1、等比数列的基本量运算【例1】已知等比数列an，若a1a2a37，a1a2a38，求an.13123213113313111382514,41411242212.nnnna aaa a aaaaaaaaaaaaqaqaa因为，所以 ，所以 ，所以由得或，所以 ，或 ，所以 方【法或】：解析221312123133123111131784112222.2nnnnaa qaa qaaaaqqaaaa qaaqqaa 因为，所以，解得或，所以 或 方法：研究等差数列或等比数列，通常向首项a1，公差d(或公比q)转化在a1，an，d(或q)，Sn，n五 个 基 本 量 中，能“知 三 求二”【变式练习1
2、】等比数列an的前n项和为Sn，已知S41，S83.求：(1)等比数列an的公比q；(2)a17a18a19a20的值 4148184417181920441616411111131132.1112126.11aqSqaqSqqqaaaaqaqa qqqq 由，两式相除得 ，即【解析】等比数列的判定与证明【例2】设数列an的前n项和为Sn，数列bn中，b1a1，bnanan1(n2)若anSnn，(1)设cnan1，求证：数列cn是等比数列；(2)求数列bn的通项公式 11111111111(2)21(2)2(1)1(2)1(2)211211102nnnnnnnnnnnaSnaSnnaanaa
3、nccnaSacac证明：由 ，得，两式相减得，即，所以 又由 ，解得 ，所以 【解析，所以数列是】等比数列 11111111()()()222111()21()(2)21)21(.22nnnnnnnnnnnncacbaanbab由知 ，所以 ，所以 又 适合上式，所以 判断一个数列是等比数列的方法有定义法、等比中项法，或者从通项公式、求和公式的形式上判断证明一个数列是等比数列的方法有定义法和等比中项法，注意等比数列中不能有任意一项是0.121(1)123.23nnnnnnnanSSaaaaaS数列的前 项和为，且 求，；证明：数列是等比数【变式练习】列；求 与 111112222111111
4、11(1).3211(1).3411(1)(1),3311133211,221112()()()22211123()132nnnnnnnnnnnnnnnaSaaaaSaaSaSaaaaaaaaS 因为 ，所以 又 ，所以 证明：因为 ，所以两式相减得，即，所以数列是首项为公比为 的等比数列由【解析】得 ，等比数列的公式及性质的综合应用 514271472114156.132nnnaaaaaaSSSSSS已知递增的正项等比数列中，试求，；【求证：，成等例】比数列；34142nnnnnnnnnnbbabf ncccanTT若数列满足：，在直角坐标系中，画出 的图象；若数列满足：，数列的前 项和为，
5、试比较 与 的大小 42511421224111111.(1)15(1)6152125202.22.2(1)1511221.11nnnnnnnnaqaaa qaaa q qqqqqqqaqqa qaaqaa qSq 设递增的正项等比数列的公比为因为 ，两式相除，得，即 ，解得 或 因为数列是递增的正项数列，所以 将 代入，得 ，所以，【】解析(2)证明：因为S7271，S142141，S212211，所以S14S727(271)，S21S14214(271)，所以S7(S21S14)214(271)2(S14S7)2，所以S7，S14S7，S21S14成等比数列(3)因为f(n)bn4an2n
6、1(nN*)，所以bnf(n)的图象是函数f(x)2x1的图象上的一列孤立的点(图略)1122111,21111+22211122(1)2.21241nnnnnnnncaTccc 因为 所以 本题主要考查三个方面：一是由两个给出的等式，解方程组求出等比数列的首项和公比，进而求得通项公式及前n项和公式，要求记牢公式和细心运算；二是用等比中项的方法证明三个数成等比数列一般地，三个非零实数a、b、c满足b2ac，则a、b、c成等比数列；三是考查等比数列的图象此题不难，但较全面地考查了等比数列的有关知识，对复习基础知识是很有帮助的 *11231121.1213.4nnnnnnnnnnnaaaanbaa
7、abacnbcnSN在数列中，计算，的值；探究数列是否为等比数列？若是，求出的通项公式；若不是，说明理由；设，求数列的前 项【习3】和变式练 11222331111-1-2*11 20.11 2.2111 2.21 200122112()()1()2212nnnnnnnnnnnnaaaaaaabaaabbbabbbanN由，得 由，得 由 及，得因为 ，从而，所以数列是以 为首项，公比为 的等比【解析】数列所以，故 123232312311111()4211112()3()()222211111()2()(1)()().2222211111()()()()2222211112222()1212
8、23212nnnnnnnnnnnnnnnnncnbnSccccnSnnSnnnnS 因为，所以 ，两式相减，得，所以 .等差数列与等比数列的综合应用121(4)0.()()_4naaan ndan d设，是各项不为零的项等差数列，且公差若将此数列删去某一项后，得到的数列 按原来顺序 是等比数列，则所有数对，所组成的集合为【例】1111111121111111112111423.0()23(2)(3)4423()(naadadaddadaadadada adadaadaadaddada a当 时，各项分别为，因为公差，所以删去某一项后，得到的数列 按原来顺序 是等比数列，不可能是原来等差数列的连
9、续三项若删去 后，由，成等比数列，得，化简得，即；若删去 后，由，成等比数列，得【解析】1113)1.53()(44)4,1 adaddnan d，化简得 ，即 当时，无论删去哪一项，都至少有原来数列的连续 项，所以无解，即所有数对，所组成的集合为，此题抓住等比数列中的项不可能是原来等差数列中的连续3项或3项以上，这实质上是一个数列如果既是等差数列，同时又是等比数列，则必定是公差为0的非零常数数列因为在等差数列的公差d0时，不能构成等比数列，所以只有n4可能适合题意，从而将问题大大简化【变式练习4】已知数列an是等比数列，其中a71，且a4，a51，a6成等差数列(1)求数列an的通项公式；(
10、2)数列an的前n项和记为Sn，证明：Sn128.【解析】(1)设等比数列an的公比为q(qR)由a7a1q61，得a1q6，从而a4a1q3q3，a5a1q4q2，a6a1q5q1.因为a4，a51，a6成等差数列，所以a4a62(a51)，即q3q12(q21)，即q1(q21)2(q21)所以q 1/2 7-771111()128().2216421641()(1)2111211281()1228.2nnnnnnnnaa qaqaqSq故 证明：因为，所以 1.在等比数列an中，a1a240，a3a460，则a7a8_135 2121341263781.(1)40(1)60323(1)4
11、0()135.2naqaaaqaaa qqqaaa qq【设等比数列的公比为 ，两式相除，得 ，所以 解】析2.设等比数列an的公比为q，前n项和为Sn.若Sn1，Sn，Sn2成等差数列，则q_.2 1211111211122.12(1)(2)0112111111202(1)2.nnnnnnSSSqnananaaqqnaqaqaqqqqqqqq 由题意知，当 时，得 ，解得 ，与条件 等比数列 矛盾，故 舍去；当时，利用等比数列的前 项求和公式得，化简得 ，解得 舍去，所【以】解析 1234231234153.8911118naaaaaa aaaaa等比数列中，则_14231234142312
12、342311111558.938aaaaaaaaa aa aaaaaa a【解析】534.若数列an的前n项和可表示为Sn2na，则an是否可能成为等比数列？若可能，求出a的值；若不可能，说明理由 11111101*1122.(2)222(2)222122()2.21121nnnnnnnnnnnnnnnnnnnanSaaSaaSSnaaananaaaaanaaaaaN因为的前 项和 ，故 同时，即 要使 适合时数列的通项公式，则必有 ，得 ，此时，且故当 时，数列为等比数列，【解析】其首项为，公比为；当 时，不是等比数列5.已知数列an是公比为q的等比数列，且a1、a3、a2成等差数列(1)求
13、公比q的值；(2)设bn是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为Sn.当n2时，比较Sn与bn的大小，并说明理由 231211121212122.102101.21312?1.221220.211192(12).222411022nnnnnnnnnnaaaa qaa qaqqqn nnnqSnnnnSbSSbn nnnqSnnnnSbSn 由题设 ，即 因为，所以 ，所以 或若 ，则 当时，故若 ，则 当【解时，-故对于析】291011.nnnnnnnSbnSbnSbN，当时，；当 时，；当时，本节内容主要考查数列的运算、推理及转化的能力与思想，考题一般从三个方面进行考查：一是应用等比数
14、列的通项公式及其前n项和公式计算某些量和解决一些实际问题；二是给出一些条件求出首项和公比进而求得等比数列的通项公式及其前n项和公式，或将递推关系式变形转化为等比数列问题间接地求得等比数列的通项公式；三是证明一个数列是等比数列1等比数列常用的性质：(1)等比数列an中，对任意的m，n，p，qN*，若mnpq，则amanapaq.特别地，若mn2p，则amanap2.(2)对于等比数列an中的任意两项an、am，都有关系式anamqnm，可求得公比q.但要注意nm为偶数时，q有互为相反数的两个值(3)若an和bn是项数相同的两个等比数列，则anbn也是等比数列 1222*(2 312)nnnnnn
15、aaaqqaaanaa anN已知三个数成等比数列，往往设此三数为，可以方便地解决问题证明一个数列是等比数列有两种方法：用定义证明：即求得是一个与无关的常数 利用等比中项：即 证明 23112123 10101011 0 2222 4 5 612nnnnnaaaaaaaaaaqSqaaaaaaa 求 的值时要注意：它是等比数列求和吗？分 ，且三种情况讨论；当时，它是等比数列前多少项的和？可以用公式 求吗？等比数列中不可能出现为 的项若，是等差数列，则，是等比数列，反 之也对 29357911112431_naaa a a a aa在等比数列中，若，则的值为(2010泰州期末卷)答案：3选题感悟
16、：运用等比数列的性质求解等比数列问题，是一个基础考点，是数列高考的重点内容之一2(2010苏州期中卷)等比数列an共2n1项，首项a11，所有奇数项的和等于85，所有偶数项的和等于42，则n_.1321352124221211212185()428421218542127121283.nnnnnnnaaaaaaq aaaqqaqSqn ，则 ，所以 ，则，则】，则【解析答案：3选题感悟：本题主要考查等比数列的性质及前n项和公式，同时也考查了方程思想及整体思想的运用 410717423613212.3216nnnnnaSnSSSaaaSSbanb已知数列是等比数列，为其前 项和若，成等差数列，证
17、明，也成等差数列；设 ，若数列是单调递减数列，求实数 的取值范围苏(2010 北四市期末卷)4107104710471113636111147174.12211111101222.1naqSSSqSSSaqaqaqqqqqqqaa qa qaaaaaa 证明：设数列的公比为因为，成等差数列，所以，且 ，所以因为，所以 ，所以，即 所以，也成等【解析】差数列 36361131121232121613121.1211671812.212().212().22nnnnnnSSaqaqqqqqaabanbn 因为 ，所以，由，得 ，所以 ，代入，得 所以 又因为 ，所以 *1212*112()(1)2()2216()212212.62121161nnnnnnnnnbbbnnnnnnnn NN由题意可知，对任意，数列单调递减，所以，即 ，即 对任意恒成立当 是奇数时，则当 时，取得最大值，所以；212.62121026310.3101310(1)3nnnnnn 当 是偶数时，则当 时，取得最小值，所以综上可知，即实数 的取值范围是 ，选题感悟：本题将等差、等比数列及不等式有机地交汇在一起，综合性强，对运算及逻辑推理能力要求较高
