1、章末综合测评(三)数系的扩充与复数(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知a，bC，下列命题正确的是()A3i5iBa0|a|0C若|a|b|，则abDa20【解析】A选项中，虚数不能比较大小；B选项正确；C选项中，当a，bR时，结论成立，但在复数集中不一定成立，如|i|，但ii或i；D选项中，当aR时结论成立，但在复数集中不一定成立，如i210，b24b5(b2)210.所以复数对应的点在第四象限故选D.【答案】D10如果复数z3ai满足条件|z2|2，那么实数a的取值范围是()A(2，2)B
2、(2,2)C(1,1)D(， )【解析】因为|z2|3ai2|1ai|2，所以a214，所以a23，即a.【答案】D11若1i是关于x的实系数方程x2bxc0的一个复数根，则()Ab2，c3Bb2，c3Cb2，c1Db2，c1【解析】因为1i是实系数方程的一个复数根，所以1i也是方程的根，则1i1i2b，(1i)(1i)3c，解得b2，c3.【答案】B12设z是复数，则下列命题中的假命题是()A若z20，则z是实数B若z20，则z是虚数C若z是虚数，则z20D若z是纯虚数，则z20【解析】设zabi(a，bR)，选项A，z2(abi)2a2b22abi0，则故b0或a，b都为0，即z为实数，正
3、确选项B，z2(abi)2a2b22abi0，则则故z一定为虚数，正确选项C，若z为虚数，则b0，z2(abi)2a2b22abi，由于a的值不确定，故z2无法与0比较大小，错误选项D，若z为纯虚数，则则z2b20，正确【答案】C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13已知i是虚数单位，计算_.【解析】i.【答案】i14a为正实数，i为虚数单位，2，则a_.【解析】1ai，则|1ai|2，所以a23.又a为正实数，所以a.【答案】15设a，bR，abi(i为虚数单位)，则ab的值为_. 【导学号：05410078】【解析】abi53i，依据复数相等的充要条
4、件可得a5，b3.从而ab8.【答案】816若复数z满足|zi|(i为虚数单位)，则z在复平面内所对应的图形的面积为_【解析】设zxyi(x，yR)，则由|zi|可得，即x2(y1)22，它表示以点(0,1)为圆心，为半径的圆及其内部，所以z在复平面内所对应的图形的面积为2.【答案】2三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)计算：(1)(i)2(45i)(2)2 016.【解】(1)(i)2(45i)2(1i)2(45i)4i(45i)2016i.(2)20161 008i(1i)1 0081i(i)1 0081i1i.18(本小题满
5、分12分)已知关于x，y的方程组有实数解，求实数a，b的值. 【导学号：05410079】【解】由得解得将x，y代入得(54a)(6b)i98i，所以所以a1，b2.19(本小题满分12分)实数k为何值时，复数z(k23k4)(k25k6)i是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)0.【解】(1)当k25k60，即k6或k1时，z是实数(2)当k25k60，即k6且k1时，z是虚数(3)当即k4时，z是纯虚数(4)当即k1时，z是0.20(本小题满分12分)已知复数z满足|z|，z2的虚部是2.(1)求复数z；(2)设z，z2，zz2在复平面上的对应点分别为A，B，C，求ABC的面积【
6、解】(1)设zabi(a，bR)，则z2a2b22abi，由题意得a2b22且2ab2，解得ab1或ab1，所以z1i或z1i.(2)当z1i时，z22i，zz21i，所以A(1,1)，B(0,2)，C(1，1)，所以SABC1.当z1i时，z22i，zz213i，所以A(1，1)，B(0,2)，C(1，3)，所以SABC1.21(本小题满分12分)已知复数z1i，z2i，z32i，z4在复平面上对应的点分别是A，B，C，D.(1)求证：A，B，C，D四点共圆；(2)已知2 ，求点P对应的复数【解】(1)|z1|z2|z3|z4|，即|OA|OB|OC|OD|，A，B，C，D四点都在圆x2y25上，即A，B，C，D四点共圆(2)A(0，)，B(，)，(，)设P(x，y)，则(x，y)，若2 ，那么(，)(2x,2y2)，解得点P对应的复数为i.22(本小题满分12分)设O为坐标原点，已知向量1，2分别对应复数z1，z2，且z1(10a2)i，z2(2a5)i，aR.若1z2可以与任意实数比较大小，求12的值【解】由题意，得1(10a2)i，则1z2(10a2)i(2a5)i(a22a15)i.因为1z2可以与任意实数比较大小，所以1z2是实数，所以a22a150，解得a5或a3.又因为a50，所以a3，所以z1i，z21i.所以1，O2(1,1)所以12(1)11.
