1、第一章 集合与函数概念 1.2 函数及其表示 1.2.2 函数的表示法 第2课时 分段函数与映射 学 习 目 标核 心 素 养 1.了解分段函数的概念，会求分段函数的函数值，能画出分段函数的图象(重点，难点)2能在实际问题中列出分段函数，并能解决有关问题(重点、难点)3通过本节内容的学习，使学生了解分段函数的含义，提高学生数学建模、数学运算的能力(重点)1通过分段函数求值问题提升数学运算素养2利用分段函数解决实际问题，培养数学建模素养.自 主 预 习 探 新 知 1分段函数 如果函数 yf(x)，xA，根据自变量 x 在 A 中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数思考：
2、分段函数是一个函数还是几个函数？提示：分段函数是一个函数，而不是几个函数2映射设 A，B 是两个的集合，如果按某一个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有的元素y 与之对应，那么就称对应 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个映射唯一确定非空1已知集合 Aa，b，集合 B0,1，下列对应不是 A 到 B的映射的是()A B C DC 选项 C 中不但 b 元素没有对应的元素，而且元素 a 所对应的元素不唯一确定，不符合映射的定义，故选 C.2下列给出的式子是分段函数的是()f(x)x21，1x5，2x，x1.f(x)x1，xR，x2，x2.f(x)2x
3、3，1x5，x2，x1.f(x)x23，x1，则 f(f(4)_.0 f(4)431，f(1)110，f(f(4)f(1)0.合 作 探 究 释 疑 难 分段函数的求值问题【例 1】已知函数 f(x)x1，x2，x22x，2x2，2x1，x2.(1)求 f(5)，f(3)，ff52 的值；(2)若 f(a)3，求实数 a 的值解(1)由5(，2，3(2,2)，52(，2，知f(5)514，f(3)(3)22(3)32 3.f52 52132，而2322，不合题意，舍去 当2a2 时，a22a3，即 a22a30.(a1)(a3)0，解得 a1 或 a3.1(2,2)，3(2,2)，a1 符合题
4、意 当 a2 时，2a13，即 a2 符合题意 综上可得，当 f(a)3 时，a1 或 a2.1分段函数求函数值的方法：(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止当出现 f(f(x0)的形式时，应从内到外依次求值2.已知函数值求字母取值的步骤：(1)先对字母的取值范围分类讨论(2)然后代入不同的解析式中(3)通过解方程求出字母的值(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内提醒：求某条件下自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后相应求出自变量的值，切记代入检验跟进训练1.函数 f(x)x3，x10，ffx5，x10，则 f(7)_.8 函数
5、f(x)x3，x10，ffx5，x10，f(7)f(f(12)f(9)f(f(14)f(11)8.分段函数的解析式【例 2】如图所示，已知底角为 45的等腰梯形 ABCD，底边BC 长为 7 cm，腰长为 2 2 cm，当垂直于底边 BC(垂足为 F)的直线l 从左至右移动(与梯形 ABCD 有公共点)时，直线 l 把梯形分成两部分，令 BFx，试写出左边部分的面积 y 关于 x 的函数解析式，并画出大致图象思路点拨：可按点 E 所在的位置分 E 在线段 AB，E 在线段 AD及 E 在线段 CD 三类分别求解 解 过点 A，D 分别作 AGBC，DHBC，垂足分别是 G，H.因为四边形 AB
6、CD 是等腰梯形，底角为 45，AB2 2 cm，所以 BGAGDHHC2 cm，又 BC7 cm，所以 ADGH3 cm.(1)当点 F 在 BG 上，即 x0,2时，y12x2；(2)当点 F 在 GH 上，即 x(2,5时，yxx2222x2；(3)当点 F 在 HC 上，即 x(5,7时，yS 五边形 ABFEDS 梯形 ABCDSRtCEF12(73)212(7x)2 12(x7)210.综合(1)(2)(3)，得函数的解析式为 y 12x2，x0，2，2x2，x2，5，12x7210，x5，7.图象如图所示 1当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变
7、量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画 2通过本例让学生初步尝试用分段函数解决实际问题的意识，培养学生的建模素养跟进训练2某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：(1)5 公里以内(含 5 公里)，票价 2 元；(2)5 公里以上，每增加 5 公里，票价增加 1 元(不足 5 公里按照 5公里计算)如果某条线路的总里程为 20 公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象解 设票价为 y 元，里程为 x 公里，定义域为(0,20 由题意得函数的解析式如下：y 2，0 x5，3，5x10，4，10 x15，5，15x20.函数图象如图所示：分段函数的图象及应用探究
8、问题1函数 f(x)|x2|能用分段函数的形式表示吗？能否作出其图象？提示：能f(x)x2，x2，2x，x2.函数 f(x)的图象如图所示 2结合探究点 1，你能说一下画含有绝对值的函数图象的方法吗？提示：含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象【例 3】(教材改编题)已知函数 f(x)1|x|x2(2x2)(1)用分段函数的形式表示 f(x)；(2)画出 f(x)的图象；(3)写出函数 f(x)的值域思路点拨：(1)分2x0 和 0 x2 两种情况讨论，去掉绝对值可把 f(x)写成分段函数的形式；(2)利用(1)的结论可
9、画出图象；(3)由(2)中得到的图象，找到图象最高点和最低点的纵坐标，可得值域 解(1)当 0 x2 时，f(x)1xx2 1，当2x0 时，f(x)1xx21x，f(x)1，0 x2，1x，2x0.(2)函数 f(x)的图象如图所示(3)由(2)知，f(x)在(2,2上的值域为1,3)分段函数图象的画法 作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏.1在本例条件不变的情况下，试讨论直线 ya 与函数 yf(x)图象的交点个数解 当 a3 或 a1 时，ya 与 yf(x)的
10、图象无交点；当 1a3 时，ya 与 yf(x)的图象有且只有一个交点；当 a1 时，ya 与 yf(x)的图象有无数个交点2把本例条件改为“f(x)|x|2”，再求本例的 3 个问题解(1)f(x)|x|2x2，x0，x2，x1是分段函数()(4)若 AR，Bx|x0，f：xy|x|，其对应是从 A 到 B 的映射()答案(1)(2)(3)(4)2设函数 f(x)x21，x1，2x，x1，则 f(f(3)()A.15B.3 C.23 D.139D f(3)231，f(f(3)2321139.3函数 yf(x)的图象如图所示，则其解析式为_f(x)2x，0 x1，2，1x2，3，x2 当 0 x1 时，设 f(x)kx，又过点(1,2)，故 k2，f(x)2x；当 1x2 时，f(x)2；当 x2 时，f(x)3.综上 f(x)2x，0 x1，2，1x1或x1 或 x1 时，f(x)1，所以 f(x)的值域为0,1点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!
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