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2020-2021学年人教A版高中数学必修1课件:1-2-2 第2课时 分段函数与映射 .ppt

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资源描述

1、第一章 集合与函数概念 1.2 函数及其表示 1.2.2 函数的表示法 第2课时 分段函数与映射 学 习 目 标核 心 素 养 1.了解分段函数的概念,会求分段函数的函数值,能画出分段函数的图象(重点,难点)2能在实际问题中列出分段函数,并能解决有关问题(重点、难点)3通过本节内容的学习,使学生了解分段函数的含义,提高学生数学建模、数学运算的能力(重点)1通过分段函数求值问题提升数学运算素养2利用分段函数解决实际问题,培养数学建模素养.自 主 预 习 探 新 知 1分段函数 如果函数 yf(x),xA,根据自变量 x 在 A 中不同的取值范围,有着不同的对应关系,则称这样的函数为分段函数思考:

2、分段函数是一个函数还是几个函数?提示:分段函数是一个函数,而不是几个函数2映射设 A,B 是两个的集合,如果按某一个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个元素 x,在集合 B 中都有的元素y 与之对应,那么就称对应 f:AB 为从集合 A 到集合 B 的一个映射唯一确定非空1已知集合 Aa,b,集合 B0,1,下列对应不是 A 到 B的映射的是()A B C DC 选项 C 中不但 b 元素没有对应的元素,而且元素 a 所对应的元素不唯一确定,不符合映射的定义,故选 C.2下列给出的式子是分段函数的是()f(x)x21,1x5,2x,x1.f(x)x1,xR,x2,x2.f(x)2x

3、3,1x5,x2,x1.f(x)x23,x1,则 f(f(4)_.0 f(4)431,f(1)110,f(f(4)f(1)0.合 作 探 究 释 疑 难 分段函数的求值问题【例 1】已知函数 f(x)x1,x2,x22x,2x2,2x1,x2.(1)求 f(5),f(3),ff52 的值;(2)若 f(a)3,求实数 a 的值解(1)由5(,2,3(2,2),52(,2,知f(5)514,f(3)(3)22(3)32 3.f52 52132,而2322,不合题意,舍去 当2a2 时,a22a3,即 a22a30.(a1)(a3)0,解得 a1 或 a3.1(2,2),3(2,2),a1 符合题

4、意 当 a2 时,2a13,即 a2 符合题意 综上可得,当 f(a)3 时,a1 或 a2.1分段函数求函数值的方法:(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间(2)代入该段的解析式求值,直到求出值为止当出现 f(f(x0)的形式时,应从内到外依次求值2.已知函数值求字母取值的步骤:(1)先对字母的取值范围分类讨论(2)然后代入不同的解析式中(3)通过解方程求出字母的值(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内提醒:求某条件下自变量的值时,先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上,然后相应求出自变量的值,切记代入检验跟进训练1.函数 f(x)x3,x10,ffx5,x10,则 f(7)_.8 函数

5、f(x)x3,x10,ffx5,x10,f(7)f(f(12)f(9)f(f(14)f(11)8.分段函数的解析式【例 2】如图所示,已知底角为 45的等腰梯形 ABCD,底边BC 长为 7 cm,腰长为 2 2 cm,当垂直于底边 BC(垂足为 F)的直线l 从左至右移动(与梯形 ABCD 有公共点)时,直线 l 把梯形分成两部分,令 BFx,试写出左边部分的面积 y 关于 x 的函数解析式,并画出大致图象思路点拨:可按点 E 所在的位置分 E 在线段 AB,E 在线段 AD及 E 在线段 CD 三类分别求解 解 过点 A,D 分别作 AGBC,DHBC,垂足分别是 G,H.因为四边形 AB

6、CD 是等腰梯形,底角为 45,AB2 2 cm,所以 BGAGDHHC2 cm,又 BC7 cm,所以 ADGH3 cm.(1)当点 F 在 BG 上,即 x0,2时,y12x2;(2)当点 F 在 GH 上,即 x(2,5时,yxx2222x2;(3)当点 F 在 HC 上,即 x(5,7时,yS 五边形 ABFEDS 梯形 ABCDSRtCEF12(73)212(7x)2 12(x7)210.综合(1)(2)(3),得函数的解析式为 y 12x2,x0,2,2x2,x2,5,12x7210,x5,7.图象如图所示 1当目标在不同区间有不同的计算表达方式时,往往需要用分段函数模型来表示两变

7、量间的对应关系,而分段函数图象也需要分段画 2通过本例让学生初步尝试用分段函数解决实际问题的意识,培养学生的建模素养跟进训练2某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定:(1)5 公里以内(含 5 公里),票价 2 元;(2)5 公里以上,每增加 5 公里,票价增加 1 元(不足 5 公里按照 5公里计算)如果某条线路的总里程为 20 公里,请根据题意,写出票价与里程之间的函数解析式,并画出函数的图象解 设票价为 y 元,里程为 x 公里,定义域为(0,20 由题意得函数的解析式如下:y 2,0 x5,3,5x10,4,10 x15,5,15x20.函数图象如图所示:分段函数的图象及应用探究

8、问题1函数 f(x)|x2|能用分段函数的形式表示吗?能否作出其图象?提示:能f(x)x2,x2,2x,x2.函数 f(x)的图象如图所示 2结合探究点 1,你能说一下画含有绝对值的函数图象的方法吗?提示:含有绝对值的函数,要作出其图象,首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号,将函数转化为分段函数,然后分段作出函数图象【例 3】(教材改编题)已知函数 f(x)1|x|x2(2x2)(1)用分段函数的形式表示 f(x);(2)画出 f(x)的图象;(3)写出函数 f(x)的值域思路点拨:(1)分2x0 和 0 x2 两种情况讨论,去掉绝对值可把 f(x)写成分段函数的形式;(2)利用(1)的结论可

9、画出图象;(3)由(2)中得到的图象,找到图象最高点和最低点的纵坐标,可得值域 解(1)当 0 x2 时,f(x)1xx2 1,当2x0 时,f(x)1xx21x,f(x)1,0 x2,1x,2x0.(2)函数 f(x)的图象如图所示(3)由(2)知,f(x)在(2,2上的值域为1,3)分段函数图象的画法 作分段函数的图象时,分别作出各段的图象,在作每一段图象时,先不管定义域的限制,作出其图象,再保留定义域内的一段图象即可,作图时要特别注意接点处点的虚实,保证不重不漏.1在本例条件不变的情况下,试讨论直线 ya 与函数 yf(x)图象的交点个数解 当 a3 或 a1 时,ya 与 yf(x)的

10、图象无交点;当 1a3 时,ya 与 yf(x)的图象有且只有一个交点;当 a1 时,ya 与 yf(x)的图象有无数个交点2把本例条件改为“f(x)|x|2”,再求本例的 3 个问题解(1)f(x)|x|2x2,x0,x2,x1是分段函数()(4)若 AR,Bx|x0,f:xy|x|,其对应是从 A 到 B 的映射()答案(1)(2)(3)(4)2设函数 f(x)x21,x1,2x,x1,则 f(f(3)()A.15B.3 C.23 D.139D f(3)231,f(f(3)2321139.3函数 yf(x)的图象如图所示,则其解析式为_f(x)2x,0 x1,2,1x2,3,x2 当 0 x1 时,设 f(x)kx,又过点(1,2),故 k2,f(x)2x;当 1x2 时,f(x)2;当 x2 时,f(x)3.综上 f(x)2x,0 x1,2,1x1或x1 或 x1 时,f(x)1,所以 f(x)的值域为0,1点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!

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