1、第九章解析几何第八节直线与圆锥曲线的综合问题第1课时直线与圆锥曲线的位置关系A级基础过关|固根基|1.若直线yx2与椭圆1有两个公共点，则实数m的取值范围是()A(1，) B(1，3)(3，)C(3，) D(0，3)(3，)解析：选B由得(m3)x24mxm0.由16m24m(m3)0且m3及m0，得m1且m3.2设直线ykx与椭圆1相交于A，B两点，分别过A，B两点向x轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则实数k等于()A BC D2解析：选A由题意可知，点A与点B的横坐标即为焦点的横坐标，又c1，当k0时，不妨设A，B两点的坐标分别为(1，y1)，(1，y2)，代入椭圆方程得解得k；同理可
2、得当k0)的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p的值是()A1 B2C3 D4解析：选B设过点(3，1)的直线交抛物线y22px(p0)于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由得，yy2p(x1x2)，即，由题意知kAB2，且y1y22，故kAB2，所以p2.4椭圆mx2ny21与直线y1x交于M，N两点，连接原点与线段MN中点所得直线的斜率为，则的值是()A. B.C. D.解析：选A由得(mn)x22nxn10.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2，所以y1y2，所以线段MN的中点为P.由题意知，kOP，所以.故选A.5已知椭圆C：1(ab0)及点B(0
3、，a)，过点B与椭圆相切的直线交x轴的负半轴于点A，F为椭圆的右焦点，则ABF()A60 B90C120 D150解析：选B由题意知，切线的斜率存在，设切线方程ykxa(k0)，与椭圆方程联立消去y整理得(b2a2k2)x22ka3xa4a2b20，由(2ka3)24(b2a2k2)(a4a2b2)0，得k，从而yxa，交x轴于点A，又F(c，0)，易知0，故ABF90.6经过椭圆y21的一个焦点作倾斜角为45的直线l，交椭圆于A，B两点设O为坐标原点，则_解析：依题意，当直线l经过椭圆的右焦点(1，0)时，其方程为y0tan 45(x1)，即yx1，代入椭圆方程y21并整理得3x24x0，解
4、得x0或x，所以两个交点坐标分别为(0，1)，所以，同理，当直线l经过椭圆的左焦点时，也可得.答案：7已知椭圆C：1(ab0)的右顶点为A，经过原点的直线l交椭圆C于P，Q两点，若|PQ|a，APPQ，则椭圆C的离心率为_解析：不妨设点P在第一象限，O为坐标原点，由对称性可得|OP|，因为APPQ，所以在RtPOA中，cosPOA，故POA60，易得P，代入椭圆方程得1，故a25b25(a2c2)，所以椭圆C的离心率e.答案：8(2019届长春模拟)已知抛物线y24x的焦点为F，过焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点，若|AB|6，则AOB的面积为_解析：因为抛物线y24x的焦点F
5、的坐标为(1，0)，当直线AB垂直于x轴时，|AB|4，不满足题意，所以设直线AB的方程为yk(x1)(k0)，与y24x联立，消去x得ky24y4k0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2，y1y24，所以|y1y2| .且|AB|y1y2|6，所以46，解得k22，所以|y1y2|2，所以AOB的面积为SAOB12.答案：9已知点Q是抛物线C1：y22px(p0)上异于坐标原点O的点，过点Q与抛物线C2：y2x2相切的两条直线分别交抛物线C1于点A，B.若点Q的坐标为(1，6)，求直线AB的方程及弦AB的长解：由Q(1，6)在抛物线y22px上，可得p18，所以抛物线C1的方程
6、为y236x.设抛物线C2的切线方程为y6k(x1)联立消去y，得2x2kxk60，由于直线与抛物线C2相切，故k28k480，解得k4或k12.由得A；由得B.所以直线AB的方程为12x2y90，弦AB的长为2.10已知点M在椭圆G：1(ab0)上，且点M到两焦点的距离之和为4.(1)求椭圆G的方程；(2)若斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底作等腰三角形，顶点为P(3，2)，求PAB的面积解：(1)因为2a4，所以a2.又点M在椭圆G上，所以1，解得b24.所以椭圆G的方程为1.(2)设直线l的方程为yxm，由得4x26mx3m2120.设A(x1，y1)，B(x2，y2)(
7、x10，b0)的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，与双曲线的渐近线交于C，D两点若|AB|CD|，则双曲线离心率的取值范围为()A. B.C. D.解析：选B将xc代入1，得y，则|AB|.将xc代入yx，得y，则|CD|.因为|AB|CD|，所以，即bc，则b2c2，所以a2c2b2c2，所以e2.因为e1，所以e.故选B.12(一题多解)(2018年全国卷)已知点M(1，1)和抛物线C：y24x，过抛物线C的焦点且斜率为k的直线与抛物线C交于A，B两点若AMB90，则k_解析：解法一：由题意知，抛物线的焦点为(1，0)，则过抛物线C的焦点且斜率为k的直线方程为yk(x1)(k
8、0)，由消去y得，k2x2(2k24)xk20，设A(x1，y1)，B(x2，y2), 则x1x2，x1x21.由消去x得，y2y40，则y1y2，y1y24，由AMB90，得(x11，y11)(x21，y21)x1x2(x1x2)1y1y2(y1y2)10，将x1x2，x1x21与y1y2，y1y24代入，解得k2.解法二：设抛物线的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则所以yy4(x1x2)，则k，取AB的中点M(x0，y0)，分别过点A，B作准线x1的垂线，垂足分别为A，B，又AMB90，点M在准线x1上，所以|MM|AB|(|AF|BF|)(|AA|BB|)又M为AB的中点，
9、所以MM平行于x轴，且y01，所以y1y22，所以k2.答案：213(2020届唐山市高三年级摸底)已知F为抛物线C：x212y的焦点，直线l：ykx4与C相交于A，B两点(1)O为坐标原点，求；(2)M为C上一点，F为ABM的重心(三边中线的交点)，求k.解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，将l的方程代入C得，x212kx480，所以x1x212k，x1x248，y1y216，从而x1x2y1y232.(2)依题意得F(0，3)，设M(x3，y3)，因为F为ABM的重心，所以x1x2x30，y1y2y39，从而x3(x1x2)12k，y39(y1y2)99112k2.因为M(x3
10、，y3)在抛物线C上，所以(12k)212(112k2)，即k2.故k或.14(2019届洛阳市第一次统考)已知短轴长为2的椭圆E：1(ab0)，直线n的横、纵截距分别为a，1，且原点O到直线n的距离为.(1)求椭圆E的方程；(2)直线l经过椭圆E的右焦点F且与椭圆E交于A，B两点，若椭圆E上存在一点C满足20，求直线l的方程解：(1)因为椭圆E的短轴长为2，故b1.依题意设直线n的方程为y1，由，解得a，故椭圆E的方程为y21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，当直线l的斜率为0时，显然不符合题意当直线l的斜率不为0或直线l的斜率不存在时，F(，0)，设直线l的方程为xty，由得(t23)y22ty10，所以y1y2，y1y2，因为20，所以x3x1x2，y3y1y2，又点C在椭圆E上，所以y1，又y1，y1，所以x1x2y1y20，将x1ty1，x2ty2及代入得t21，即t1或t1.故直线l的方程为xy0或xy0.
