,3,4,5,6六个数中任取2个数,则取出的两个数不是连续自然数的概率是_解析取出的两个数是连续自然数有5种情况

13、,则取出的两个数不是连续自然数的概率P1.答案4(2014盐城一模)从1,2,3,4,5中随机选取一个数为a,从1,2,3中随机选取一个数为b,则ba的概率是_解析基本事件的个数有15种,其中满足ba的有3种,所以ba的概率为.答案5(2012安徽卷改编)袋中共有6个除了颜色外完全相同的球,其中有1个红球、2个白球和3个黑球,从袋中任取两球,两球颜色为一白一黑的概率等于_解析1个红球,2个白球和3个黑球分别记为a1,b1,b2,c1,c2,c3.从袋中任取两球有(a1,b1),(a1,b2),(a1,c1),(a1,c2),(a1,c3),(b1,b2),(b1,c1),(b1,c2),(b1

14、,c3),(b2,c1),(b2,c2),(b2,c3),(c1,c2),(c1,c3),(c2,c3),共15种;满足两球颜色为一白一黑的有6种,概率等于.答案6一根绳子长为6米,绳子上有5个节点将绳子6等分,现从5个节点中随机选一个将绳子剪断,则所得的两段绳长均不小于2米的概率为_解析随机选一个节点将绳子剪断共有5种情况,分别为(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)满足两段绳长均不小于2米的为(2,4),(3,3),(4,2),共3种情况所以所求概率为.答案7(2013安徽卷)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人,这五人被录用的机会均等,则甲或乙被录用的

15、概率为_解析记事件A:甲或乙被录用从五人中录用三人,基本事件有(甲,乙,丙),(甲,乙,丁),(甲,乙,戊),(甲,丙,丁),(甲,丙,戊),(甲,丁,戊),(乙,丙,丁),(乙,丙,戊),(乙,丁,戊),(丙,丁,戊),共10种可能,而A的对立事件仅有(丙,丁,戊)一种可能,A的对立事件的概率为P(),P(A)1P().答案8从长度分别为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条,则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是_解析从四条线段中任取三条有4种取法:(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),其中能构成三角形的取法有3种:(2,3,4),(2,4,5),(3,4,5)

16、,故所求的概率为.答案二、解答题9(2013天津卷)某产品的三个质量指标分别为x,y,z,用综合指标Sxyz评价该产品的等级若S4,则该产品为一等品现从一批该产品中,随机抽取10件产品作为样本,其质量指标列表如下:产品编号A1A2A3A4A5质量指标(x,y,z)(1,1,2)(2,1,1)(2,2,2)(1,1,1)(1,2,1)产品编号A6A7A8A9A10质量指标(x,y,z)(1,2,2)(2,1,1)(2,2,1)(1,1,1)(2,1,2)(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率;(2)在该样本的一等品中,随机抽取2件产品用产品编号列出所有可能的结果;设事件B为“在取出的

17、2件产品中,每件产品的综合指标S都等于4”,求事件B发生的概率解(1)计算10件产品的综合指标S,如下表:产品编号A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10S4463454535其中S4的有A1,A2,A4,A5,A7,A9,共6件,故该样本的一等品率为0.6,从而可估计该批产品的一等品率为0.6.(2)在该样本的一等品中,随机抽取2件产品的所有可能结果为A1,A2,A1,A4,A1,A5,A1,A7,A1,A9,A2,A4,A2,A5,A2,A7,A2,A9,A4,A5,A4,A7,A4,A9,A5,A7,A5,A9,A7,A9,共15种在该样本的一等品中,综合指标S等于4的产品编号分别为A

18、1,A2,A5,A7,则事件B发生的所有可能结果为A1,A2,A1,A5,A1,A7,A2,A5,A2,A7,A5,A7,共6种所以P(B).10现有8名奥运会志愿者,其中志愿者A1,A2,A3通晓日语,B1,B2,B3通晓俄语,C1,C2通晓韩语从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名,组成一个小组(1)求A1被选中的概率;(2)求B1和C1不全被选中的概率解(1)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名,其一切可能的结果组成的基本事件共18个:(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1,B3,C1),(A1,B3,C2),(A2,B1,

19、C1),(A2,B1,C2),(A2,B2,C1),(A2,B2,C2),(A2,B3,C1),(A2,B3,C2),(A3,B1,C1),(A3,B1,C2),(A3,B2,C1),(A3,B2,C2),(A3,B3,C1),(A3,B3,C2)由18个基本事件组成由于每一个基本事件被抽取的机会均等,因此这些基本事件的发生是等可能的用M表示“A1恰被选中”这一事件,则包含的结果为:(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1,B3,C1),(A1,B3,C2)事件M由6个基本事件组成,因而P(M).(2)用N表示“B1、C1不全被选中”这一事

20、件,则其对立事件表示“B1、C1全被选中”这一事件,由于包含(A1,B1,C1),(A2,B1,C1),(A3,B1,C1)3个结果,事件有3个基本事件组成,所以P(),由对立事件的概率公式得P(N)1P()1.能力提升题组(建议用时:25分钟)一、填空题1在长方体ABCDA1B1C1D1的八个顶点任两点连线中,随机取一直线,则该直线与平面AB1D1平行的概率为_解析画出该长方体的直观图,可知与平面AB1D1平行的直线有BD,BC1,DC1,故该直线与平面AB1D1平行的概率为P.答案2(2014丽水一模)设集合A1,2,B1,2,3,分别从集合A和B中随机取一个数a和b,确定平面上的一个点P

21、(a,b),记“点P(a,b)落在直线xyn上”为事件Cn(2n5,nN),若事件Cn的概率最大,则n的所有可能值为_解析分别从集合A和B中随机取出一个数,确定平面上的一个点P(a,b),则有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),共6种情况,ab2的有1种情况,ab3的有2种情况,ab4的有2种情况,ab5的有1种情况,所以可知若事件Cn的概率最大,则n的所有可能值为3和4.答案3和43(2014南京模拟)在集合A2,3中随机取一个元素m,在集合B1,2,3中随机取一个元素n,得到点P(m,n),则点P在圆x2y29内部的概率为_解析由题意得到的P(m,n)有

22、(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),共6个,在圆x2y29的内部的点有(2,1),(2,2),所以概率为.答案二、解答题4一汽车厂生产A,B,C三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表(单位:辆):轿车A轿车B轿车C舒适型100150z标准型300450600按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有A类轿车10辆(1)求z的值;(2)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本将该样本看成一个总体,从中任取2辆,求至少有1辆舒适型轿车的概率;(3)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆,经检测它们的得分如下:

23、94,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2,把这8辆轿车的得分看成一个总体,从中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率解(1)设该厂这个月共生产轿车n辆,由题意得,所以n2 000,则z2 000100300150450600400.(2)设所抽样本中有a辆舒适型轿车,由题意得,则a2.因此抽取的容量为5的样本中,有2辆舒适型轿车,3辆标准型轿车用A1,A2表示2辆舒适型轿车,用B1,B2,B3表示3辆标准型轿车,用E表示事件“在该样本中任取2辆,其中至少有1辆舒适型轿车”,则基本事件空间包含的基本事件有:(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3),共10个事件E包含的基本事件有:(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),共7个故P(E),即所求概率为.(3)样本平均数(9.48.69.29.68.79.39.08.2)9.设D表示事件“从样本中任取一个数,该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5”,则基本事件空间中有8个基本事件,事件D包含的基本事件有9.4,8.6,9.2,8.7,9.3,9.0,共6个,所以P(D),即所求概率为.

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