1、章末章末分层突破,自我校对1(ab0) 1(ab0) (a,0)，(0，b)或(0，a)，(b,0)2a 2b (c,0)，(c,0) 2c 1(a，b0) yxyx y22px(p0) x22py(p0) (，0) y椭圆 双曲线 y x y圆锥曲线的定义的应用圆锥曲线的定义在解题中有着重要作用，要注意灵活运用，可以优化解题过程，圆锥曲线的定义是相对应标准方程和几何性质的“源”，“回归定义”是一种重要的解题策略.运用定义解题主要体现在以下几个方面：(1)在求动点的轨迹方程时，如果动点所满足的几何条件符合某种圆锥曲线的定义，则可直接根据圆锥曲线的方程写出所求的动点的轨迹方程；(2)涉及椭圆或双
2、曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题，常常运用圆锥曲线的定义并结合三角形中的正、余弦定理来解决；(3)在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义，把抛物线上某一点到焦点的距离转化为到准线的距离，并结合图形的几何意义去解决.设F1，F2是椭圆1的两个焦点，P是椭圆上的一点，若0，且PF1PF2，求的值.【精彩点拨】 0PF1F2是直角三角形求出PF1与PF2【规范解答】由0，知PF1PF2，F1FPFPF，由椭圆方程1，知a29，b24，c，F1F22.因此PFPF20.又由椭圆定义，得PF1PF26.由题意知，PF1PF2，联立、得PF14，PF22.从而的值为2.再练一题1.已知双曲线的两个焦点
3、F1(，0)，F2(，0)，P是双曲线上一点，且 0，PF1PF22，则双曲线的标准方程为_.【解析】由题意可设双曲线方程为1(a0，b0).由 0，得PF1PF2.根据勾股定理得PFPF(2c)2，即PFPF20.根据双曲线定义有PF1PF22a.两边平方并代入PF1PF22得：20224a2，解得a24，从而b2541，所以双曲线方程为y21.【答案】y21圆锥曲线的方程与性质的应用1.本类问题主要有两种考查类型：(1)已知圆锥曲线的方程研究其几何性质，其中以求椭圆、双曲线的离心率为考查重点；(2)已知圆锥曲线的性质求其方程.2.对于求椭圆和双曲线的离心率，有两种方法：(1)代入法就是代入
4、公式e求离心率；(2)列方程法就是根据已知条件列出关于a，b，c的关系式，然后把这个关系式整体转化为关于e的方程，解方程即可求出e值.3.求曲线方程的基本方法是待定系数法，其步骤可以概括为“先定位、后定量.”已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线与抛物线y22px(p0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点.若双曲线的离心率为2，AOB的面积为，则p_.【精彩点拨】 双曲线的离心率为2建立a，b的等量关系求出A，B两点坐标求p【规范解答】e2，b23a2，双曲线的两条渐近线方程为yx，不妨设A，B，则ABp，又三角形的高为，则SAOBp，即p24，又p0，p2.【答案】2再练一题2.(201
5、6徐州高二检测)已知椭圆C：1(ab0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|10，|AF|6，cosABF，则C的离心率e_.【解析】在ABF中，由余弦定理得，cosABF，BF216BF640，BF8，设右焦点为F1，因为直线过原点，BF1AF6，2aBFBF114，a7，O为RtABF斜边AB的中点，OFAB5，c5，e.【答案】直线与圆锥曲线的位置关系1.判断直线与二次曲线的位置关系，可把直线方程与二次方程联立，消元后的一元二次方程的判别式大于零，则直线与圆锥曲线有两个交点；等于零，则只有一个交点；小于零，则没有交点.2.涉及直线与圆锥曲线的两个交点
6、坐标问题时，一般不是求出这两个点的坐标，而是设出这两个点的坐标，根据直线方程和曲线方程联立消元后的方程根的情况，使用根与系数的关系进行整体代换，这种设而不求的思想是解析几何中处理直线和二次曲线相交问题的最基本的方法.设椭圆1(ab0)的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.(1)求椭圆的方程；(2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点，若8，求k的值.【精彩点拨】(1)利用过点F且与x轴垂直的直线方程，根据线段的长度求出交点的坐标并代入椭圆方程求出a和b，可得椭圆方程；(2)设出直线方程，和椭圆方程联立得到二次方程，利用韦达定
7、理把向量式用点的坐标表示得到关于k的方程，解方程可得k的值.【规范解答】 (1)设F(c,0)，由，知ac.过点F且与x轴垂直的直线为xc，代入椭圆方程有1，解得y，于是，解得b.又a2c2b2，从而a，c1，所以椭圆的方程为1.(2)设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，由F(1,0)得直线CD的方程为yk(x1)，由方程组消去y，整理得(23k2)x26k2x3k260.由根与系数的关系可得x1x2，x1x2.因为A(，0)，B(，0)，所以(x1，y1)(x2，y2)(x2，y2)(x1，y1)62x1x22y1y262x1x22k2(x11)(x21)6(22k2)x1x22k2(x
8、1x2)2k26.由已知得68，解得k.再练一题3.已知抛物线C：y24x，F是抛物线C的焦点，过点F的直线l与C相交于A，B两点，O为坐标原点.(1)如果l的斜率为1，求以AB为直径的圆的方程；(2)设FA2BF，求直线l的方程.【解】设A(x1，y1)，B(x2，y2).(1)y24x，F(1,0)，又直线l的斜率为1，直线l的方程为yx1，代入y24x，得x26x10，由根与系数的关系得，易得AB的中点，即圆心的坐标为(3,2)，又ABx1x2p8，圆的半径r4，所求的圆的方程为(x3)2(y2)216.(2)FA2BF，2，而(x11，y1)，(1x2，y2)，易知直线l的斜率存在，设
9、直线l的斜率为k，则直线l的方程为yk(x1)，代入y24x，得k2x2(2k24)xk20，由根与系数的关系得x112(1x2)，或，k2，直线l的方程为y2(x1).函数与方程思想圆锥曲线中的许多问题，若能运用函数与方程的思想去分析，则往往能较快地找到解题的突破口.用函数思想求解圆锥曲线中的有关定值、最值问题，最值问题可以说是高中数学中永恒的话题，在圆锥曲线问题中也不例外，而函数思想是解决最值问题最有利的武器.我们通常可用建立目标函数的方法解有关圆锥曲线的最值问题.方程思想是从分析问题的数量关系入手，通过联想与类比，将问题中的条件转化为方程或方程组，然后通过解方程或方程组使问题获解.方程思
10、想是高中数学中的最基本、最重要的思想方法之一，在高考中占有非常重要的地位.在求圆锥曲线方程、直线与圆锥曲线的位置关系的问题中经常利用方程或方程组来解决.点A、B分别是椭圆1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PAPF.(1)求点P的坐标；(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于MB，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值.【精彩点拨】由PAPF得P点的轨迹方程与椭圆方程联立，求P点的坐标由M到直线AP的距离等于MB求出M点坐标将距离d表示成关于椭圆上点的横坐标的函数，转化为函数最值. 【规范解答】(1)由已知可得点A(6,0)，F(4,0).设点P(
11、x，y)，则kAPkPF1.由已知可得则2x29x180.解得x，或x6(舍去).所以x，由于y0，故y.所以点P的坐标是.(2)易知直线AP的方程是xy60.设点M(m,0)，则M到直线AP的距离是.于是|m6|.又6m6，解得m2.椭圆上的点(x，y)到点M的距离的平方为：d2(x2)2y2x24x420x2215.由于6x6，所以当x时，d取得最小值.再练一题4.已知过抛物线y22px(p0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10，b0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2xy0垂直，则双曲线的方程为_. 【导学号：24830058】【解析】由焦距
12、为2得c.因为双曲线的一条渐近线与直线2xy0垂直，所以.又c2a2b2，解得a2，b1，所以双曲线的方程为y21.【答案】y213.(2016北京高考)已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线为2xy0，一个焦点为(，0)，则a_，b_. 【导学号：24830059】【解析】因为双曲线1(a0，b0)的一条渐近线为2xy0，即y2x，所以2.又双曲线的一个焦点为(，0)，所以a2b25.由得a1，b2.【答案】124.(2015福建高考改编)已知椭圆E：1(ab0)的右焦点为F.短轴的一个端点为M，直线l：3x4y0交椭圆E于A，B两点.若|AF|BF|4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的
13、离心率的取值范围是_.【解析】设左焦点为F1，连接AF1，BF1.则四边形BF1AF是平行四边形，故|AF1|BF|，所以|AF|AF1|42a，所以a2，设M(0，b)，则，故b1，从而a2c21,0c23,0c，所以椭圆E的离心率的取值范围是.【答案】5.(2016全国甲卷)已知A是椭圆E：1的左顶点，斜率为k(k0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MANA.(1)当|AM|AN|时，求AMN的面积；(2)当2|AM|AN|时，证明：k0.由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为.又A(2,0)，因此直线AM的方程为yx2.将xy2代入1得7y212y0.解得y0或y，所以y1.因此
14、AMN的面积SAMN2.(2)证明：设直线AM的方程为yk(x2)(k0)，代入1得(34k2)x216k2x16k2120.由x1(2)得x1，故|AM|x12|.由题意，设直线AN的方程为y(x2)，故同理可得|AN|.由2|AM|AN|得，即4k36k23k80.设f(t)4t36t23t8，则k是f(t)的零点.f(t)12t212t33(2t1)20，所以f(t)在(0，)单调递增.又f()15260，f(2)60，因此f(t)在(0，)有唯一的零点，且零点k在(，2)内，所以k2.章末综合测评(二)圆锥曲线与方程(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5
15、分，共70分.请把答案填写在题中横线上.)1.双曲线1的两条渐近线的方程为_.【解析】由双曲线方程可知a4，b3，所以两条渐近线方程为yx.【答案】yx2.(2015上海高考)已知(2,0)是双曲线x21(b0)的一个焦点，则b_.【解析】由题意知c2，a1，b2c2a23，所以b.【答案】3.若方程1表示椭圆，则k的取值范围为_.【解析】由题意可知解得3k5且k4.【答案】(3,4)(4,5)4.以y3为准线的抛物线的标准方程为_.【解析】设抛物线的标准方程为x22py(p0)，则3，p6，则抛物线方程为x212y.【答案】x212y5.(2015上海高考)抛物线y22px(p0)上的动点Q
16、到焦点的距离的最小值为1，则p_.【解析】依题意，点Q为坐标原点，所以1，即p2.【答案】26.椭圆1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若PF14，则PF2_，F1PF2的大小为_.【解析】由椭圆的定义知PF1PF22a236，因为PF14，所以PF22.在PF1F2中，cosF1PF2，F1PF2120.【答案】21207.已知A(0，1)、B(0,1)两点，ABC的周长为6，则ABC的顶点C的轨迹方程是_.【解析】2cAB2，c1，CACB6242a，顶点C的轨迹是以A、B为焦点的椭圆(A、B、C不共线).因此，顶点C的轨迹方程1(y2).【答案】1(y2)8.(2015天津高考改编)已知
17、双曲线1(a0，b0)的一个焦点为F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x2)2y23相切，则双曲线的方程为_. 【导学号：24830061】【解析】由双曲线的渐近线bxay0与圆(x2)2y23相切得，由c2，解得a1，b.【答案】x219.已知双曲线中心在原点且一个焦点为F1(，0)，点P位于该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0,2)，则双曲线的方程是_.【解析】F1(，0)，PF1的中点坐标为(0,2)，P的坐标为(，4).又双曲线的一个焦点为F1(，0)，另一个焦点为F2(，0).2a|PF1PF2|2.a1.又c，b2c2a24.双曲线方程为x21.【答案】x2110.已知抛物线C：
18、x2y，过点A(0，1)和点B(t,3)的直线与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是_.【解析】显然t0，直线AB的方程为yx1，代入抛物线方程得2tx24xt0.由题意168t20，解得t.【答案】(，)(，)11.若点O和点F分别为椭圆1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为_.【解析】椭圆的左焦点F为(1,0)，设P(x，y)，(x，y)(x1，y)x(x1)y2x2x3(x2)222x2，当x2时，有最大值6.【答案】612.一动圆与两圆：x2y21和x2y26x50都外切，则动圆圆心的轨迹为_.【解析】x2y21是以原点为圆心，半径为1的圆，x2y26x50化为标准
19、方程为(x3)2y24，是圆心为A(3,0)，半径为2的圆.设所求动圆圆心为P，动圆半径为r，如图，则PAPO1AO3，符合双曲线的定义，结合图形可知，动圆圆心的轨迹为双曲线的一支.【答案】双曲线的一支13.(2015山东高考)过双曲线C：1(a0，b0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P，若点P的横坐标为2a，则C的离心率为_.【解析】先表示出直线的方程和点P的坐标，再将点P的坐标代入直线的方程可得关于a，b，c的方程，化简可以求出离心率.如图所示，不妨设与渐近线平行的直线l的斜率为，又直线l过右焦点F(c,0)，则直线l的方程为y(xc).因为点P的横坐标为2a，代入双曲线方程
20、得1，化简得yb或yb(点P在x轴下方，故舍去)，故点P的坐标为(2a，b)，代入直线方程得b(2ac)，化简可得离心率e2.【答案】214.已知直线yk(x2)(k0)与抛物线C：y28x相交于A、B两点，F为C的焦点，若FA2FB，则k_. 【解析】过A、B作抛物线准线l的垂线，垂足分别为A1、B1， 由抛物线定义可知，AA1AF，BB1BF，又2FBFA，AA12BB1，即B为AC的中点.从而yA2yB，联立方程组消去x得y2y160，消去yB得k.【答案】二、解答题(本大题共6小题，共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)15.(本小题满分14分)已知抛物线C1的顶点在坐
21、标原点，它的焦点为双曲线C2：1(a0，b0)的一个焦点F，若抛物线C1与双曲线C2的一个交点是M.(1)求抛物线C1的方程及其焦点F的坐标；(2)求双曲线C2的方程及离心率e.【解】设抛物线C1的方程为y22px(p0)，因为图象过点M，则有22p，所以p2，则抛物线C1的方程为y24x，焦点F的坐标为(1,0).(2)由双曲线C2过点M以及焦点为(1,0)和(1,0)，由双曲线的定义可知2a，所以a，b2 ，所以双曲线C2的方程为9x2y21，离心率e3.16.(本小题满分14分)椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为2.一双曲线和该椭圆有公共焦点，且双曲线的半实轴长比椭圆的半长轴长小4
22、，双曲线离心率与椭圆离心率之比为73，求椭圆和双曲线的方程.【解】焦点在x轴上，椭圆为1(ab0)，且c.设双曲线为 1(m0，n0)，ma4.因为，所以，解得a7，m3.因为椭圆和双曲线的焦半距为，所以b236，n24.所以椭圆方程为1，双曲线方程为1.焦点在y轴上，椭圆方程为1，双曲线方程为1.17.(本小题满分14分)如图1所示，已知斜率为1的直线l过椭圆y21的右焦点F，交椭圆于A、B两点，求弦AB的长.图1 【解】设A、B两点的坐标分别为A(x1，y1)、B(x2，y2)，由椭圆方程知a24，b21，c23，所以F(，0)，直线l的方程为yx.将其代入x24y24，化简整理，得5x2
23、8x80.所以x1x2，x1x2.所以AB|x1x2| .18.(本小题满分16分)如图2，已知椭圆1(ab0)的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1、F2为顶点的三角形的周长为4(1)，一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D.图2 (1)求椭圆和双曲线的标准方程；(2)设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，求证：k1k21.【解】 (1)设椭圆的半焦距为c，由题意知，2a2c4(1)，所以a2，c2.又a2b2c2，因此b2.故椭圆的标准方程为1.由题意设等轴双曲线的标准方程为1(m0)，因为等
24、轴双曲线的顶点是椭圆的焦点，所以m2，因此双曲线的标准方程为1.(2)证明：设P(x0，y0)，则k1，k2.因为点P在双曲线x2y24上，所以xy4.因此k1k21，即k1k21.19.(本小题满分16分)已知直线yx2和椭圆1(ab0)相交于A，B两点，M为AB的中点，若AB2，直线OM的斜率为(O为坐标原点)，求椭圆的方程.【解】由消去y，整理得(a24b2)x28a2x16a24a2b20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由根与系数的关系，得x1x2，x1x2.又设AB的中点M(xM，yM)，则xM，yMxM2.直线OM的斜率kOM，a24b2，从而x1x24，x1x282b2
25、.又AB2， 2，即2，解得b24，a24b216，故所求椭圆的方程为1.20.(本小题满分16分)(2016盐城高二检测)设椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B.已知ABF1F2.(1)求椭圆的离心率.(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过点F2的直线l与该圆相切于点M，MF22.求椭圆的方程.【解】(1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c,0)，由ABF1F2，可得a2b23c2，又b2a2c2，则.所以椭圆的离心率e.(2)由(1)知a22c2，b2c2，故椭圆方程为1.设P(x0，y0)，由F1(c,0)，B(0，c)，有(x0c，y0)，(c，c)，由已知，有0，即(x0c)cy0c0.又c0，故有x0y0c0.因为点P在椭圆上，故1.由和可得3x4cx00，而点P不是椭圆的顶点，故x0，代入得y0，即点P的坐标为.设圆的圆心为T(x1，y1)，则x1c，y1c，进而圆的半径rc.由已知，有TFMFr2，又MF22，故有228c2.解得c23.所以所求椭圆的方程为1.
